【高中数学北师大版（2019）同步练习】 3指数幂数（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
3指数幂数
一、单选题
1．某地国民生产总值每年平均比上一年增长7%，专家预测经过 年可能增长到原来的 倍，则函数 的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，为真命题的是（　　）
A． ,使得
B．
C．
D．若命题P： ，使得 ，则 ： ，都有
3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过（　　）
A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时
4．如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=ax+b的图象在（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
5．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，1） B．[1，2） C．[1，+∞） D．（2，+∞）
6．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若 ，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知非零实数，满足，实数，满足，则下列可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交，则 　 　．
10．无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，该定点坐标为　 　
11．函数 （ 且 ）的图象一定过定点 ，则 点的坐标为　 　．
12．若 ，且 ，则函数 的图象过定点　 　.
13．已知函数，若存在，使，则的取值范围是　 　．
14．若指数函数的图象经过点，则　 　；不等式的解集是　 　.
四、解答题
15．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数，
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加以证明
（3）解不等式：loga（1﹣x）＞loga（x+2）
16．已知函数 的定义域为集合 ，函数 的值域为集合 .
（1）求集合 、 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围
17．若指数函数f（x）的图象经过点（﹣1，3），求满足不等式1≤f（x）≤27的x的取值范围．
18．已知函数f（x）=b ax（a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）
（1）试求a，b的值；
（2）若不等式（ ）x+（ ）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知函数 （a、b是常数且a＞0，a≠1）在区间[﹣ ，0]上有ymax=3，ymin= ；
（1）试求a和b的值．
（2）又已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）
①若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；
②若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．
20．我们知道，指数函数 与对数函数 互为反函数.已知函数 ，其反函数为 .
（1）求函数 ， 的最小值 ；
（2）对于函数 ，若定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“ 函数”.已知函数 为其定义域上的“ 函数”，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
2．【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；指数函数的图象与性质；基本不等式
3．【答案】C
【知识点】指数函数的实际应用；指数函数综合题
4．【答案】B
【知识点】指数函数的图象变换
5．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用
6．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
7．【答案】A,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
8．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
9．【答案】-2
【知识点】指数函数的图象与性质
10．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
11．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
12．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
13．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质；指数函数的图象变换；指数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用
14．【答案】；
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的单调性与特殊点
15．【答案】（1）解： a2﹣3a+3=1，可得a=2或a=1（舍去），
∴f（x）=2x；
（2）F（x）=2x﹣2﹣x，∴F（﹣x）=﹣F（x），
∴F（x）是奇函数；
（3）不等式：log2（1﹣x）＞log2（x+2），即1﹣x＞x+2＞0，∴﹣2＜x＜﹣ ，
解集为{x|﹣2＜x＜﹣ }．
【知识点】指数函数的概念与表示
16．【答案】（1）解：对于函数 ，有 ，即 ，解得 ，即 .
，则 ，则 ，
即 ；
（2）解：由 ，得 ，所以， ，即 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
【知识点】集合间关系的判断；函数的定义域及其求法；指数函数的单调性与特殊点
17．【答案】解：设指数函数f（x）=ax，a＞0，且 a≠1，则有题意可得 a﹣1=3，
∴a= ，f（x）= ．
不等式1≤f（x）≤27，即 1≤ ≤27，解得﹣3≤x≤0，
故所求的x的范围为[﹣3，0]．
【知识点】指数函数单调性的应用
18．【答案】（1）解：∵函数f（x）=b ax，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），
∴ ，
解得a=2，b=4，
∴f（x）=4 （2）x=2x+2
（2）解：设g（x）=（ ）x+（ ）x=（ ）x+（ ）x，
y=g（x）在R上是减函数，
∴当x≤1时，g（x）min=g（1）= ．
若不等式（ ）x+（ ）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，
即m≤
【知识点】指数函数综合题
19．【答案】（1）解：y′=（2x+2） ；
∴①若a＞1，x∈ 时，y′＜0，x∈（﹣1，0）时，y′＞0；
∴x=﹣1时，函数y取得极小值，即最小值b+ = ①；
y=b+ =b+ ；
显然， ，又a＞1；
∴x=0时，函数y取得极大值，即最大值b+1=3，b=2，代入①即可求出a=2，符合a＞1；
②由①得：
x=﹣1时，函数y取得最大值b+ =3 ①；
x=0时，函数y取得最小值b+1= ，b= ，代入①得a= ，符合0＜a＜1；
所以a=2，b=2，或a= ，b=
（2）解：①因为f（x）的定义域为R，所以ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立；
由此得 解得a＞1．又因为 ；
∴f（x）=lg（ax2+2x+1）≥lg（1﹣ ）；
∴实数a的取值范围是（1，+∞），f（x）的值域是 ；
②因为f（x）的值域是R，所以u=ax2+2x+1的值域包含（0，+∞）；
当a=0时，u=2x+1的值域为R （0，+∞）；
当a≠0时，u=ax2+2x+1的值域包含（0，+∞），则 ；
解之得0＜a≤1；
∴a的取值范围是[0，1]；
要使函数f（x）有意义，则：ax2+2x+1＞0 ①；
由上面知方程ax2+2x+1=0有两个实根： ；
所以不等式①的解是（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），即函数f（x）的定义域为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）
【知识点】指数函数综合题
20．【答案】（1）解：由题意得
所以 ， ，
令 ，设
则 为开口向上，对称轴为 的抛物线，
当 时， 在 上为单调递增函数，
所以 的最小值为 即 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，即 ；
当 时， 在 上为单调递减函数，
所以 的最小值为 ，即 ；
综上，
（2）解：①设在 上存在 ，满足 ，
则 ，
令 ，则 ，当且仅当 时取等号，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以
所以
②设在 存在 ，满足 ，
则 ，即 有解，
因为 在 上单调递减，
所以 ，
同理当在 存在 ，满足 时，解得 ，
所以实数 的取值范围
【知识点】二次函数的性质；指数函数单调性的应用；基本不等式在最值问题中的应用
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