【高中数学北师大版（2019）同步练习】 第二章函数（能力提升）检测题（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
第二章函数（能力提升）检测题
一、单选题
1．已知 是定义在R上的奇函数，且 时， ，则 （　　）
A．27 B．－27 C．54 D．－54
2． 与 是定义在 上的两个可导函数，若 ， 满足 ，则 与 满足（　　）
A． B． 为常数函数
C． D． 为常数函数
3． 已知，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
5．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则（　　）
A．0 B．n C．2n D．4n
7．已知 ，若存在 ，使不等式 成立，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
8．下列说法正确的是（　　）
A．若正实数x，y，满足x+y=1，则
B．若，则有最大值
C．若ab=4，则a+b≥4
D．，使得不等式成立
9．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，若 ，则（　　）
A． B．
C．m的值可能是4 D．m的值可能是6
三、填空题
10．函数 的定义域是　 　.
11．已知函数 ， ，则该函数的值域为　 　.
12．若定义运算：a b= ，例如2 3=3，则下列判断中错误的是　 　
①a b=b a；
②a （b c）=（a b） c；
③（a b）2=a2 b2
④c （a b）=（c a） （c b）（c＞0）
13．若函数为偶函数，则a=　 　.
14．已知 ， 是函数 （其中常数 ）图象上的两个动点，点 ，若 的最小值为0，则函数 的最大值为　 　．
15．已知存在 ，不等式 成立，则实数a的取值范围是　 　.
16．已知函数，，对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，则称该函数为三角形函数.若函数是三角形函数，则实数m的取值范围是　 　.
四、解答题
17．画出y=x2+4x﹣4的图象．
18．求函数 的定义域．
19．已知奇函数f（x）= ．
（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图像．
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．
20．若函数，且为偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间.
21．已知a＜﹣1，函数f（x）=|x3﹣1|+x3+ax（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知存在实数m，n（m＜n≤1），对任意t0∈（m，n），总存在两个不同的t1，t2∈（1，+∞），
使得f（t0）﹣2=f（t1）=f（t2），求证： ．
22．如图，在海岸线 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 ，该曲线段是函数 ， 的图像，图像的最高点为 ．边界的中间部分为长1千米的直线段 ，且 ．游乐场的后一部分边界是以 为圆心的一段圆弧 ．
（1）求曲线段 的函数表达式；
（2）曲线段 上的入口 距海岸线 最近距离为1千米，现准备从入口 修一条笔直的景观路到 ，求景观路 长；
（3）如图，在扇形 区域内建一个平行四边形休闲区 ，平行四边形的一边在海岸线 上，一边在半径 上，另外一个顶点P在圆弧 上，且 ，求平行四边形休闲区 面积的最大值及此时 的值．
23．画出下列函数的图象，并写出函数的定义域，值域；
（1）
（2）
（3）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
2．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
3．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
5．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
6．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性
7．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
8．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】A,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
10．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
11．【答案】
【知识点】函数的值域
12．【答案】③
【知识点】函数的表示方法
13．【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
15．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
16．【答案】
【知识点】函数的值域
17．【答案】解：y=x2+4x﹣4=（x+2）2﹣8，
列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣4 ﹣7 ﹣8 ﹣7 ﹣4 …
描点，连线，如图：
【知识点】函数图象的作法
18．【答案】解： 的定义域满足：
，解得 ，
解得 ． ．
的定义域是
【知识点】函数的定义域及其求法
19．【答案】（1）解：当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x
又f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2
y=f（x）的图像如下所示
（2）解：由（1）知f（x）= ，
由图像可知，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，要使f（x）在[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，只需 解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤3
【知识点】函数单调性的性质
20．【答案】（1）解：，
为偶函数，则，
又；
（2）解：由（1）知，则，
则，
令，得，或；令，得，
故的单调递增区间是；单调递减区间是.
【知识点】函数的单调性及单调区间；偶函数
21．【答案】解：（Ⅰ） ，
记 ，
则f2′（x）=6x2+a，
因为 a＜﹣1则由f2′（x）=0可得x=± ，
（i） ，f1（x）在（﹣∞，1）上递减，
f2（x）在[1，+∞）上递增，
所以[f（x）]min=f（1）=a+1；
（ii） ，f1（x）在（﹣∞，1）上递减， ，
所以 ．
综上， ；
（Ⅱ）证明：不妨设t1＜t2，则由（1）知，若﹣6≤a＜﹣1，则f2（x）在（1，+∞）上递增，
不满足题意，所以a＜﹣6．
所以 ，且 ，
（i）a+1﹣2＞ ，即
即 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ；
（ii）a+1﹣2≤ ，即 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以m≥1+ ，n≤ ，
所以n﹣m≤ ﹣1﹣
令 =u∈（1， ]，则 ﹣1﹣ = u﹣1+ ，
令φ（u）= u﹣1+ ，则 ，
所以φ（u）= u﹣1+ 在u∈（1， ]递增，
所以φ（u）≤φ（ ）= ，所以n﹣m≤φ（u）≤
【知识点】函数的最大（小）值
22．【答案】（1）解：由已知条件，得
又∵
又∵当 时，有
∴ 曲线段 的解析式为 ．
（2）解：由 得
又
∴ 景观路 长为 千米
（3）解：如图，
作 轴于 点，在 中，
在 中，
∴
当 时，即 时：平行四边形面积最大值为
【知识点】函数的图象与图象变化
23．【答案】（1）解：画出函数 的图像，如图所示，函数定义域为： ，值域为： ；
（2）解：画出函数 的图像，如图所示，定义域为： 且 ，
值域为： 且 ；
（3）解：画出函数 的图像，如图所示，定义域为： ，值域为： .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数图象的作法
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