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11.2.1 三角形的内角 学案
（一）学习目标：
1.能够理解三角形内角的定义，认识内角与外角的关系，并能够通过实例加深理解。
2.能够熟练运用内角和定理，计算给定三角形的内角和。
3.培养主动探究、合作学习的精神,激发对几何图形的兴趣。
（二）学习重难点：
学习重点：掌握三角形内角的定义和性质；熟练运用内角和定理进行计算
学习难点：理解内角和外角的关系，并能将理论应用于实际问题中
阅读课本，识记知识：
1.三角形的内角
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法
剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的同旁内角。
2.直角三角形的性质与判定
(1)性质：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
(2)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
如下图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
【例1】一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设顶角度数为，分两种情况讨论：①若底角度数是顶角度数的；②若顶角度数是底角度数的，分别列方程求解即可．
【详解】解：设顶角度数为，
①若底角度数是顶角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
②若顶角度数是底角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
即这个等腰三角形顶角的度数是或，
故选：D．
【例2】如图，直线，且分别与的两边、相交，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用三角形内角和定理求出的度数，然后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
选择题
1．直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【详解】解：∵三角形是直角三角形，它的一个锐角等于50°，
∴它的另一个锐角为：，
故选：D．
2．如图，在中，，是边上的高，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、互余等知识，先由得到，再由直角三角形两锐角互余即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，
，解得，
是边上的高，
在中，，
故选：C．
3．如图，在中，，分别平分，，，分别平分，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
【详解】∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
又∵，分别平分，，
∴，
∴，
∴，
故选A
4．如图，在中，点D、E分别在、边上，，点F在的延长线上，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查三角形内角和．根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内角和及三角形的分类，根据题意及三角形内角和可进行求解出的度数，即可判断．
【详解】解：在中，
，
，
是锐角三角形，
故选：A．
6．如图，是由一副三角板拼凑得到的，，，，A，E，B，D四点同线，E，F过点C，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在及中，利用三角形内角和定理，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
7．如图，已知平分平分，于C，则下列说法：①；②；③；④．（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理．根据垂直的定义得出，即可判断①，根据角平分线的性质得出，根据，得出，即可判断，得出②正确；根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，即可判断③，根据三角形内角和定理可得，再根据，得到，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上所述，正确的说法有①②③④，共4个，
故选：A．
8．如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，先根据，得出，再根据直角三角形两锐角互余得出，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．在直角三角形中，若一个锐角是，则该直角三角形的另一个锐角是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，根据直角三角形两锐角互余，列式进行计算即可得解．
【详解】解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于，
另一个锐角的度数是．
故选：C．
10．下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等
C．内错角相等 D．如果直线，，那么直线
【答案】C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据三角形内角和定理、对顶角的性质、平行线的性质、平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、三角形的内角和等于，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，符合题意；
D、如果直线，，那么直线，是真命题，不符合题意；
故选：C．
填空题
11．将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形内角和定理，根据题意可得：，，，根据三角形的内角和定理及对顶角可得，，最后再根据可得结论．掌握三角形内角和定理并灵活运用是解题的关键．
【详解】解：∵将一副三角尺按如图所示的位置摆放，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数是．
故答案为：．
12．如图，中，，，将沿EF折叠，A点落在形内的，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出的度数，根据图形翻折变换的性质得出的度数，再由四边形的内角和为即可得出结论．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∵由翻折而成，
∴，
∴．
故答案为：．
13．如图，直线，，，则 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的运用，熟记性质并准确识图理清各角度之间的关系是解题的关键．根据对顶角相等和利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图：
，，
，
故答案为：．
14．在中，则 ， ．
【答案】 /30度 /60度
【分析】本题主要考查三角形内角和，通过三角形内角和为列方程是解答本题的关键．
设设，，，根据三角形内角和为列方程求解即可．
【详解】∵在中，
∴设，，，
∴，
解得
∴．
故答案为：，．
15．如图，在中，D、E分别在上，若，则∠A的度数为 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的知识，掌握三角形内角和定理、两直线平行同位角相等，是解答本题的关键．
由两直线平行同位角相等，可得，再根据三角形内角和定理即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：60°．
三、解答题
16．如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，从岛看、两岛的视角是多少度？
【答案】
【分析】本题主要考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形内角和定理即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，
，，
，
，
，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
，
．
17．在如图所示的方格纸中，按下述要求画图并回答问题：
(1)画线段，射线，过点C画射线的垂线，垂足为点D，过点A画平行于的直线，交于点E；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，射线、垂线及平行线的画法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
（1）根据线段和射线的概念，结合网格的特点求解即可；
（2）首先根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵
∴
∵
∴
∴．
18．如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F，
(1)试说明的理由；
(2)如果，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)103°
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：．
理由是：∵，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵由（1）知，
∴．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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11.2.1 三角形的内角 学案
（一）学习目标：
1.能够理解三角形内角的定义，认识内角与外角的关系，并能够通过实例加深理解。
2.能够熟练运用内角和定理，计算给定三角形的内角和。
3.培养主动探究、合作学习的精神,激发对几何图形的兴趣。
（二）学习重难点：
学习重点：掌握三角形内角的定义和性质；熟练运用内角和定理进行计算
学习难点：理解内角和外角的关系，并能将理论应用于实际问题中
阅读课本，识记知识：
1.三角形的内角
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法
剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的同旁内角。
2.直角三角形的性质与判定
(1)性质：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
(2)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
如下图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
【例1】一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设顶角度数为，分两种情况讨论：①若底角度数是顶角度数的；②若顶角度数是底角度数的，分别列方程求解即可．
【详解】解：设顶角度数为，
①若底角度数是顶角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
②若顶角度数是底角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
即这个等腰三角形顶角的度数是或，
故选：D．
【例2】如图，直线，且分别与的两边、相交，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用三角形内角和定理求出的度数，然后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
选择题
1．直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（ ）
A． B．或 C． D．
2．如图，在中，，是边上的高，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，分别平分，，，分别平分，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点D、E分别在、边上，，点F在的延长线上，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．如图，是由一副三角板拼凑得到的，，，，A，E，B，D四点同线，E，F过点C，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知平分平分，于C，则下列说法：①；②；③；④．（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．在直角三角形中，若一个锐角是，则该直角三角形的另一个锐角是( )
A． B． C． D．
10．下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等
C．内错角相等 D．如果直线，，那么直线
填空题
11．将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则的度数是 ．
12．如图，中，，，将沿EF折叠，A点落在形内的，则的度数为 ．
13．如图，直线，，，则 ．
14．在中，则 ， ．
15．如图，在中，D、E分别在上，若，则∠A的度数为 ．
三、解答题
16．如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，从岛看、两岛的视角是多少度？
17．在如图所示的方格纸中，按下述要求画图并回答问题：
(1)画线段，射线，过点C画射线的垂线，垂足为点D，过点A画平行于的直线，交于点E；
(2)若，求的度数．
18．如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F，
(1)试说明的理由；
(2)如果，且，求的度数．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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