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11.2.2 三角形的外角 学案
（一）学习目标：
1.能够理解三角形的外角概念，掌握外角与内角的关系.
2.能够通过实际操作识别和计算三角形的外角。
3.能灵活运用外角定理解决简单的几何问题，并培养其空间想象能力和逻辑推理能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解并掌握三角形的外角概念及其与内角的关系
学习难点：学生能够正确识别和计算三角形的外角，并能够运用外角定理解决实际问题
阅读课本，识记知识：
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ABD是△ABC的一个外角。
（2）性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360°。
【例1】如图，是的一个外角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，牢记三角形的外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
故选B．
【例2】把一副直角三角板（含、角）和（含、角）如图放置，使直角顶点C重合，若，则的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】本题主要考查平行线的性质以及三角形的外角和，解答本题的关键在于熟练掌握三角形的外角和性质，利用三角板的特殊角表示出，本题即可求解．
【详解】解：∵，
（两直线平行内错角相等），
又，
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）．
故答案为：105°
选择题
1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，先求出，再根据三角形一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数之和进行求解即可．
【详解】解：如图，
由题意得，，
由三角形的外角性质得，．
故选：B．
2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使两条斜边互相平行，则＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，根据可得，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵三角板两条斜边互相平行，即，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
3．下列结论是真命题的是（ ）
A． B．是5的一个平方根
C．的立方根是 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】B
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根，三角形外角的性质判断各选项的正误，根据正确的命题是真命题进行作答即可．
【详解】解：，A错误，故不符合要求；
是5的一个平方根，B正确，故符合要求；
的立方根是，C错误，故不符合要求；
三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，D错误，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了真命题，平方根，算术平方根，立方根，三角形外角的性质等知识．熟练掌握真命题，平方根，算术平方根，立方根，三角形外角的性质是解题的关键．
4．如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，首先根据得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【详解】如图所示，
∵，，
∴，
∵
∴．
故选A．
5．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由题意得：，，，得出，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
由题意得：，，，
，
，
，
，
故选：B．
6．如图是某支架的侧面示意图，经测量，，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：C．
7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（ ）
①的面积等于的面积；②；③；④．
A．①③④ B．②④ C．①② D．①②③
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】是中线，
，
的面积的面积等底等高的三角形的面积相等，故正确；
是角平分线，
，
为高，
，
，
，，
，
，，
，故正确；
为高，
，
，
，，
，
是的平分线，
，
，
即，故正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误；
故选：D．
8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选C．
9．如图，已知，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质．熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：D．
10．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
根据三角板可得：，然后根据三角形内角和定理可得的度数，进而得到的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数．
【详解】解：如图：
由题意得：，
含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，
，
，
，
故选：D．
填空题
11．如图，已知是的外角，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和进行求解即可，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：是的外角，
，
，，
，
故答案为：．
12．如图，在中，，，平分交于点，则 ．
【答案】85
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质是解此题的关键．
【详解】解：在中，，，
，
平分交于点，
，
，
故答案为：．
13．将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中点O，E，F在直线l上，点B恰好落在边上，，，，则的度数是 ．
【答案】/65度
【分析】此题考查了三角板中的角度计算，用到了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．先根据三角形内角和定理和平角的定义求出，，再由三角形外角的性质求出，进一步即可得到的度数．
【详解】解：∵，，．
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，在中，，点是延长线上一点，过点作，若，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质．由，利用“两直线平行，内错角相等”，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴．
是的外角，
，
∴．
故答案为：．
15．如图，，，，则 ， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外角的定义根性质，根据，，问题即可得解．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，，
∴；
∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，．
三、解答题
16．如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数.
【答案】
【分析】本题考查了三角形高的定义，三角形角平分线的定义，三角形外角定理，三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
根据三角形高的定义得出，依据进而得出，根据平分，得出，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】是边上的高，
，
又平分
在中， ，
17．如图，，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．请判断与的数量关系并证明．
【答案】，证明见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质．根据三角形的外角，得到，平行线的性质，得到，根据，即可得出结论．掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：，证明如下：
∵，，是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．如图，已知：点P是内一点．
(1)求证：；
(2)若平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义．
（1）延长交于D，根据外角的性质知，根据外角的性质知，所以易证．
（2）由三角形内角和定理求出，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图：延长交于D，
是的一个外角，是的一个外角，
，，
；
（2）在中，
，
，
平分，平分，
，，
在中，
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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11.2.2 三角形的外角 学案
（一）学习目标：
1.能够理解三角形的外角概念，掌握外角与内角的关系.
2.能够通过实际操作识别和计算三角形的外角。
3.能灵活运用外角定理解决简单的几何问题，并培养其空间想象能力和逻辑推理能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解并掌握三角形的外角概念及其与内角的关系
学习难点：学生能够正确识别和计算三角形的外角，并能够运用外角定理解决实际问题
阅读课本，识记知识：
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ABD是△ABC的一个外角。
（2）性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360°。
【例1】如图，是的一个外角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，牢记三角形的外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
故选B．
【例2】把一副直角三角板（含、角）和（含、角）如图放置，使直角顶点C重合，若，则的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】本题主要考查平行线的性质以及三角形的外角和，解答本题的关键在于熟练掌握三角形的外角和性质，利用三角板的特殊角表示出，本题即可求解．
【详解】解：∵，
（两直线平行内错角相等），
又，
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）．
故答案为：105°
选择题
1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使两条斜边互相平行，则＝( )
A． B． C． D．
3．下列结论是真命题的是（ ）
A． B．是5的一个平方根
C．的立方根是 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
4．如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是某支架的侧面示意图，经测量，，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（ ）
①的面积等于的面积；②；③；④．
A．①③④ B．②④ C．①② D．①②③
8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，，则的度数为( )
A． B． C． D．
10．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为( )
A． B． C． D．
填空题
11．如图，已知是的外角，，，则的度数为 ．
12．如图，在中，，，平分交于点，则 ．
13．将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中点O，E，F在直线l上，点B恰好落在边上，，，，则的度数是 ．
14．如图，在中，，点是延长线上一点，过点作，若，则的度数为
15．如图，，，，则 ， ．
三、解答题
16．如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数.
17．如图，，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．请判断与的数量关系并证明．
18．如图，已知：点P是内一点．
(1)求证：；
(2)若平分，平分，，求的度数．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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