【高中数学北师大版（2019）同步练习】 第三章函数的概念和性质（能力提升）检测题（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
第三章函数的概念和性质（能力提升）检测题
一、单选题
1．函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（　　）.
A． B． C．1 D．
4．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．(-1，2） B． C．(-2，1) D．
5．若，则x，y满足（　　）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x=y
6．已知函数 的图象关于直线 对称，当 时， 恒成立，则满足 的 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知是定义在R上的奇函数，且对任意，当时，都有，则关于x的不等式的解集为（　　）．
A． B．
C． D．
二、多选题
8．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（　　）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
三、填空题
10．若函数 为偶函数， 且当 时， ， 则 　 　.
11．定义域为R，值域为的一个减函数是　 　.
12．若函数为偶函数，则a=　 　.
13．若函数为奇函数，则　 　.
14．已知定义在上的偶函数满足，若，则实数的取值范围是　 　．
15．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为　 　．
16．已知函数 ，当 时， 的值域为 ，则实数 的取值范围是　 　.
四、解答题
17．已知函数.
（1）用定义法证明：函数为减函数；
（2）解关于x的不等式.
18．已知函数且，．
（1）求的解析式；
（2）证明在上单调递增．
19．设函数 ，其中 为常数且 .新定义：若 满足 ，但 ，则称 为 的回旋点.
（1）当 时，分别求 和 的值；
（2）当 时，求函数 的解析式，并求出 回旋点；
（3）证明函数 在 有且仅有两个回旋点，并求出回旋点 .
20．设是上的减函数，且对任意实数， ，都有；函数
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若， 且存在，不等式成立， 求实数的取值范围.
（3）当时， 若关于的不等式与的解集相等且非空， 求的取值范围.
21．已知定义在 上的奇函数 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ） 若存在 ，使不等式 有解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数 满足 ，且规定 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
22． 2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 ，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．
（1）若 ，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；
（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应 的值．
23．判断下列对应是否为函数：
（1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
（2）x→y＝ x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
（3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
3．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
4．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
5．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
7．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
8．【答案】A,B
【知识点】分段函数的应用
9．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性
10．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】复合函数的单调性
12．【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
13．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
14．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
15．【答案】2
【知识点】函数的最大（小）值；利用不等式的性质比较大小
16．【答案】
【知识点】函数的值域
17．【答案】（1）证明：设，
则
因为，
所以，，，，
因此，即，
所以函数在区间上是减函数.
（2）解：由可得，
因为，定义域为关于原点对称，
且，因此是奇函数，
所以不等式可化为.
又函数在区间上是减函数，
所以解得.
所以原不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
18．【答案】（1）解：因为，，
所以，解得，所以
（2）解：，，
*
因为，
所以，所以
又因为，所以，即
所以在上单调递增．
（*：也可写成：，
因为，，所以，即）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
19．【答案】（1）解：当 时，
∴
（2）解： 中 时，值域也是
又 ，
由 ，得
∴当 时，
同理，当 时，
当 时，
当 ，由 得
，故 不是 的回旋点.
当 时， 由 得
是 的回旋点
（3）解：当 时，由 解得
由于 ，故 不是 的回旋点；
当 时由 解得
因
故 是 的回旋点；
因此，函数 有且仅有两个回旋点， ，
【知识点】分段函数的应用
20．【答案】（1）解：为奇函数，证明如下：
令可得，则， 对任意，令，可得， 则， 则为奇函数；
（2）解：时， ， 存在， 由为奇函数，
可得，
由是上的减函数，可得
即，
即， 对 ， 在上为增函数，上为减函数，最大值为， 则；
（3）解：设，可化为， 由
解集非空可得， 此时即
， ， 则有两不等实根，
则解集为， 即， 则与解集相等且非空； 则， 且， 由，为两根，代入可得， 则， 由，即，即， 即，
由， 可得， 则.
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
21．【答案】解：（Ⅰ） 是 上的奇函数， ,
,
当 时， ,
此时 是奇函数成立.
；
（Ⅱ）任取 且 ，
，
,
上为减函数.
若存在 ，使不等式 有解，则 有解
，当 时， ， ,
（Ⅲ） ,
,
,
，且 也适合,
,
任意 ，不等式 恒成立,
,
令 ，
令 ,
任取 且 ，
，
当 时， ， 上为增函数.
当 时， ， 上为减函数.
时 即 ,
,
,
,
，且 ,
，同理 在 上是增函数，在 上是减函数.
时 , 的最大值为6.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇函数
22．【答案】（1）解：因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为 ，
一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为 ，
所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为
．
∴ 时，
所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为 ．
（2）解 ：设每篇学术论文的评审费为 元，则 的可能取值为900，1500．
， ，
所以 ．
令 ， ， ．
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
所以 的最大值为 ．
所以评审最高费用为 （万元）．对应 ．
【知识点】函数的最大（小）值
23．【答案】（1）根据函数概念知，当 时，在 没有值与 对应，所以不是函数；
（2）根据函数概念，当 时， ，所以对于每一个 值，都有唯一的 值与之对应，所以是函数；
（3）根据函数概念，对于每一个 值，都有唯一的 值与之对应，所以是函数；
【知识点】函数的概念及其构成要素
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