【高中数学北师大版（2019）同步练习】 第二章函数（基础知识）检测题（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
第二章函数（基础知识）检测题
一、单选题
1．已知定义在 上的奇函数 ，满足 时， ，则 的值为（　　）
A．-15 B．-7 C．3 D．15
2．已知f(x+2)＝2x＋3，则f(x)的解析式为（　　）
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝2x－1 C．f(x)＝2x－3 D．f(x)＝2x＋3
3．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．函数（a>0且）的图象经过点，函数（b>0且）的图象经过点，则下列关系式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线 和 ．使得当 时， 恒成立，则称函数 在 有一个宽度为d的通道有下列函数：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．其中在 上通道宽度为1的函数是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（3）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
6．我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，记 时 的最大值为 ，则对任意的 ， 的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
二、多选题
8．已知正数a，b满足，则（　　）
A．ab的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最大值为
9．已知定义在R上的函数 图像连续，满足 ，且 时， 恒成立，则不等式 中的x可以是（　　）
A． B．0 C． D．
三、填空题
10．函数 的定义域是　 　．
11．已知函数 ， ，则此函数的值域是　 　.
12．设集合 ， ，函数 ， 且 ，则 的取值范围是　 　.
13．已知函数，且，则的值为　 　．
14．函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为　 　.
15．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是　 　．
16．函数y=2x﹣3﹣ 的值域是　 　．
四、解答题
17．画出下列函数的图象．
（1）y=|x+1|+|x﹣2|
（2）y=x2﹣2|x|﹣3．
18．设函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
19．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则把y=f（x），x∈D叫闭函数．
（1）求闭函数y=x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）= x+ ，（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；
（3）已知[a，b]是正整数，且定义在（1，m）的函数y=k﹣ 是闭函数，求正整数m的最小值，及此时实数k的取值范围．
20．设函数 （ ， 为实数）．
（1）若 为偶函数，求实数 的值；
（2）设 ，请写出 的单调减区间（可以不写过程）；
（3）设 ，求函数 的最大值．
21．如图，在海岸线 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 ，该曲线段是函数 ， 的图像，图像的最高点为 ．边界的中间部分为长1千米的直线段 ，且 ．游乐场的后一部分边界是以 为圆心的一段圆弧 ．
（1）求曲线段 的函数表达式；
（2）曲线段 上的入口 距海岸线 最近距离为1千米，现准备从入口 修一条笔直的景观路到 ，求景观路 长；
（3）如图，在扇形 区域内建一个平行四边形休闲区 ，平行四边形的一边在海岸线 上，一边在半径 上，另外一个顶点P在圆弧 上，且 ，求平行四边形休闲区 面积的最大值及此时 的值．
22．已知函数，．
（1）求的单调性；
（2）若函数在上有唯一零点，求实数a的取值范围．
23．画出下列函数的图象，并写出函数的定义域，值域；
（1）
（2）
（3）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
2．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
3．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
5．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
6．【答案】A
【知识点】充要条件；奇偶函数图象的对称性
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
8．【答案】A,B
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】A,B,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
10．【答案】（-1,1）
【知识点】函数的定义域及其求法
11．【答案】[1,2]
【知识点】函数的值域
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的表示方法
13．【答案】-10
【知识点】奇函数与偶函数的性质
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
15．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
16．【答案】（﹣∞， ]
【知识点】函数的值域
17．【答案】（1）解：y=|x+1|+|x﹣2|=
图象如图所示
（2）解：y=x2﹣2|x|﹣3= ，
图象如图所示
【知识点】函数图象的作法
18．【答案】（1）解：可知集合 ，集合
若 ，则 ，即 ；
故实数 的取值范围是
（2）解：若 ，则 ，故实数 的取值范围是
【知识点】子集与真子集；交集及其运算；函数的定义域及其求法
19．【答案】（1）解：由题意，y=x3在[a，b]上递增，在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴ ，求得 ．
所以，所求的区间[a，b]为[﹣1，1]
（2）解：取 x1=1，x2=10，则f（x1）= ＜ =f（x2），
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取 x1= ，x2= ，则f（x1）= +10＜ +100=f（x2），
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数，
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数
（3）解：函数y=k﹣ 是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数f（x）的值域为[a，b]，
∵函数y=k﹣ 在区间[a，b]上单调递增，即 ，
∴a，b为方程 的两个实根，
即方程 在（1，m）上有两个不等的实根．
由于 ，
考察函数 ，∵函数g（x）在（1，2）上递减，∴m＞2．
∵g（x）在（2，m）递增，而函数y=g（x）与y=k在（1，m）有两个交点， ，
∵ ，
所以正整数m的最小值为3，此时，g（3）= ，此时，k的范围是（5， ）．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质
20．【答案】（1）解：因为 为偶函数，
所以
所以
，
因为 ，所以
（2）解： 时，
当 时， ，
开口向下，对称轴 ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，
开口向下，对称轴 ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述 的单调递减区间为 ，
（3）解： ，
当 时， ，
开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且
当 时，
开口向下，对称轴为 ，
而 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
且 ，
综上所述， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得最大值，
【知识点】函数的单调性及单调区间；偶函数
21．【答案】（1）解：由已知条件，得
又∵
又∵当 时，有
∴ 曲线段 的解析式为 ．
（2）解：由 得
又
∴ 景观路 长为 千米
（3）解：如图，
作 轴于 点，在 中，
在 中，
∴
当 时，即 时：平行四边形面积最大值为
【知识点】函数的图象与图象变化
22．【答案】（1）解：，，则，
又因为函数的定义域为，
所以的单调增区间为，
单调减区间为，
（2）解：先证明两个结论：时，.
设，则，于是在上递减，
故，即时；
设，，即在上递增，
故，即时，.
令，，．
①当时，，
当时，，
所以当时，在上无零点，舍去．
②当时，，，
则，
所以在上单调递增．
而，，
所以在上存在唯一，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以仅在上存在唯一零点．
综上，a的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
23．【答案】（1）解：画出函数 的图像，如图所示，函数定义域为： ，值域为： ；
（2）解：画出函数 的图像，如图所示，定义域为： 且 ，
值域为： 且 ；
（3）解：画出函数 的图像，如图所示，定义域为： ，值域为： .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数图象的作法
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