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11.3.1 多边形 学案
（一）学习目标：
1.理解多边形的定义及其分类，如三角形、四边形等。
2.掌握多边形内角和的计算方法，并能够应用这一知识解决实际问题。
3.学会绘制多边形，并能识别和判断不同多边形的特性。
4.培养空间想象能力和逻辑思维，提高解决与多边形相关的数学问题的能力。
（二）学习重难点：
学习重点：多边形的概念和分类以及内角和的计算
学习难点：理解和应用多边形的性质及如何灵活运用公式计算内角和
阅读课本，识记知识：
(1)定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
(2)多边形的内角；多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
(3)多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
如图，∠2是五边形ABCDE的一个外角。
(4)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(5)凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.
(6)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线的数量是 条
【例1】下面各选项中，说法错误的是（ ）
A．一个直五棱柱有10个顶点
B．用一平面去截一个圆锥，截面不可能是长方形
C．绕长方形的长或宽旋转一周均可以得到一个圆柱
D．一个六边形从一个顶点出发最多能引出4条对角线
【答案】D
【分析】五棱柱上下底面各有5个顶点，即共有10个顶点，即可判定A；用一平面去截一个圆锥，截面带有弧线或截面是三角形，不可能是长方形，即可判断B；根据面动成体结合圆柱的特点即可判断C；根据n边形一个顶点最多有条对角线即可判断D．
【详解】解：A、一个直五棱柱有10个顶点，原说法正确，不符合题意；
B、用一平面去截一个圆锥，截面不可能是长方形，原说法正确，不符合题意；
C、绕长方形的长或宽旋转一周均可以得到一个圆柱，原说法正确，不符合题意；
D、一个六边形从一个顶点出发最多能引出条对角线，原说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了几何体中顶点个数问题，截一个几何体，面动成体，多边形一个顶点的对角线问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【例2】下列图形是正多边形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】解：A.是等腰三角形，不是正多边形，故选项A不符合题意；
B.是圆角矩形，不是正多边形，故选项B不符合题意；
C.是正五边形，符合题意；
D.是一般六边形，不是正多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
选择题
1．边长为整数的正多边形的周长为13，则从该正多边形的一个顶点出发的对角线条数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形一个顶点出发的对角线条数问题，先根据题意求出该正多边形为正十三边形，再根据多边形的边数多边形从其一个顶点出发对角线条数进行求解即可．
【详解】解：∵边长为整数的正多边形的周长为13，
∴该正多边形为正十三边形，
∴从该正多边形的一个顶点出发的对角线条数为条，
故选C．
2．过八边形的某一个顶点能画的对角线条数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的对角线，解题的关键在于掌握计算方法：根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可直接得到答案．
【详解】从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有：（条）
故选：D．
3．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）．
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．
【详解】解：从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，
，
解得．
故选：C．
4．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画6条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，解题的关键是掌握多边形从一个顶点可以最多画出条对角线．
根据从n边形的一个顶点可以最多画出条对角线，求出边数即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
由题意得：，
解得，
故选：C．
5．从一个七边形的一个顶点可引出 条对角线，这些对角线把这个七边形分成 个三角形，七边形共有 条对角线．
A．4，5，14 B．6，7，42 C．4，5，28 D．6，7，21
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键．
【详解】解：从一个七边形的一个顶点可引出条对角线，这些对角线把这个七边形分成个三角形，七边形共有对角线条数为：
（条）．
故选：A．
6．一个多边形过一个顶点有7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．
【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴，
解得．
故选：D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．过七边形的一个顶点有5条对角线
C．直线与直线是同一条直线 D．若，则C是线段的中点
【答案】C
【分析】根据两点间的距离，多边形的对角线的条数，线段中点的定义，直线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、连接两点的线段的长叫做两点之间的距离，选项错误，不符合题意；
B、过七边形的一个顶点有4条对角线，选项错误，不符合题意；
C、直线与直线是同一条直线，选项正确，符合题意；
D、若点在线段上，，则是线段的中点，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查两点间的距离，多边形的对角线的条数，线段中点，直线的定义．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
8．一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形边数是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题．根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
，
解得：，
故选：C．
9．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2022个三角形，那么这个多边形的边数为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题考查多边形的有关知识，根据从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形最多分成个三角形进行求解即可．
【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2022个三角形，
∴这个多边形的边数为，
故选C．
10．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较的大小
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可．
【详解】∵该图是正八边形，
∴，
，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
填空题
11．从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，可分成个三角形直接判断．
【详解】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是，
∴从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：（个），
故答案为：5．
12．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到9个三角形，那么这个多边形为 边形．
【答案】11
【分析】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律进行解答即可．
【详解】解：设多边形有n条边，则，
解得：，
故多边形是十一边形．
故答案为：11．
13．三角形具有稳定性．要使一个四边形框架稳定不变形，至少需要钉1根木条；要使一个五边形框架稳定不变形，至少需要钉2根木条；……．由此，要使一个十边形框架稳定不变形，则至少需要钉 根木条．
【答案】7
【解析】略
14．如图是一个五边形木框，要固定它的形状，至少要 钉根木条．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形具有稳定性，以及多边形从一个顶点可画对角线的条数，根据n边形从一个顶点可画条对角线，即可解答．
【详解】解：由题意得要使五边形木框不变形，至少还要钉根木条，
故答案为：2．
15．把一个九边形分割成三角形，至少可以分割成三角形的个数是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，把多边形分成个三角形进行计算，解题的关键是掌握边形从一个顶点出发引出的对角线把多边形分成个三角形．
【详解】解：一个九边形至少可以分割成三角形的个数为：，
故答案为：．
三、解答题
16．已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且这些对角线的条数是y，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的对角线，若多边形为边形，根据从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形，这些对角线有条，据此解答即可．
【详解】解：根据题意可知，这个七边形从一个顶点出发的对角线有4条，这些对角线将这个七边形分成了5个三角形，
所以，，
所以
17．如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
【答案】可以得到4个三角形，三角形的个数等于边数减1
【分析】根据图形找出三角形的个数，再分析出三角形个数与边数的关系即可．
【详解】解：根据图形可知，
图中共有4个三角形，三角形的个数等于边数减1．
【点睛】本题主要考查了多边形的知识，正确找出三角形的个数是解题关键．
18．画出下面各图中多边形的所有对角线．
【答案】见解析
【分析】将与每个顶点不相邻的顶点连起来即可.
【详解】解：分别将三个图形中的与每个顶点不相邻的顶点连接起来，
如图所示，即为所求：
【点睛】本题主要考查了多边形对角线的概念，熟记概念和娴熟的作图能力是解答本题的关键.
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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11.3.1 多边形 学案
（一）学习目标：
1.理解多边形的定义及其分类，如三角形、四边形等。
2.掌握多边形内角和的计算方法，并能够应用这一知识解决实际问题。
3.学会绘制多边形，并能识别和判断不同多边形的特性。
4.培养空间想象能力和逻辑思维，提高解决与多边形相关的数学问题的能力。
（二）学习重难点：
学习重点：多边形的概念和分类以及内角和的计算
学习难点：理解和应用多边形的性质及如何灵活运用公式计算内角和
阅读课本，识记知识：
(1)定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
(2)多边形的内角；多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
(3)多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
如图，∠2是五边形ABCDE的一个外角。
(4)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(5)凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.
(6)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线的数量是 条
【例1】下面各选项中，说法错误的是（ ）
A．一个直五棱柱有10个顶点
B．用一平面去截一个圆锥，截面不可能是长方形
C．绕长方形的长或宽旋转一周均可以得到一个圆柱
D．一个六边形从一个顶点出发最多能引出4条对角线
【答案】D
【分析】五棱柱上下底面各有5个顶点，即共有10个顶点，即可判定A；用一平面去截一个圆锥，截面带有弧线或截面是三角形，不可能是长方形，即可判断B；根据面动成体结合圆柱的特点即可判断C；根据n边形一个顶点最多有条对角线即可判断D．
【详解】解：A、一个直五棱柱有10个顶点，原说法正确，不符合题意；
B、用一平面去截一个圆锥，截面不可能是长方形，原说法正确，不符合题意；
C、绕长方形的长或宽旋转一周均可以得到一个圆柱，原说法正确，不符合题意；
D、一个六边形从一个顶点出发最多能引出条对角线，原说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了几何体中顶点个数问题，截一个几何体，面动成体，多边形一个顶点的对角线问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【例2】下列图形是正多边形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】解：A.是等腰三角形，不是正多边形，故选项A不符合题意；
B.是圆角矩形，不是正多边形，故选项B不符合题意；
C.是正五边形，符合题意；
D.是一般六边形，不是正多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
选择题
1．边长为整数的正多边形的周长为13，则从该正多边形的一个顶点出发的对角线条数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．过八边形的某一个顶点能画的对角线条数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）．
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
4．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画6条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．从一个七边形的一个顶点可引出 条对角线，这些对角线把这个七边形分成 个三角形，七边形共有 条对角线．
A．4，5，14 B．6，7，42 C．4，5，28 D．6，7，21
6．一个多边形过一个顶点有7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
7．下列说法正确的是（ ）
A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．过七边形的一个顶点有5条对角线
C．直线与直线是同一条直线 D．若，则C是线段的中点
8．一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形边数是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．9
9．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2022个三角形，那么这个多边形的边数为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较的大小
填空题
11．从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数为 ．
12．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到9个三角形，那么这个多边形为 边形．
13．三角形具有稳定性．要使一个四边形框架稳定不变形，至少需要钉1根木条；要使一个五边形框架稳定不变形，至少需要钉2根木条；……．由此，要使一个十边形框架稳定不变形，则至少需要钉 根木条．
14．如图是一个五边形木框，要固定它的形状，至少要 钉根木条．
15．把一个九边形分割成三角形，至少可以分割成三角形的个数是 ．
三、解答题
16．已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且这些对角线的条数是y，求的值．
17．如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
18．画出下面各图中多边形的所有对角线．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
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