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3 三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值
[例1] 用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1).
(1)sin 47°;(2)sin 12°30′;(3)cos 25°18′.
解:根据题意用计算器求得:
(1)sin 47°≈0.731 4;
(2)sin 12°30′≈0.216 4;
(3)cos 25°18′≈0.904 1.
新知应用
D
2.用计算器求sin 15°18′+cos 7°30′-tan 54°42′的值(结果精确到0.000 1).
解:sin 15°18′+cos 7°30′-tan 54°42′
≈0.263 87+0.991 44-1.412 35
≈-0.157 0.
用计算器求已知三角函数值的对应角
[例2] 根据条件求锐角的度数(精确到0.001°).
(1)已知sin A=0.753,求∠A的度数;
(2)已知cos B=0.083 2,求∠B的度数;
(3)已知tan C=45.8.求∠C的度数.
解:(1)∵sin A=0.753,
∴∠A≈48.851°.
(2)∵cos B=0.083 2,∴∠B≈85.227°.
(3)∵tan C=45.8,∴∠C≈88.749°.
新知应用
A
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.3,BC=2.8,则∠A的度数约为
(用科学计算器计算,结果精确到0.1°).
27.8°
A
0.591 4
3.已知三角函数值,求锐角的度数(精确到1″).
(1)已知sin α=0.501 8,求锐角α的度数;
(2)已知tan θ=5,求锐角θ的度数.
解:(1)∵sin α=0.501 8,
∴α≈30.119 2°.∴α≈30°7′9″.
(2)∵tan θ=5,
∴θ≈78.690 1°≈78°41′24″.
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5 三角函数的应用
第1课时 方位角问题
与方位角有关的两地间距离的计算
[例1] (2022安徽)如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90 m至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离(参考数据:sin 37°≈
0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).
新知应用
B
2.如图所示,公路l上A,B两点之间的距离为20 m,点B在点C的南偏西30°方向上,点A在点C的南偏西60°方向上,则点C到公路l的距离为
.
与方位角有关的航海问题的计算
[例2] (2023眉山)如图所示,一渔船在海上 A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12 n mile到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 n mile.
新知应用
A
50
D
3.如图所示,某轮船在港口A处观测到在其北偏东50°方向有一灯塔P,轮船早上8:00从港口A出发沿北偏东70°方向航行,11:00到达
B处,此时观测到灯塔P在其正西方向,若港口A与灯塔P的距离为
40 n mile,求轮船的航行速度(结果精确到1 n mile/h.参考数据:
sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36).
仰角与俯角问题
与仰角、俯角有关的高度计算
新知应用
B
1 200
与仰角、俯角有关的宽度计算
[例2] (2022广元)如图所示,计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45°,在距E点80 m的C处测得山顶A的仰角为30°,从与F点相距10 m的D处测得山顶A的仰角为45°,点C,E,F,D在同一直线上,求隧道EF的长度.
新知应用
1.如图所示,从热气球C上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为29.5° 和45°,这时气球的高度CD为100 m,且点A,D,B在同一条直线上,则建筑物A,B之间的距离为 (结果精确到1 m.参考数据:
sin 29.5°≈0.49,cos 29.5°≈0.87,tan 29.5°≈0.57).
275 m
2.如图所示,一枚巡航导弹发射一段时间后,平行于地面飞行.当导弹到达点A处时,从位于地面C处的雷达站测得AC是400 m,仰角是45°,
1 s后导弹到达点B处,此时测得仰角是30°,则AB的长度是
(结果保留根号).
D
2.如图所示,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.则该电线杆PQ的高度是 m(结果可保留根号).
3.如图所示,小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,D两点的仰角均为60°,若点O,A,B在同一条直线上,A,B两点间的距离为
3 m,则条幅的高CD为 m.
4.(2023凉山)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A,D,B,F在同一直线上.点C、点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到 1 m).
解:(2)小型汽车从点A行驶到点B没有超速.理由如下:
900÷45=20(m/s),
20 m/s=20×3.6=72(km/h).
∵72<80,
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速.
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第一章 直角三角形的边角关系
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
1.探索并认识锐角三角函数(sin A, cos A,tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角. 3.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题. 理解锐角三角函数,能用锐角三角函数解决简单的实际问题.在这样的过程中,发展几何直观.
1 锐角三角函数
第1课时 正 切
锐角三角函数——正切
(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”,正切只与角的大小有关,与三角形的大小无关;
(2)tan A不是一个角,也不是tan和A的乘积,tan A 是一个比值,没有单位.
新知应用
D
17
梯子的倾斜程度与正切值的关系
用正切可以描述梯子的倾斜程度,正切值越 ,梯子越陡.
[例2] 分别把两根木棒的一头靠在墙上,另一头放在地面上,木棒A的倾斜角为α,木棒B的倾斜角为β,已知tan α=0.672 8,tan β=
0.523 8,试判断下列结论正确的是( )
A.木棒A比木棒B陡
B.木棒B比木棒A陡
C.木棒A与木棒B一样陡
D.无法确定
大
A
新知应用
如图所示,AB,CD是两架靠墙摆放的梯子,AE=6 m,BE=3 m,DF=5 m,CF=
2.4 m,比较哪一架梯子较陡,说明理由.
坡度
用正切也可以描述山坡的坡度(或坡比),坡面的铅直高度h与水平宽
度l的比称为坡度(或坡比).若坡面的坡度记作i,则i= .
[例3] 坡度(或坡比)常用来反映斜坡的倾斜程度.如图所示,斜坡AB的坡度为 .
新知应用
1.如图所示,某河堤横断面迎水坡AC的坡度 i=1∶2,若BC=60 m,则高度AB为 .
2.某人沿着坡面前进了6 m,此时他在垂直方向的距离上升了2 m,则
这个坡面的坡度为 .
30 m
C
C
A
4.下图分别表示甲、乙两个不同的山坡,根据图中的数据判断:tan α tan β(选填“>”“<”或“=”),即 坡更陡(选填“甲”或“乙”).
<
乙
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,CD⊥AB于点D.求tan ∠BCD的值.
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2 30°,45°,60°角的三角函数值
30°,45°,60°角的三角函数值
1
[例1] 计算:
(1)cos 30°+tan 45°-sin 60°;
新知应用
计算:
(1)2cos 30°+4sin 30°-tan 60°;
(2)3tan 30°+tan 45°-2sin 60°.
由特殊角的三角函数值求角的度数
C
A
(2)正、余弦值的分母都是2,正切值的分母都是3;分子的被开方数简记为“一二三,三二一,三九二十七”.
新知应用
C
A
特殊角的三角函数值的应用
[例3] 如图所示,一棵大树在离地面若干米处折断倒下,B为折断处最高点,树顶A到树根C的距离是12 m,测得∠BAC=30°,求BC的长(结果保留根号).
新知应用
1.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝,他们放出的线长分别为300 m,250 m,200 m,线与地面所成的角度分别为30°,45°,60°(假设风筝线是拉直的),则三人所放风筝( )
A.甲的最高 B.乙的最高
C.丙的最高 D.乙的最低
2.如图所示,梯子AB斜靠在墙面上,与地面所成锐角∠ABC=60°,若梯子的底端B到墙的距离BC=3 m,则梯子的顶端到地面的距离AC=
m,梯子的长度为 m.
B
6
B
D
50°
45°
6
(2)cos245°+sin 60°tan 45°+sin230°.
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第一章 直角三角形的边角关系
章末知识复习
知识点一 锐角三角函数
A
知识点二 特殊角的三角函数值
C
C
知识点三 解直角三角形
C
60°或120°
知识点四 锐角三角函数的应用
9.(2022福建改编)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD为( )
A.22sin 27° cm B.22tan 27° cm
C.22cos 27° cm D.44tan 27° cm
B
类型一 转化思想
几种常见的转化类型
(1)利用三角函数的定义进行边与角的转化;
(2)利用互余角的三角函数值实现正弦、余弦的转化;
(3)通过作垂线实现将非直角三角形转化为直角三角形;
(4)利用等角替换,把求一个角的三角函数值转化为求另一个和它相等的角的三角函数值;
(5)将实际问题转化为三角函数关系,通过解直角三角形解决实际问题.
A
A
B
类型二 方程思想
几种常见的列方程的方法
(1)根据三角函数的等量关系列方程;
(2)根据图形中线段的数量关系列方程.
31.9 m
C
B
3.(2021广安)如图所示,将三角形纸片ABC折叠,使点B,C都与点A重
合,折痕分别为DE,FG.已知∠ACB=15°,AE=EF,DE=,则BC的长为
.
4.(2022绵阳)如图所示,测量船以20 n mile/h的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量,测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上,观测点C位于北偏东45°方向上.航行半个小时到达B点,这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上,若CD与AB平行,则CD的长为 n mile(计算结果不取近似值).
5.(2022凉山)如图所示,CD是平面镜,光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),
AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且AC=3,BD=6,CD=12,则tan α的值为
.
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第2课时 正弦和余弦
锐角三角函数——正弦、余弦
1.在Rt△ABC中,锐角A的 与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A= ;锐角A的 与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A= .
2.锐角A的正弦、余弦和 都是∠A的三角函数.当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
对边
邻边
正切
[例1] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求∠A的正弦和余弦.
新知应用
B
梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系
用正弦、余弦也可以描述梯子的倾斜程度.正弦值越 ,梯子越陡;余弦值越 ,梯子越陡.
[例2] 如图所示,梯子(长度不变)跟地面所成的夹角为∠α,下列关于三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,叙述正确的是( )
A.sin α的值越大,梯子越陡
B.cos α的值越大,梯子越陡
C.tan α的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的三角函数值无关
大
A
小
当锐角α变大时,它的正弦值变大,正切值变大,余弦值变小.
新知应用
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A的度数不断增大时,cos A的值的变化情况是( )
A.不断变大 B.不断减小
C.不变 D.不能确定
2.如图所示,梯子AB,DF斜靠在墙上,AB=10,AC=6,DE=8,DF=12,则更陡一些的是梯子 .
B
AB
A
C
4.(原创题)如图所示,将两根木棒AB,CD分别斜靠在垂直于地面的墙
AE上,其中AB=10 dm,CD=6 dm,AE=8 dm,BD=8 dm.
(1)求sin∠ABE,sin∠CDE的值;
(2)请你判断哪根木棒更陡,并说明理由.
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6 利用三角函数测高
测量底部可以到达的物体的高度
1.测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由 、铅锤和支杆组成.
2.所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以 地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
度盘
无障碍
[例1] (2023菏泽一模)如图所示,李华站在到通讯楼BC的距离为
100 m 的A处操控无人机测量通讯楼BC的高度,在D处的无人机距地面AB的高度为60 m.在D处测得点A和通讯楼楼顶C的俯角分别为37°和45°,求通讯楼BC的高度(注:点A,B,C,D都在同一平面上,无人机大小忽略不计.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°
≈0.75).
测量底部可以到达的物体的高度实际上是测量一个直角三角形中的一条直角边的长,应用锐角三角函数和线段之间的和差关系,求出物体的高度,如果背景图形是四边形或非直角三角形,可以作垂
线或高线等构造矩形或直角三角形.
新知应用
1.(2022南通)如图所示,B为地面上一点,测得B到树底部C的距离为
10 m,在B处放置1 m高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60°,则树高AC为 m(结果保留根号).
2.为测量观光塔高度,如图所示,某同学先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后站在B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°,已知楼房高AB约是45 m,则观光塔的高CD是
.
135 m
测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上 直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
不能
新知应用
C
2.如图所示,在高度是30 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD为 m.
16
1.(2022湖北)如图所示,有甲、乙两座建筑物,从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6 m,则甲建筑物的高度AB为
m(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°
≈1.60.结果保留整数).
8 m
4.3 m
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4 解直角三角形
用计算器求锐角的三角函数值
1.由直角三角形中 的元素,求出所有 元素的过程,叫做解直角三角形.
2.在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道 . 和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.
3.已知直角三角形的两边,求未知元素时,可先利用 求第三边,再利用三角函数求锐角的度数.
已知
未知
一条边
勾股定理
[例1-2] 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,
c,a=4,c=8,求这个直角三角形的其他元素.
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)三边关系:a2+b2=c2;
(2)两锐角关系:∠A+∠B=90°;
新知应用
A
已知一锐角、一边解直角三角形
1.在直角三角形中,已知一个锐角,利用两锐角 求出另一个锐角,再利用锐角三角函数求未知的边.
2.已知或求解中有斜边时,用 ;无斜边时,用 .
互余
正弦、余弦
正切
[例2] 根据下列条件求直角三角形的其他元素:
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,∠A=30°;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,∠B=25°(参考数据sin 25°≈
0.423,cos 25°≈0.906,tan 25°≈0.466,结果精确到0.1).
新知应用
C
B
A
24
13
22°37′
67°23′
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=2∠B,AB=6,求∠A,∠B的度数及边AC,BC的长.
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第2课时 坡度与坡角问题
坡度与坡角问题
1.坡面的铅直高度与水平宽度的 叫做坡面的坡度,也叫坡比.常用i表示.
2.坡面与 面的夹角叫做坡角.
3.坡度是坡角的 .
比
水平
正切值
90.6 m
新知应用
2.如图所示,坡度为1∶2的斜坡AC的坡顶上有一旗杆BC,旗杆BC的顶端B与点A用一条长度为10 m的彩带相连,若斜坡的高度CD=3 m,则旗杆BC的高度为 m.
5
坡度与仰角、俯角综合问题
[例2] (2022遂宁)数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示,塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面,在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°,台阶AB长26 m,台阶坡面AB的坡度i=5∶12,然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°,则塔顶到地面的高度EF约为多少米(参考数据:tan 50.2°≈1.20,tan 63.4°≈
2.00,sin 50.2°≈0.77,sin 63.4°≈0.89)
新知应用
如图所示,某大楼AB旁有一山坡,其斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,山坡坡面上点E处有一休息亭.某数学兴趣小组测得山坡坡脚C与大楼水平距离BC=14 m,与休息亭距离CE=39 m,并从E点测得大楼顶部点A的仰角为56°,点A,B,C,D,E在同一平面内,则大楼AB的高度约为(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 56°≈0.83,cos 56°≈0.56,tan
56°≈1.48)( )
A.89.0 m B.74.2 m
C.74.0 m D.59.2 m
A
用三角函数解决其他类问题
6.3
新知应用
如图所示的是一辆在平地上滑行的滑板车的示意图.已知车杆AB长
92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为
6 cm,则把手A离地面的高度为 cm(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75).
92.5
1.如图所示,某学校后坡有一个凉亭在点C处,通往凉亭要走两段坡度不一样的阶梯AB和BC,AB部分的坡角为32°;BC部分的坡度(或坡比)
i=1∶2.4.已知AB和BC两段阶梯的台阶数量相同,每个台阶的高度也相同,若第一段坡长AB=30 m,则第二段坡长BC约为(参考数据:
sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)( )
A.38.2 m B.41.3 m
C.48.4 m D.66.3 m
B
2.如图所示的是一简化的跳台滑雪的雪道示意图,AB为助滑道,BC为坡度为2∶3的着陆坡,A,B两点间的高度差为60 m,A,C两点间的高度差为140 m,则着陆坡BC的长度为 m.
3.如图所示,在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150 m的点C处有一山坡,斜坡CD的坡度为i=1∶2.4,坡顶D到BC的垂直距离DE=50 m(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点D处测得建筑物顶部点A的仰角为50°,则建筑物AB的高度为 (参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19).
85.7 m
1.3
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