【高中数学北师大版（2019）同步练习】 4函数的奇偶性和简单的幂函数（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
4函数的奇偶性和简单的幂函数
一、单选题
1．已知函数为奇函数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
2．若为偶函数，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．0或1
3．已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
4．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数为定义在R上的偶函数，当时有，且时，，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（　　）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
8．已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（　　）
A．在上为减函数 B．的最大值是1
C．的图象关于直线对称 D．在上
三、填空题
9．已知函数 为定义在 上的奇函数，且 时， ，则 　 　
10．已知函数为偶函数，则的值为　 　.
11．定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时， 的解析式为　 　.
12．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=　 　
13．已知 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 ．若存在 ，使得等式 成立，则实数a的取值范围是　 　．
14．已知函数 的图像关于 对称，且对 ， ，当 、 ，且 时， 恒成立，若 对任意 恒成立，则a的取值范围为　 　.
四、解答题
15．已知函数，且.
（1）求实数的值并判断该函数的奇偶性；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明.
16．已知 为 上的奇函数，当 时， .
（1）若 ，求 的解析式；
（2）求方程 的所有实数解构成的集合A.
17．已知
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由.
（2）判断函数 在 单调性，并证明你的判断.
18．已知函数 .
（1）指出 在定义域 上的奇偶性与单调性（只要求写出结论，无须证明）；
（2）已知实数 满足 a+b>0，b+c>0，c+a>0 ，试判断 与0的大小，并加以证明.
19．已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）判断函数f（x）在R上的单调性并证明；
（2）设函数g（x）与函数f（x）的奇偶性相同，当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），若对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数 是定义在 上的奇函数
（1）求 并求 的值域；
（2）若函数 满足 ,若对任意 且 ，不等式 恒成立,求实数m的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
2．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
3．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
5．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
6．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
7．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质
8．【答案】B,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
9．【答案】-4
【知识点】奇函数与偶函数的性质
10．【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
11．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数
12．【答案】f（x）=x﹣ln（﹣x）
【知识点】奇函数与偶函数的性质
13．【答案】[ ， ]
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；基本不等式
15．【答案】（1）解：∵，且，
∴；
所以，定义域为关于原点对称，
∵，
∴函数为奇函数.
（2）解：函数在上是增函数，
证明：任取，设，则
∵，且，
∴，
∴，即，
∴在上是增函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
16．【答案】（1）解：当 时，则 ，
因为 为 上的奇函数，当 时， ，
所以 ，故 ，
从而当 时， 的解析式为
（2）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 或 ，
综上所述，
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质
17．【答案】（1）解： 为奇函数.
理由：因为 的定义域为
又 ，所以 为奇函数.
（2）解： 在 为单调递减，在 单调递增.
证明：任取 ，所以 ，所以 ，
所以 在 为单调递减
当 ，所以 ，所以 ，
所以 在 为单调递增
综上： 在 为单调递减，在 单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
18．【答案】（1）由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，所以 为奇函数，
设 ，且 ，
则
，
因为 ，可得 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以函数 是定义域为 的增函数.
（2）由（1）知函数 是定义域为 的增函数，
又由 ，可得 ，所以 ，即 ，
同理可得 ，
所以 ，
即 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
19．【答案】（1）解：由题意：函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ），令x=y=0，可得f（0）=0．设x1＞x2，令x=x1，y=x2，
则 ，
可得：则 ，即 ＞0．
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
（2）解：令x=0，y=2x，
可得：f（0）=0=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x）．
∴f（x）是奇函数，故得g（x）也是奇函数．
当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），
即g（x）=
当x＜0时，g（x）的最大值为m．
对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，
只需要：1≥3m﹣（﹣2m），
解得： ．
∵m＞0
故得实数m的取值范围是（0， ]．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
20．【答案】（1）解：因为 是奇函数,所以 ,所以
化简并变形得：
要使上式对任意的x成立,则 解得 或
因为 的定义域是 ,所以 (舍去)
即 ,
所以
由
法2：因为 是 上的奇函数,故
再由
故 ，检验： ，故 是 上的奇函数
故 ;
则 .
（2）解：因为 ,所以 ,
所以 ．不等式 恒成立,
即 恒成立,
令 ,则 ,即 在 时恒成立．
又 在 上单调递增，故
所以 , 故实数m的最大值为
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇函数
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