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第3课时 利用二次函数解决最大利润问题
根据二次函数图象的顶点坐标确定最大利润
[例1] (2022滨州)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y(件)是销售价格x(元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数表达式.
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大 并求此最大利润.
解:(2)设每月获得的利润为w元.
则w=(-30x+960)(x-10)
=30(-x+32)(x-10)
=30(-x2+42x-320)
=-30(x-21)2+3 630.
∵-30<0,
∴当x=21时,w有最大值,最大值为3 630.
答:当销售价格定为21元时,每月获得的利润最大,最大利润为3 630元.
新知应用
(2022聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每瓶的成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(瓶)与销售价格x(元/瓶)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元(利润=总销售额-总成本).
121
根据二次函数自变量的取值范围确定最大利润
[例2] (2023南充仪陇月考)今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(kg)与销售单价
x(元)符合一次函数关系,如图所示的是y与x的函数关系图象.
(1)y与x之间的函数表达式为 ,x的取值范围为 .
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W与x之间的函数表达式.
(3)当销售单价x为多少元时,利润W最大,最大利润为多少元
解:(1)y=-2x+340 20≤x≤40
(2)由题意,得W=(x-20)(-2x+340)=-2x2+380x-6 800,
∴W与x之间的函数表达式为W=-2x2+380x-6 800(20≤x≤40).
(3)由(2),知W=-2x2+380x-6 800=-2(x-95)2+11 250,∵-2<0,
20≤x≤40,∴当x=40时,W取得最大值,此时W=5 200.
答:当销售单价x为40元时,利润W最大,最大利润为5 200元.
新知应用
(2022辽宁)某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜,市场监督部门规定其售价每千克不高于28元.经市场调查发现,山野菜的日销售量y(kg)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
每千克售价x/元 … 20 22 24 …
日销售量y/kg … 66 60 54 …
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时,批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大 最大利润为多少元
解:(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元,由题意,得
w=(x-18)y=(x-18)(-3x+126)=
-3x2+180x-2 268=-3(x-30)2+432,
∵-3<0,18≤x≤28,
∴当x=28时,w取得最大值,最大值为420.
∴当每千克山野菜的售价定为28元时,批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大,最大利润为420元.
1.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价金额
x(元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为( )
A.15元 B.400元
C.800元 D.1 250元
2.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的销售单价为( )
A.60元 B.65元 C.70元 D.75元
D
C
3.(2022广西)打油茶是广西少数民族特有的一种民俗.某特产公司近期销售一种盒装油茶,每盒的成本价为50元,经市场调研发现,该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大 求出最大利润.
解:(2)设销售利润为w元.
由题意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5x2+750x-25 000=-5(x-75)2+3 125(50
∵-5<0,50∴当x=75时,w取得最大值,最大值是3 125.
∴当销售单价定为75元时,该种油茶的月销售利润最大,最大利润是
3 125元.
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第2课时 利用二次函数解决抛物线型运动与建筑问题
抛物线型运动问题
[例1] (2022南充)如图所示,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线型水柱,喷头上下移动时,抛物线型水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高 m时,水柱落点距O点4 m.
8
新知应用
1.如图所示,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出
时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,
则小球在飞行过程中能达到的最大高度为 .
20 m
2.某同学练习推铅球,铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线,铅球在离地面1 m高的A处推出,达到最高点B时的高度是2.6 m,推出的水平距离是4 m,铅球在地面上点C处着地.
(1)根据如图所示的平面直角坐标系求抛物线的函数表达式.
解:(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-4)2+2.6.
由题意,得1=a(0-4)2+2.6,解得a=-0.1.
故y=-0.1(x-4)2+2.6=-0.1x2+0.8x+1.
∴抛物线的函数表达式为y=-0.1x2+0.8x+1.
(2)这个同学推出的铅球有多远
抛物线型建筑问题
(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度.
新知应用
1.(2022广安)如图所示的是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面
宽6 m,水面下降 m,水面宽8 m.
2.如图所示,修建一条隧道,其截面为抛物线型,线段OE表示水平的路面,以点O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
1.(跨学科融合)某滑雪运动员从山坡上滑下,其滑行距离s(单位:m)与滑行时间 t(单位:s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为3 s时,滑行距离为( )
A.30 m B.28.5 m
C.26.5 m D.29 m
B
2.(跨学科融合)“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线型的水幕上,通过光学原理折射出图像,水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的,如图所示,水柱的最高点为P,AB=2 m,BP=9 m,水嘴高AD=5 m,则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是 m.
5
3.小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线型,测得喷水头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离 5 m 处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的函数表达式为y=a(x-h)2+k,其中 x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)抛物线的函数表达式为 ;
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸的水平距离为 .
2 m或6 m
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4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决图形面积问题
利用二次函数解决几何图形的面积最值问题
应用二次函数解决图形面积最值问题,通常根据几何图形的面积公式建立函数模型,求出二次函数的表达式,根据自变量的取值范围求函数的最大值.
[例1-1] 某厂要设计一种长方体泡沫箱,要求箱子的底面周长为
200 cm,高为30 cm,当底面宽为 cm时,长方体泡沫盒的体积最大,最大为 cm3(材质和厚度等忽略不计).
50
75 000
[例1-2] (教材P47习题T2变式)(2022威海)如图所示,某农场要建一个矩形养鸡场,鸡场的一边靠墙,另外三边用木栅栏围成.已知墙长
25 m,木栅栏长47 m,在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值.
解:设矩形鸡场与墙垂直一边的长为x m,则与墙平行一边的长为
(47-2x+1)m,由题意,得y=x(47-2x+1)=-2(x-12)2+288(11.5∵-2<0,∴当x=12时,y取得最大值,最大值为288.
∴鸡场面积的最大值为288 m2.
新知应用
1.如图所示,用12 m长的木条做一个有一条横档的矩形窗户,为使通过的光线最多,选择窗户的高AB(木条粗细忽略不计)为( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
2.如图所示的是400 m跑道的示意图,中间的足球场ABCD是矩形,两边是半圆,直道AB的长设为x m.
(1)用含x的代数式表示BC为 ;
(2)设矩形ABCD的面积为S.
①S关于x的函数表达式为 ;
②当直道AB= 时,矩形ABCD的面积最大.
C
100 m
动态几何图形面积的最值问题
C
[例2-2] 如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=
6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以 1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点另一个动点也停止运动,则S四边形BCQP的最小值是( )
A.0 cm2 B.8 cm2
C.16 cm2 D.24 cm2
B
新知应用
1.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,点F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,则S△CDE的最大
值为 .
2.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,点P,Q分别从A,B两点同时出发,点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度匀速运动,点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度匀速运动,设运动时间为x s,△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.
解:(2)∵y=-4x2+24x=-4(x-3)2+36,
∴当x=3时,y最大=36,
即△PBQ的面积的最大值是36 cm2.
1.(2023青岛模拟)如图所示,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,
AC+BD=16,则四边形ABCD的最大面积是( )
A.64 B.32
C.16 D.以上都不对
B
2.如图所示,在矩形ABCD中,AD=3,点E是AD边上的动点,连接CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,过点F作FH⊥AD,垂足为H,连接AF.在整
个变化过程中,△AEF的面积的最大值是 .
3.(2022无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资
源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形,已知栅栏的总长度为 24 m,设较小矩形的宽为x m(如图所示).当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大 最大值为多少
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第2课时 二次函数y=ax2+c的图象与性质
二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系
1.抛物线y=ax2+c与y=ax2的形状、开口方向和大小相同,只是 .
不同.
2.抛物线y=ax2+c可由y=ax2沿y轴方向平移 个单位长度得到.当c>0时,向 平移;当c<0时,向 平移.
位置
|c|
上
下
[例1-1] 将二次函数y=-8x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度,所得图象对应的函数表达式为 .
[例1-2] 将二次函数y=2x2+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式为 .
[例1-3] 将二次函数y=-4x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度,所得图象的开口方向 ,顶点坐标是 .
y=-8x2+3
y=2x2+1
向下
(0,2)
抛物线平移后,其开口大小和方向不变,即a的值不变,沿y轴上下平移,顶点的横坐标不变,纵坐标发生变化.
新知应用
1.将抛物线y=x2-1向上平移2个单位长度,所得的抛物线的函数表达式是( )
A.y=x2-3
B.y=x2+1
C.y=2x2-1
D.y=(x+2)2-1
2.若抛物线y=ax2沿y轴向下平移2个单位长度就能与y=-2x2+c的图象完全重合,则c的值为 .
B
-2
二次函数y=ax2+c的图象与性质
函数 y=ax2+c
二次项系数 a>0 a<0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 ( )
对称轴 y轴
0,c
函数变化 当x>0时,y随x增大而 ; 当x<0时,y随x增大而 . 当x>0时,y随x增大而
;
当x<0时,y随x增大而
.
最大(小)值 当x=0时,y最小= 当x=0时,y最大=
增大
减小
减小
增大
c
c
(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴;
(3)当x>0时,y随x的增大而 ,当x<0时,y随x的增大而 .
解:(2)∵二次函数的表达式为y=4x2+5,
∴抛物线的顶点坐标为(0,5),对称轴为y轴.
(3)增大 减小
新知应用
1.二次函数y=-x2-4的图象经过的象限为( )
A.第一、第四象限 B.第二、第四象限
C.第三、第四象限 D.第一、第三、第四象限
2.若A(-6,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=2x2-1图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3C.y3C
A
3.已知二次函数y=ax2与y=-2x2+c.
(1)若这两个函数图象的形状及开口方向相同,则a的值为 ;
(2)二次函数y=-2x2+c中x,y的几组对应值如下表:
-2
x -2 1 5
y m n p
表中m,n,p的大小关系为 (用“<”连接).
p1.已知抛物线y=(a-1)x2+2的顶点是此抛物线的最低点,那么a的取值范围是( )
A.a≠0 B.a≠1
C.a>1 D.a<1
2.二次函数y=12-ax2的图象经过点A(2,8),B(-3,n),则a的值为
,n的值为 .
C
1
3
(0,3)
10
2≤y≤4
解:如图所示.
7.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度,得到抛物线y=-x2+3,设原抛物线的顶点为P,且原抛物线与x轴相交于点A,B,且点A在点B的左
侧,求△PAB的面积.
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第二章 二次函数
章末知识复习
知识点一 二次函数的定义、图象和性质
C
2.已知抛物线y=(x-2)2+1,下列结论错误的是( )
A.抛物线的开口向上
B.抛物线的对称轴为直线x=2
C.抛物线的顶点坐标为(2,1)
D.当x<2时,y随x的增大而增大
D
3.(2023眉山)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线 x=-1,下列四个结论:①abc<0;②4a-2b+c<0;③3a+c=0;④当-3( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
4.(2022株洲)已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为( )
C
知识点二 二次函数的表达式
D
6.若函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象经过原点,最大值为16,且形状与抛物线 y=-4x2+2x-3相同,则此函数的表达式为 .
.
y=-4x2-16x或y=
-4x2+16x
7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,9),(2,-3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P是这条抛物线上一点,其横、纵坐标互为相反数,求点P的坐标.
知识点三 二次函数的应用
8.(2022连云港)如图所示,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线
y=-0.2x2+x+2.25运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m,则他距篮筐中心的水平距离OH是 m.
4
9.(2022贺州)2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目,冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓,成为热销产品.某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件.若该产品每套的售价是48元时,每天可售出200套;若每套售价提高2元,则每天少
卖4套.
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为 x元,求该商品销售量y与售价x之间的函数表达式.
(2)求每套售价定为多少元时,每天销售套件所获利润W最大,最大利润是多少元
解:(2)根据题意,得
W=(x-34)(-2x+296)
=-2x2+364x-10 064
=-2(x-91)2+6 498,
∵a=-2<0,∴抛物线开口向下,W有最大值.当x=91时,W最大=6 498.
答:每套售价定为91元时,每天销售套件所获利润W最大,最大利润
是6 498元.
知识点四 二次函数与一元二次方程
10.二次函数y=x2+(a+2)x+a的图象与x轴交点的情况是( )
A.没有公共点 B.有一个公共点
C.有两个公共点 D.与a的值有关
11.(2022绍兴)已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的根是( )
A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=5
C
D
12.已知二次函数y=x2-kx-x+k.
(1)若函数图象经过点(2,0),求k的值;
(2)求证:无论k取何实数,该函数图象与x轴总有交点.
(1)解:∵函数y=x2-kx-x+k的图象经过点(2,0),
∴22-2k-2+k=0,解得k=2.
∴k的值为2.
(2)证明:∵Δ=[-(k+1)]2-4k=(k-1)2≥0,
∴无论k取何实数,该函数图象与x轴总有交点.
类型一 二次函数中的数形结合思想
(1)利用函数的图象求函数的表达式;
(2)利用函数的图象解决几何图形问题.
C
(-2,4)
3.(2022深圳)二次函数y=2x2先向上平移 6个单位长度,再向右平移3个单位长度,部分点的坐标如表所示.
y=2x2 y=2(x-3)2+6
(0,0) (3,m)
(1,2) (4,8)
(2,8) (5,14)
(-1,2) (2,8)
(-2,8) (1,14)
(1)m的值为 ;
(2)在平面直角坐标系中画出平移后的图象;
解:(1)6
(2)平移后的函数图象如图所示.
(3)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在平移后的函数图象上,且P,Q两点均在对称轴同一侧,若y1>y2,判断x1与x2的大小关系.
解:(3)∵点P(x1,y1),Q(x2,y2)在平移后的函数图象上,且P,Q两点均在对称轴同一侧,
∴当P,Q两点同在对称轴左侧时,若y1>y2,则x1当P,Q两点同在对称轴右侧时,若y1>y2,则x1>x2.
类型二 方程思想
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求图象的交点坐标.
1.如图所示,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,那么抛物线的函数表达式为
.
y=x2-1
1.(2023泸州)已知二次函数y=ax2-2ax+3(其中x是自变量),当0A.0B.a<-1或a>3
C.-3D.-1≤a<0或0D
2.(2022雅安)抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-9,则下列结论:①当x=2时,y取得最小值-9;②若点(3,y1),(4,y2)在其图象上,则y2>y1;③将其函数图象向左平移 3个单位长度,再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=(x-5)2-5;④函数图象与x轴有两个交点,且两交点的距离为6.其中正确的序号为( )
A.②③④ B.①②④
C.①③ D.①②③④
B
3.(2022成都)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(m)与物体运动的时间t(s)之间满足函数关系
h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面 20 m,物体从发射到落地的运动时间为3 s.设w表示0 s到 t s 时h的值的“极差”(即 0 s 到t s时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w的取值范围是 ;当2≤t≤3时,w的取值范围是 .
0≤w≤5
5≤w≤20
4.(2023南充)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且 4≤m≤6)售价8元/件,每日最多产销 500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价 12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费
y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
解:(1)根据题意,得
w1=(8-m)x-30(0≤x≤500).
w2=(20-12)x-(80+0.01x2)=-0.01x2+8x-80(0≤x≤300).
(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润(A产品的最大日利润用含m的代数式表示).
解:(2)∵8-m>0,∴w1随x的增大而增大.
又∵0≤x≤500,∴当x=500时,w1有最大值,即w1最大=(-500m+
3 970)(元).
∵w2=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1 520,∴对称轴为直线x=400.
又∵-0.01<0,
∴当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大.
∴当x=300时,=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420(元).
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品 并说明理由[利润=(售价-成本)×产销数量-专利费].
解:(3)①若w1最大=w2最大,即-500m+3 970=1 420,解得m=5.1,
②若w1最大>w2最大,即-500m+3 970>1 420,解得m<5.1,
③若w1最大5.1.
又4≤m≤6,综上可得,为获得最大日利润:
当m=5.1时,选择A,B产品产销均可;当4≤m<5.1时,选择A种产品产销;
当5.1答:当A产品成本价为5.1元时,工厂选择A或B产品产销日利润一样大,当A产品成本价4≤m<5.1时,工厂选择A产品产销日利润最大,当5.1谢谢观赏！(共16张PPT)
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与
性质
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
1.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的图象都是抛物线,它们的形状相
同,但 不同.
2.把二次函数y=ax2的图象向上(或下)平移后再向左(或右)平移,可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象,平移的方向、距离要根据h,k的值来决定.
(1)当k>0时,向上平移 个单位长度;当k<0时,向下平移 个单位长度;
(2)当h>0时,向右平移 个单位长度;当h<0时,向左平移 个单位长度.
位置
k
|k|
h
|h|
[例1-1] (2022通辽)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的函数表达式为( )
A.y=(x-2)2-1
B.y=(x-2)2+3
C.y=x2+1
D.y=x2-1
D
[例1-2] 将抛物线y=-2x2平移,得到抛物线y=-2(x-1)2-2,下列平移方式中,正确的是( )
A.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D
(2)平移规律:上加下减,左加右减.
新知应用
1.将二次函数y=-2(x-3)2+5的图象向下平移 个单位长度,再向 平移 个单位长度,所得图象的函数表达式为 y=-2x2.
5
左
3
解:(1)将函数y=(x+1)2-4的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度后得到的图象的函数表达式为y=(x+1-2)2-4+4=(x-1)2.
(2)设经过原点的函数图象的表达式为y=(x+1)2-4+h,把(0,0)代入,得0=(0+1)2-4+h,解得h=3.
则过原点的图象的函数表达式为y=(x+1)2-1.
即把函数y=(x+1)2-4的图象向上平移3个单位长度后的图象经过原点.
2.已知函数y=(x+1)2-4.
(1)若将函数y=(x+1)2-4的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,求得到的图象的函数表达式;
(2)函数y=(x+1)2-4的图象经过怎样的上下平移能经过原点
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴是直线 ,顶点坐标是
.
(1)当a>0时,二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口向上,当xh时,y随x的增大而增大,当x=h时,y有最小值为 ;
(2)当a<0时,二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口向下,当xh时,y随x的增大而减小,当x=h时,y有最大值为 .
x=h
(h,k)
减小
k
增大
k
[例2-1] 已知二次函数y=-6(x-3)2+1,图象的对称轴为直线 ,顶点坐标为 ;若y随x的增大而增大,则x的取值范围是
.
x=3
(3,1)
x<3
[例2-2] 画函数y=(x-2)2-1的图象,并根据图象回答.
(1)当x为何值时,y随x的增大而减小
(2)当x为何值时,y>0
解:函数y=(x-2)2-1的图象(简图)如图所示.
(1)由函数图象,知当x<2时,y随x的增大而减小.
(2)由函数图象,知当x<1或x>3时,y>0.
新知应用
1.已知二次函数y=6(x-2)2+5,则关于该函数,下列说法正确的是
( )
A.该函数图象的顶点坐标是(-2,5)
B.当x>2时,y的值随x值的增大而减小
C.当x取1和3时,所得到的y的值相同
D.该函数图象有最高点为(2,5)
C
1.(2022哈尔滨)抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是( )
A.(9,-3) B.(-9,-3)
C.(9,3) D.(-9,3)
2.将抛物线y=4-(x+1)2向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得抛物线必定经过点( )
A.(-2,2) B.(-1,1)
C.(0,6) D.(1,-3)
B
B
B
A
5.(2023大荔县期末)在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2+1的图象先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的函数表达式为 .
6.已知二次函数y=-(x-1)2-2,当2≤x≤4时,y的取值范围是
.
y=(x+3)2-1
-11≤y≤-3
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5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
利用二次函数与一元二次方程的关系解决交点问题
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有
的实数根、有 的实数根、 实数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的 就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
两个不相等
两个相等
没有
横坐标
[例1-1] (2023郴州)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点,则c= .
[例1-2] 已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).求证:无论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.
9
证明:∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根,
即无论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.
计算Δ=b2-4ac的值来确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数,当 b2-4ac>0时,有两个交点;当b2-4ac=0时,有一个交点;当b2-4ac<0时,没有交点.
新知应用
1.下列二次函数的图象与x轴没有交点的是( )
A.y=x2+2x+1 B.y=x2+x+2
C.y=x2-1 D.y=x2-2x-1
2.二次函数y=x2-kx+k-2的图象与x轴交点的情况,下面判断正确的是( )
A.有两个交点 B.有且只有一个交点
C.没有交点 D.无法确定
B
A
二次函数图象与一次函数图象交点问题
[例2-1] 如图所示,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),
B(3,q)两点,则不等式ax2-mx+c>n的解集为( )
A.x>-1 B.x<3
C.x<-1或x>3 D.-1C
[例2-2] 如图所示,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(-3,
-6),B(1,-2),则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为 .
x1=-3,x2=1
新知应用
1.一元二次方程2x2-x-2=0的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标( )
A.y=2x2和y=x+2
B.y=2x2和y=-x-2
C.y=-2x2和y=x+2
D.y=-2x2和y=-x+2
A
2.如图所示,已知函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与 y2=kx+b的图象交于点
A(-1,0),B(-4,3)两点,则y1A.x<-4 B.-4C.x>-1 D.x<-4或x>-1
B
3.已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点,一次函数y=kx+b的图象经过抛物线上的点C(m,n).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若当m=3时,一次函数y=kx+b的图象与抛物线只有一个公共点,求k的值.
解:(2)∵点C(m,n)在抛物线上,∴n=-m2+2m+3.当m=3时,n=0.
∴点C的坐标为(3,0).
∵一次函数y=kx+b的图象经过抛物线上的点C(m,n),
∴3k+b=0.∴b=-3k.∴一次函数的表达式为y=kx-3k.
∵一次函数y=kx+b的图象与抛物线只有一个公共点,
∴方程kx-3k=-x2+2x+3有两个相等的实数根.
化简,得x2+(k-2)x-(3k+3)=0.∴Δ=(k-2)2+4(3k+3)=0,
解得k=-4.∴k的值为-4.
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过点(1,-1),且图象对称轴为直线x=2,则方程ax2+bx+c=-1(a≠0)的解为( )
A.x1=x2=1 B.x1=1,x2=2
C.x1=2,x2=3 D.x1=1,x2=3
2.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(2,0),则关于x的一元二次方程a(x+1)2+bx=-b-c的解为( )
A.x=-1 B.x=-2
C.x1=-2,x2=1 D.x1=2,x2=0
D
C
B
4.二次函数y=ax2+bx+c的大致图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c
=2的解是 .
x1=-2,x2=0
5.(2022青岛)已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数,m>0)的图象经过点 P(2,4).
(1)求m的值;
解:(1)将(2,4)代入y=x2+mx+m2-3,得4=4+2m+m2-3,
解得m1=1,m2=-3.
∵m>0,∴m=1.
∴m的值为1.
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
解:(2)有2个交点.理由如下:
∵m=1,∴y=x2+x-2.
∵Δ=b2-4ac=12+8=9>0,
∴二次函数的图象与x轴有2个交点.
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
(1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象;
(2)确定图象与x轴交点的横坐标在哪两个连续整数之间;
(3)列表,在两个连续整数之间对x取一系列值,看y对应的哪两个值由负变正,或由正变负,此时,x的两个对应值之间必有一个是近似根.
[例1-1] 小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根为 (精确到0.1).
1.4
[例1-2] 用图象法求方程x2=3x-1的近似根(精确到0.1).
解:方程x2=3x-1的根是函数y=x2-3x+1的图象与x轴交点的横坐标.
作出二次函数y=x2-3x+1的图象,如图所示.
由图象,知方程有两个根,一个在0和1之间,另一个在2和3之间.
先求0和1之间的根,当x=0.3时,y=0.19;当x=0.4时,
y=-0.04,而|0.19|>|-0.04|,
因此,x=0.4是方程的一个近似根.
同理,x=2.6是方程的另一个近似根.
∴方程x2=3x-1的两个近似根是x1=0.4,x2=2.6.
新知应用
下表是若干组二次函数y=x2-5x+c的自变量x与函数值y的对应值:
那么方程x2-5x+c=0的一个近似根(精确到0.1)是( )
A.1.4 B.1.5 C.1.6 D.1.7
B
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 -0.08 -0.27 -0.44 …
1.根据以下表格中二次函数 y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,可以判断方程ax2+bx+c=0的一个根x的范围是( )
A.0C.1B
x 0 0.5 1 1.5 2
y=ax2+bx+c -1 -0.5 1 3.5 7
2.如图所示,已知二次函数 y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个近似根,其中x1≈1.6,x2≈ .
4.4
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2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象与性质
描点法画二次函数y=ax2的图象
描点法画二次函数图象的主要步骤:列表, ,连线.
描点
二次函数y=ax2的图象与性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴
顶点坐标 (0,0)
性质 当x>0时,y随x的增大而 ; 当x<0时,y随x的增大而 ; 当x=0时,y取得最小值 0 当x>0时,y随x的增大而
;
当x<0时,y随x的增大而
;
当x=0时,y取得最大值
a决定图象的形状,包括开口方向和开口大小,a的绝对值越大,开口越小
增大
减小
减小
增大
0
①③②
[例2-2] 已知二次函数y=ax2,当x=3时,y=3.
(1)当x=-2时,求y的值.
(2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3)当x为何值时,函数y的值随x值的增大而增大 当x为何值时,函数y的值随x值的增大而减小
解:(3)当x>0时,函数y的值随x值的增大而增大,当x<0时,函数y的值随x值的增大而减小.
(1)二次函数y=ax2的图象是轴对称图形,对称轴是y轴;
(2)|a|的大小决定了抛物线的开口大小;|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大.
新知应用
1.二次函数y=x2的图象经过的象限是( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
2.抛物线y=-6x2的顶点坐标为( )
A.(0,0) B.(0,-6)
C.(-6,0) D.(-6,-6)
A
A
3.已知四个二次函数的图象如图所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是
(请用“>”连接).
a1>a2>a3>a4
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(-1,4),则该图象必经过点( )
A.(1,4) B.(-1,-4)
C.(-4,1) D.(4,-1)
2.关于抛物线y=-4x2,下列说法错误的是( )
A.开口向下
B.顶点坐标为(0,0)
C.对称轴为直线x=0
D.当x>0时,函数y随x的增大而增大
A
D
3.已知点A(-2,y1),B(2,y2),C(4,y3)在二次函数y=-3x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .
y1=y2>y3
2
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第2课时 已知图象上三点求函数的表达式
设一般式求二次函数的表达式
若已知抛物线上任意三个点的坐标,可设二次函数的表达式为
y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入,列出关于a,b,c的 ,解得待定系数的值,确定出二次函数的表达式.
方程组
[例1-1] 已知抛物线上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示,则抛物线的函数表达式是( )
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
A
x … -1 0 1 …
y … 8 3 0 …
[例1-2] 已知抛物线y=ax2+bx+c经过 A(1,0),B(3,0)和C(0,3)三点,求该抛物线的函数表达式及顶点坐标.
新知应用
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(4,0),B(0,-3),C(-2,0),则二
次函数的表达式为 ,其顶点坐标为 .
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点.求二次函数的表达式.
灵活设表达式的形式求二次函数的表达式
[例2] 已知二次函数分别满足下列条件,求其表达式.
(1)图象经过点A(1,3),B(-2,12),C(-1,5)三点;
(2)图象经过点A(1,0),B(0,-3),且对称轴是直线x=2.
解:(2)∵二次函数图象的对称轴是直线x=2,
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0).
设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3).
把(0,-3)代入,得a·(-1)×(-3)=-3,
解得a=-1.
∴y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.
∴二次函数的表达式为y=-x2+4x-3.
二次函数表达式的三种形式
一般式:y=ax2+bx+c;
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为图象与x轴交点的横坐标);
顶点式:y=a(x-h)2+k((h,k)为图象的顶点坐标).
新知应用
已知二次函数的图象满足下列条件,求它的函数表达式.
(1)经过原点和点(-1,3),对称轴为直线x=4;
(2)经过点(1,1),(-2,1)和(2,3).
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则该函数的表达式为( )
A.y=-3x2+12x+9
B.y=-x2+2x+3
C.y=-3x2+4x+3
D.y=-x2+4x+1
B
2.(2023济南期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足
下表:
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 -1 0 m 8 …
(1)m的值为 ;
(2)这个二次函数的表达式为 .
3
y=x2-4x+3
3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的表达式.
(1)已知二次函数的图象经过点(0,2),(1,1),(3,5);
(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1);
(3)已知抛物线与x轴交于点(-3,0),(5,0),且与y轴交于点(0,-3).
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第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系
抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2沿x轴方向左右平移|h|个单位长度得到的,当h>0时,向 平移;当h<0时,向 平移.
右
左
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( )
A.y=(x+1)2-2 B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2 D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 平移3个单位长度得到.
D
左
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.对于二次函数y=a(x-h)2的图象,对称轴是直线x= ,顶点坐标是 .
2.当a>0时,图象开口向 .当xh时,y随x的增大而 ;当x=h时,函数有最小值为 ;当a<0时,图象开口向 .当xh时,y随x的增大而减小;当x=h时,函数有最大值为 .
h
(h,0)
上
减小
增大
0
下
增大
0
解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-1.
解:(2)填表如下:
(2)完成下表;
x … -7 -5 -3 1 3 …
y … -9 0 -1 -9 …
x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
解:(3)描点作图如图所示.
(3)在平面直角坐标系中描点画出此抛物线.
解:(1)二次函数y=-3(x+2)2的图象与y=-3x2的图象开口方向和大小相同.
∵-3<0,∴抛物线的开口向下,
它是轴对称图形,对称轴为直线x=-2,
顶点坐标是(-2,0).
[例2-2] 对于二次函数y=-3(x+2)2.
(1)它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
解:(2)∵-3<0,抛物线的开口向下,
∴当x<-2时,y的值随x值的增大而增大;当x>-2时,y的值随x值的增大而减小.
(2)当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小
新知应用
向上
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x2的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1)2的图
象,平移方法正确的是( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
B
A
6
<
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单位长度所得对应点的坐标为(1,0).
∴把抛物线y=-2(x-5)2向左平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=-2(x-1)2.
∴原抛物线的函数表达式为y=-2(x-1)2.
∴a的值为-2,h的值为1.
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第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与
性质
二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的关系
新知应用
1.将抛物线y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k后,h的值为 ,k的值为
.
2
1
2.求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
(1)y=x2-6x+3;
(2)y=-2x2-3x+1.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
C
[例2-2] 已知二次函数y=-2x2+4x+6.
(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴.
(2)自变量x在什么范围内,y随x的增大而减小 在什么范围内,y随x的增大而增大
解:(2)∵-2<0,
∴二次函数图象的开口向下.
又∵二次函数图象的对称轴为直线x=1,
∴当x>1时,y随着x的增大而减小,当x<1时,y随着x的增大而增大.
新知应用
1.(2023成都模拟)关于二次函数y=-x2-2x+5,下列说法正确的是
( )
A.y有最小值
B.图象的对称轴为直线x=1
C.当x<0时,y的值随x的值增大而增大
D.图象是由y=-x2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移6个单位长度得到的
D
2.(2023隆昌校级月考)已知(-4,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线
y=-2x2-8x+m上的点,则( )
A.y3C.y2A
二次函数性质的应用
[例3-1] 为测量某地温度变化情况,记录了一段时间的温度.一段时间内,温度y(单位:℃)与时间t(单位:h)之间的函数关系满足
y=-t2+12t+2,当4≤t≤8时,该地的最高温度是( )
A.38 ℃ B.37 ℃
C.36 ℃ D.34 ℃
A
[例3-2] 某广场有一喷水池,水从地面喷出,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,水在空中划出的曲线是抛物线y=-2x2+8x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是 m.
8
新知应用
1.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间
t(s)的函数表达式是s=-0.25t2+10t,无人机着陆后滑行 s才能停下来.
2.某一飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数表达式是y=60x-1.5x2,则该飞机着陆后滑行的最大距离是
m.
20
600
1.(2022兰州)已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是( )
A.x<1 B.x>1
C.x<2 D.x>2
2.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-2x-1先向左平移2个单位长
度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线的函数表达式为( )
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2+1
C.y=(x-3)2-1 D.y=(x-3)2+3
B
A
3.(2023达州)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线 x=1对称.下列五个结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;
④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.(跨学科融合)(2022南通)根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的函数表达式是h=-5t2+20t,当飞行时间t为 s时,小球达到最高点.
B
2
5.(2023菏泽期末)已知二次函数y=x2-2x+c的图象如图所示.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标;
解:(1)把(4,5)代入y=x2-2x+c,得42-2×4+c=5,解得c=-3.
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,-4).
(2)将该二次函数图象进行左右平移,使其经过坐标原点,请直接写出平移的方法.
解:(2)将该二次函数图象向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度,使二次函数图象经过坐标原点.
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第二章 二次函数
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质,知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 会通过分析实际问题的情景确定二次函数的表达式,体会二次函数的意义;会用描点法画出二次函数的图象,会利用一些特殊点画出二次函数的草图;通过图象了解二次函数的性质,知道二次函数的系数与图象形状和坐标轴的关系.
3.会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值,能解决相应的实际问题. 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,能由此得出二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,得出二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值,解决简单的实际问题.知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
1 二次函数
二次函数的概念
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y= . (a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.其中x是自变量.
ax2+bx+c
B
1
-6
-1
判别二次函数的三个条件
(1)含有自变量的代数式是整式;
(2)化简后自变量的最高次数是2;
(3)二次项的系数不为0.
新知应用
C
D
列二次函数关系式
根据实际问题列二次函数关系式时要注意:正确寻找等量关系,自变量的 要使实际问题有意义.
[例2] 在△ABC中,∠B=30°,AB+BC=12,设AB=x,△ABC的面积是S,则面积S与x之间的函数关系式为 ,自变量x的取值范围为
.
取值
0新知应用
1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品的售价为x元,则可卖出(350-10x)件,销售这批商品所得的利润y(元)与售价x(元/件)的函数关系式为 .
.
y=-10x2+560x-7 350(212.如图所示的是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图,该矩形的长、宽分别为5 cm,3 cm,其中阴影部分为迷宫中的挡板,设挡板的宽度为x cm,小球滚动的区域(空白区域)面积为y cm2,则y与x之间的函数关系式为 .
y=x2-8x+15(0求二次函数的值
[例3] 某中学准备将一块长20 m,宽14 m的矩形绿地扩建,如果长和宽都增加x m,增加的面积是y m2.则
(1)y与x之间的函数关系式为 ;
(2)当x=3 m时,y的值是 m2;
(3)若要使绿地面积增加72 m2,长与宽都要增加 .
y=x2+34x(x>0)
111
2 m
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A
1.225 m
1.关于二次函数y=mx2-8x,下列说法错误的是( )
A.m≠0 B.二次项为mx2
C.一次项系数为8 D.常数项为0
2.下列具有二次函数关系的是( )
A.正方形的周长y与边长x
B.速度一定时,路程s与时间t
C.正方形的面积y与边长x
D.三角形的高一定时,面积y与底边长x
C
C
3.已知二次函数y=4x2+3x+c,当自变量x的值为-1时,对应的函数值为-4;当自变量x的值为1时,对应的函数值为 .
4.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆,下部是一个矩形,矩形的一边长为2.5 m.则
(1)隧道截面的面积S(m2)与上部半圆的半径r(m)之间的函数关系式为 ;
(2)当上部半圆的半径为2 m时,截面的面积为 (精确到0.1 m2).
2
16.3 m2
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3 确定二次函数的表达式
第1课时 已知图象上两点求函数的表达式
已知顶点及图象上另一点的坐标求二次函数的表达式
已知抛物线的顶点(h,k),设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,把另一点的坐标代入此表达式求出待定系数a,就可以确定二次函数的表
达式.
[例1-1] 已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(1,-3).
(1)求该抛物线的函数表达式;
解:(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2.
把(1,-3)代入,得a(1-2)2=-3,
解得a=-3.
∴y=-3(x-2)2=-3x2+12x-12.
∴该抛物线的函数表达式为y=-3x2+12x-12.
(2)若点(m,-27)在该抛物线上,求m的值.
解:(2)把(m,-27)代入y=-3x2+12x-12,得-3m2+12m-12=-27,
解得m1=5,m2=-1.
∴m的值为-1或5.
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B
B
3.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表达式为( )
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2+2x+3
C.y=-x2+2x-3
D.y=-x2-2x+3
D
已知某一项的系数和图象上两点的坐标求二次函数的表达式
若已知二次函数表达式y=ax2+bx+c中某一项的系数,可将已知两点坐标分别代入表达式,列出二元一次方程组求出 ,从而确定二次函数的表达式.
两个待定的系数
[例2-1] 已知二次函数y=ax2-4x+c(a≠0)的图象经过点A(1,0)和点B(0,3),则二次函数的表达式为 ,此抛物线的顶点坐标为 .
y=x2-4x+3
(2,-1)
[例2-2] 已知抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数,a≠0)经过点A(-1,-2),点 B(1,-6).求抛物线的函数表达式.
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1.已知抛物线的对称轴是y轴,且经过点(1,3),(2,6),则该抛物线的函数表达式为 .
y=x2+2
C
y=-x2+x+2
3.已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,2),且过点(-1,3).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)判断点P(1,9)是否在这个二次函数的图象上,并说明理由.
解:(1)设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+2,
将点(-1,3)代入,得a(-1+2)2+2=3,
解得a=1.
∴二次函数的表达式为y=(x+2)2+2=x2+4x+6.
(2)点P(1,9)不在这个二次函数的图象上.理由如下:
把x=1代入y=x2+4x+6,得
y=1+4+6=11≠9.
∴点P(1,9)不在这个二次函数的图象上.
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