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11.3.2 多边形的内角和 学案
（一）学习目标：
1.理解多边形内角和的原理，掌握其计算方法。
2.学会运用多边形内角和公式解决实际问题。
3.增强学生观察、思考和解决问题的能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解多边形内角和的原理，掌握其计算方法
学习难点：运用多边形内角和公式解决实际问题的能力
阅读课本，识记知识：
(1)多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180°，
(2)定理：多边形的外角和等于360°.多边形的外角和恒等于360°，与多边形的边数无关.
(3)正n边形的每个内角等于 ，每个外角等于360°。
【例1】 如图，是在五边形ABCDE的一个外角，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，关键是根据补角的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵,
∴,
∴，
故选B．
【例2】 如图所示，在七边形中，，的延长线相交于点．若图中，，，的外角度数和为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的外角和，根据多边形的外角和是，由，，，的外角和等于，可求得的外角，即可根据邻补角的定义求得．
【详解】解：∵，，，的外角度数和等于，五边形的外角和为，
∴的外角为，
，
故选：A．
选择题
1．内角和是的多边形是（ ）边形
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和是解题关键．根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：设多边形为边形，由题意，得
，
解得，
故选：C．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
∴这个多边形是六边形．
故选：D
3．如图，正n边形纸片被撕掉一块，若．则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，正边形的外角和为．根据垂直的定义可知，再根据直角三角形的性质及正边形的外角和为即可解答．
【详解】解：如图，延长，交于点，
∵，
∴，
∴正多边形的一个外角为
∴，
故选：B．
4．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意；
C、正七边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正九边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
故选B.
5．如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（ ）
A．360米 B．480米 C．540米 D．600米
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形外角和的应用，解题的关键是理解得到小明所走的图形是多边形，正多边形外角和是．
【详解】解：由题意可得，图形是一个正多边形，
每次前进40米后向右转，
，即图形是正12多边形，
（米），
他第一次回到出发点O时一共走480米，
故选：B．
6．在下面这四种瓷砖中，用一种瓷砖不能密铺平面的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了平面镶嵌知识，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．利用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除分别判断即可．
【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故此选项不符合题意；
B、正方形的每个内角是，能整除，能密铺，故此选项不符合题意；
C、正五边形的每个内角为，不能整除，不能密铺，故此选项符合题意；
D、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺，故此选项不符合题意．
故选：C
7．如图，（ ）度．
A．450 B．540 C．630 D．720
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形内角和定理，根据，，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴
故选：B．
8．多边形的每个内角都等于，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．5条 B．6条 C．20条 D．16条
【答案】A
【分析】此题考查了多边形的外角和，多边形对角线公式，正确理解外角和求出边数及对角线公式是解题的关键，据此解答．
【详解】∵多边形的每个内角都等于，
∴多边形的每个外角都为
∴此多边形的边数为，
∴从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有条，
故选A．
9．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的内角和的应用，利用内角和外角的关系求得，，，的和是解题的关键．
根据题意，由外角和内角的关系可求得，，，的和，由五边形内角和可以求得五边形的内角和，由此求出，选出答案．
【详解】解：根据题意得：
，，，的外角和等于，
，
，
五边形内角和，
，
，
故选：．
10．如图所示，小华从O点出发，沿直线前进15米后左转，再沿直线前进15米后又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ）
A．120米 B．150米 C．180米 D．240米
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个外角相等，每条边相等．根据题意可知，小华所走路径是一个正多边形，先求出的边数，根据正多边形的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
（米），
故选：C ．
填空题
11．如图，、、、是五边形的4个外角．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的外角和等于的性质以及邻补角的和等于的性质，根据题意先求出的度数，然后根据多边形的外角和为即可求出的值．
【详解】解：由题意得，如图可知，
又多边形的外角和为，
．
故答案为：．
12．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式“，其中且为正整数”求解即可得．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得，
即这个多边形的边数为7，
故答案为：7．
13．如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ．
【答案】12/十二
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．
【详解】解：这个正多边形的边数为：，
故答案为：12．
14．将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 .
【答案】/18度
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正五边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数．
【详解】解：图中五边形为正五边形，
，
，
正方形中，
，
，
故答案为：．
15．如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
连接，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】连接，
正多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得正多边形的边数为：，
，
．
∴
故答案为：
三、解答题
16．一个各内角都相等的多边形截去一个角以后（截线不经过多边形的顶点），形成的另一个多边形的内角和比五边形的内角和多，求原多边形的边数及每个外角的度数．
【答案】8，
【分析】设原多边形的边数为n，根据题意可得：，然后进行计算可求出多边形的边数，最后再利用任意多边形的外角和都是，进行计算即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式，与外角和是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为n，
由题意得：
解得，
∵原多边形各内角都相等，
∴每个外角的度数，
∴原多边形的边数为8，每个外角的度数为．
17．如图所示，五边形的内角都相等，AM⊥CD，垂足为M，连接，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形内角和，根据多边形内角和度数可得每一个角的度数，然后再利用方程解答．
【详解】解：∵五边形的内角都相等，
∴，
∵，
∴，
设为，则，，，
可得：，
解得：，
∴
18．已知一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
【答案】每个内角的度数为，
【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，再根据该正多边形的内角和比外角和多建立方程，解方程求出n的值，再用该多边形的内角和度数除以边数即可求出对应的每个内角的度数．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴这个正多边形是八边形，
∴这个多边形的每个内角的度数为．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
1.理解多边形内角和的原理，掌握其计算方法。
2.学会运用多边形内角和公式解决实际问题。
3.增强学生观察、思考和解决问题的能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解多边形内角和的原理，掌握其计算方法
学习难点：运用多边形内角和公式解决实际问题的能力
阅读课本，识记知识：
(1)多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180°，
(2)定理：多边形的外角和等于360°.多边形的外角和恒等于360°，与多边形的边数无关.
(3)正n边形的每个内角等于 ，每个外角等于360°。
【例1】 如图，是在五边形ABCDE的一个外角，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，关键是根据补角的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵,
∴,
∴，
故选B．
【例2】 如图所示，在七边形中，，的延长线相交于点．若图中，，，的外角度数和为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的外角和，根据多边形的外角和是，由，，，的外角和等于，可求得的外角，即可根据邻补角的定义求得．
【详解】解：∵，，，的外角度数和等于，五边形的外角和为，
∴的外角为，
，
故选：A．
选择题
1．内角和是的多边形是（ ）边形
A．4 B．5 C．6 D．7
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．如图，正n边形纸片被撕掉一块，若．则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
5．如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（ ）
A．360米 B．480米 C．540米 D．600米
6．在下面这四种瓷砖中，用一种瓷砖不能密铺平面的是( )
A． B． C． D．
7．如图，（ ）度．
A．450 B．540 C．630 D．720
8．多边形的每个内角都等于，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．5条 B．6条 C．20条 D．16条
9．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，小华从O点出发，沿直线前进15米后左转，再沿直线前进15米后又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ）
A．120米 B．150米 C．180米 D．240米
填空题
11．如图，、、、是五边形的4个外角．若，则 ．
12．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为 ．
13．如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ．
14．将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 .
15．如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．
三、解答题
16．一个各内角都相等的多边形截去一个角以后（截线不经过多边形的顶点），形成的另一个多边形的内角和比五边形的内角和多，求原多边形的边数及每个外角的度数．
17．如图所示，五边形的内角都相等，AM⊥CD，垂足为M，连接，若，求的度数．
18．已知一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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