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11.1.2三角形的高、中线与角平分线 学案
（一）学习目标：
1.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念和基本性质。
2.能正确画出并识别不同位置的三角形高线、中线以及角平分线，
3.能运用其基本性质解决简单的几何问题。
（二）学习重难点：
学习重点：理解三角形的高、中线和角平分线的定义及其在几何图形中的作用
学习难点：掌握高线与中线的区别和联系，以及在具体问题中如何选择和应用
阅读课本，识记知识：
（1）三角形的高
定义 几何表达形式
从三角形的一个顶点向它所 对的边画垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高 AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
（2）三角形的中线
定义 几何表达形式
连接三角形的一个顶点 和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 AD是△ABC的边BC上的中线或 BD = DC = BC或BC=2BD=2DC或 D为BC的中点
（4）三角形的角平分线
定义 几何表达形式
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 AD是△ABC的角平分线或
（5）“三线”的交点
一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点.
线的名称 线的位置 交点名称
中线 三条中线交于三角形内部 重心
角平分线 三条角平分线交于三角形内部 内心
高 锐角三角形：三条高都在三角形内部 垂心
直角三角形；其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角形外部
注意：三角形的高、中线、角平分线都是线段。
【例1】在下列图形中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查三角形的高的定义；从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．
【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，
可得D选项中，是中边长的高，
故选：D．
【例2】如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．中边上的高线是过C点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：中边上的高线是过C点作的垂线，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
选择题
1．在下图中，正确画出边上高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握高的定义：即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段．
【详解】解：根据三角形高线的定义可知，只有是正确的，
故选：C．
2．如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据定义可得答案．
【详解】解：∵三角形的中线是一边的中点与此边所对顶点的连线
∴在中有四条线段中，线段是的中线
故选B
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则点C的个数为（点C在格点上）（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查借助网格求面积，根据题意，画出点的位置，利用数形结合的思想，进行求解即可．
【详解】解：由题意，画图如下：
由图可知：共有8个；
故选D．
4．如图，若的面积为，是的中线，是的中线，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解决本题的关键．
【详解】解：∵是的中线，的面积为，
∴的面积为，
∵是的中线，
∴的面积为．
故选：B．
5．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形边中线，求三角形的面积，因为点F是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，D、E、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【详解】解：点F是的中点，
∴的底是，的底是，即=，而高相等，
∴．
∵E是的中点，
∴，，
∴
∴．
∵，
∴，
即阴影部分的面积为．
故选：B．
6．如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的性质即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
，
∵是的中线，
，
故选：A．
7．在中，D是上一点，一定能使得与面积相等的一个条件是（ ）
A． B．平分 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形面积的计算方法，与等高．若和面积相等，则与的底相等．
【详解】解：∵和等高，
∴若和面积相等，则与的底相等，
即．
故选：D
8．如图，在中，作边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图 基本作图，三角形的高的定义等知识，根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答，解题的关键是理解三角形的高的定义．
【详解】在中，作边上的高，作法正确的是：
故选：C．
9．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案．
【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，，
可得：，
已知，
可得，
三边均为整数．
又个答案分别是10，12，14，16．
的边长可能是12．
故选：B．
10．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点．
三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可．
【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，
直线经过的边上的中点，
∴点是重心．
故选A．
填空题
11．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题考查直角三角形的斜边的中线，三角形的面积等知识，根据三角形的中线平分三角形的面积即可．
【详解】解：，
，
是中线，
．
故答案为：15．
12．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题．
【详解】解：因为是边上的中线，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周长为20，
所以．
故答案为：17．
13．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了运用等积关系求线段的长，根据面积相等可列式，代入相关数据即可求解，掌握直角三角形面积的不同求法是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，是的中线，，和的周长差为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
的周长，
的周长，
∵，
∴，
∴和的周长差为2，
故答案为：2．
15．如图，在中，是中线的中点．若的面积是3，则的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
根据的面积等于的面积，的面积等于的面积计算出各部分三角形的面积，最后即可算出的面积．
【详解】解：是边上的中线，E为的中点，
根据等底同高可知，，，
∴，
故答案为：12．
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形中的描点、求三角形的面积，熟练掌握割补法求三角形的面积是本题的关键．
（1）根据坐标，，描点，连接即可得；
（2）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到的面积．
【详解】（1）解：即为所作；
（2）解：．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1．
(1)过点C画的平行线m；
(2)过点C画的垂线，垂足是D；
(3)线段的长度是点C到直线 的距离；
(4)的面积 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题主要考查作图，以及垂线的定义，三角形的面积，熟练掌握作图的方法是解题的关键．
（1）根据平行线的定义画图即可；
（2）根据垂线的定义画图即可；
（3）根据垂线的定义即可得到答案；
（4）利用网格求出三角形的面积．
【详解】（1）解：如图所示，直线m即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：，
线段的长度是点C到直线的距离；
（4）解：．
18. 如图，在中，为的平分线，交于点．
(1)求的度数；
(2)请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以．
因为为的平分线，
所以．
在中，．
（2）如图所示，即为所求．
因为是的中线，，
所以．
又因为为的中点，即是的中线，
所以．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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11.1.2三角形的高、中线与角平分线 学案
（一）学习目标：
1.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念和基本性质。
2.能正确画出并识别不同位置的三角形高线、中线以及角平分线，
3.能运用其基本性质解决简单的几何问题。
（二）学习重难点：
学习重点：理解三角形的高、中线和角平分线的定义及其在几何图形中的作用
学习难点：掌握高线与中线的区别和联系，以及在具体问题中如何选择和应用
阅读课本，识记知识：
（1）三角形的高
定义 几何表达形式
从三角形的一个顶点向它所 对的边画垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高 AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
（2）三角形的中线
定义 几何表达形式
连接三角形的一个顶点 和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 AD是△ABC的边BC上的中线或 BD = DC = BC或BC=2BD=2DC或 D为BC的中点
（4）三角形的角平分线
定义 几何表达形式
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 AD是△ABC的角平分线或
（5）“三线”的交点
一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点.
线的名称 线的位置 交点名称
中线 三条中线交于三角形内部 重心
角平分线 三条角平分线交于三角形内部 内心
高 锐角三角形：三条高都在三角形内部 垂心
直角三角形；其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角形外部
注意：三角形的高、中线、角平分线都是线段。
【例1】在下列图形中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查三角形的高的定义；从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．
【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，
可得D选项中，是中边长的高，
故选：D．【例2】如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．中边上的高线是过C点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：中边上的高线是过C点作的垂线，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
选择题
1．在下图中，正确画出边上高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则点C的个数为（点C在格点上）（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，若的面积为，是的中线，是的中线，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．在中，D是上一点，一定能使得与面积相等的一个条件是（ ）
A． B．平分 C． D．
8．如图，在中，作边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
填空题
11．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的面积为 ．
12．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ．
13．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则 ．
14．如图，是的中线，，和的周长差为 ．
15．如图，在中，是中线的中点．若的面积是3，则的面积是 ．
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)求的面积．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1．
(1)过点C画的平行线m；
(2)过点C画的垂线，垂足是D；
(3)线段的长度是点C到直线 的距离；
(4)的面积 ．
18. 如图，在中，为的平分线，交于点．
(1)求的度数；
(2)请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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