【高中数学北师大版（2019）同步练习】 2对数的运算（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
2对数的运算
一、单选题
1．对于 ，下列说法中，正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2． （　　）
A． B． C．7 D．8
3．在锐角三角形ABC中，下列各式恒成立的是（　　）
A．logcosC＞0 B．logsinC＞0
C．logsinC＞0 D．logcosC＞0
4．若 ， 且 ，则 的值（　　）
A． B． C． D．不是常数
5．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，当 时， ，若 在 上的最大值为2，则 （　　）
A．9 B．4 C．3 D．2
二、多选题
7．已知，且，则（　　）
A． B．
C． D．
8．下列结论正确的有（　　）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ， 均为正整数， ， ， ，则
三、填空题
9．计算： 　 　 ； 　 　．
10．　 　.
11．设函数f（x）= 若f（3）=2，f（﹣2）=0，则b=　 　．
12．计算： =　 　．
13．设函数，若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为　 　．
14． （ 且 ）， ，则 　 　.
四、解答题
15．
（1）
（2） ．
16．计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
17．函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3），（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．
18．求下列各式的值
（1） ；
（2） .
19．
（1）已知关于 的方程 有两个不等的根 ， ( )，求 的值
（2）已知 ， ，直线 ： 与函数 的图象从左至右交于 ， ，直线 ： 与函数 的图象从左至右交于点 ， ，记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 ， ，当 变化时，求 的最小值.
（3）对 ， ，是否存在实数 ，使对任意的 ，关于 的方程 在区间 上总有3个不等的根 ， ， ？若存在，求实数 与 的范围，若不存在，请说明理由.
20．已知函数 .
（1）当 时，解方程 .
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
2．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
3．【答案】A
【知识点】换底公式的应用
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
6．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；对数的性质与运算法则
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
8．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；换底公式的应用
9．【答案】；
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
10．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
11．【答案】0
【知识点】对数的性质与运算法则
12．【答案】4π
【知识点】对数的性质与运算法则
13．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的图象；二次函数的性质；对数的性质与运算法则
14．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
15．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
16．【答案】（1）解：
.
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
17．【答案】（1）解要使函数有意义：需满足 ，解得：﹣3＜x＜1，
所以函数的定义域为（﹣3，1）
（2）解因为0＜a＜1，﹣3＜x＜1，
∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
所以f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，
由loga4=﹣2，得a﹣2=4，
∴a=
【知识点】函数的定义域及其求法；对数的性质与运算法则
18．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
19．【答案】（1）解：∵ ，∴ .
∴∴ .
（2）解：∵ ，∴ ， .
∵ ，∴ ， .
∴ .∴ .
∴ .
当且仅当 ，即 时， 有最小值为64.
（3）解：∵ ，∴ ，令 ， ，
∵ 在 单调递减，在 单调递增，
且 ， ， ，
则当 时，方程 有两个不等根，由（1）知两根之积为1.
当 时，方程 有且只有一个根，且根 .
令 ，原题目等价于：
对任意 ，关于 的方程 在区间 上总有两个不等根 ， （ ），且 有两个不等根， 只有一个根，则必有 .则有 ，即 ，此时 ，则其根 ，故必有 .
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
20．【答案】（1）解：当 时， ， ，
所以方程 化为 且 ，即 且 ， ，
所以 ，即 ，
令 ，则原方程化为 整理得 ，
解得 或 ，即 或 ，解得 或 ，当 时， ， ，故舍去，
故原方程的解为：
（2）解：由 得 ，即 ，
令 ，当 时， ，所以 ，
所以当 时， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 在 时恒成立，
令 ，设 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
解得 或 ；
所以实数 的取值范围是 或
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；对数的性质与运算法则
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