【高中数学北师大版（2019）同步练习】 3函数的单调性与最值（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
3函数的单调性与最值
一、单选题
1．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与x轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4)和表示相等函数。
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数 且 满足 ，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．可推得函数 在区间 上为增函数的一个条件是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数y=f（x）在R上是减函数，则y=f（|x﹣3|）的单调减区间是（　　） .
A．（﹣∞，+∞） B．[3，+∞）
C．[﹣3，+∞） D．（﹣∞，3]
5．已知函数 ，当 且 时， ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．若实数 ， 满足 ， ，则 （　　）
A．3 B． C． D．4
二、多选题
7．关于函数，下列判断正确的是（　　）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
8．对于函数 ，若 ，则称x为 的“不动点”，若 ，则称x为 的“稳定点”记 ， ，则下列结论正确的是（　　）
A．对于函数 ，有 成立
B．对于函数 ，有 成立
C．对于函数 ，存在 ，使得 成立
D．若 是R上的单调递增函数，则一定有 成立
三、填空题
9．函数的单调递增区间是　 　．
10．若不等式 在 内恒成立，则实数 的取值范围为　 　．
11．“求方程 的解”有如下解题思路：设 ，则 在 上单调递减，且 ，所以原方程有唯一解 .类比上述解题思路，不等式 的解集是　 　．
12．已知lga+lgb=0，则满足不等式 + ≤λ的实数λ的取值范围是　 　．
13．设函数 ，若对任意的实数 ， ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为　 　.
14．已知函数f（x）=|2x+1+ |在[﹣ ，3]上单调递增，则实数a的取值范围　 　．
四、解答题
15．已知函数 是奇函数.
（1）求函数 的解析式；
（2）函数 在 上单调递减，试求p的最大值，并说明理由.
16．用定义法证明函数 在 上单调递增．
17．已知0≤x≤2求函数 的最大值与最小值．
18．张大爷要在一块一边靠墙（墙长为15m）的空地上搭建花园的一边靠墙，另一边用总长为40m的栅栏围成如图形状．
（1）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时长方形边BC的长；若不能，请说明理由；
（2）长方形的边BC长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
19．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设 .
（1）用 表示线段 ；
（2）设 ， ，求 关于 的函数解析式；
（3）求八角形所覆盖面积 的最大值，并指出此时 的大小.
20． 已知定义在上的函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
2．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质
4．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
7．【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
8．【答案】B,C
【知识点】集合相等；函数单调性的性质
9．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
10．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
11．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
12．【答案】[ ，+∞）
【知识点】函数的最大（小）值
13．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
14．【答案】[0，1]
【知识点】函数单调性的性质
15．【答案】（1）解：∵函数 是奇函数， ，
即 ，即 ，即 ，解得： ，
；
（2）解：由（1） ，
任取 ，
则
，
时， ， ，
即 ， 在 为减函数，
同理可证函数 在 上为增函数，
函数 在 上单调递减， ， ，
即 ， p的最大值为3.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
16．【答案】证明：任取 且 ，则
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 在 上单调递增
【知识点】函数单调性的判断与证明
17．【答案】解：设（ ）x=t，则t∈[ ，1]，
∴y=4t2﹣4t+2，其对称轴为t= ，
∴y在[ ， ]上单调递减，在（ ，1]上单调递增，
∴当t= 时，y有最小值，最小值为1﹣2+2=1，
当t=1时，y有最大值，最大值为4﹣4+2=2
【知识点】函数的最大（小）值
18．【答案】（1）解： 设栅栏宽为，长为，
则花园面积，
∵，
∴，
∵，
∴花园面积不能达到；
（2）解： ∵二次项系数为负，对称轴为，
∴当时，取得最大值，
∵当时，
∴长方形的边长是15米，花园面积最大，最大面积是
【知识点】函数的最大（小）值
19．【答案】（1）解：由题意可得：
，
（2）解：由（1）得：
两边平方并化简得：
又 ，
（3）解：
，
令
则
又 在 上单调递增
当 ，即 时， 取得最大值
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
20．【答案】（1）解：当时，令，则，
因为内层函数在上为增函数，且函数在上为增函数，
故函数在上为增函数，
当时，则函数在上为减函数，不合乎题意，
当时，要使得函数在上为增函数，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是
（2）解：根据局部对称函数的定义可知，，
即，
即，
所以，，
令，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则
，
所以，，
则，
因为函数、在上为增函数，
故函数在上为增函数，
则，故.
因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；基本不等式
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