【高中数学北师大版（2019）同步练习】 3对数函数（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
2对数函数
一、单选题
1．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知 ， ， ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
3．已知a=212，b= ， ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c4．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan 的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
5．函数的单调递减区间是 (　　)
A． B． C． D．
6．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．给出下列说法，错误的有（　　）
A．若函数在定义域上为奇函数，则
B．已知的值域为，则a的取值范围是
C．已知函数满足，且，则
D．已知函数，则函数的值域为
8．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且 ，定义X的信息熵 .（　　）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y)
三、填空题
9．若函数 的反函数的图象经过点 ，则 　 　.
10．对于任意不等于1的正数 ，函数 的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是　 　.
11．函数 的递增区间是　 　．
12．函数f（x）=loga（2﹣ ）（a＞0且a≠1）在（1，2）上单调递增，则a的取值范围为　 　．
13．设正数 满足 ，则 的取值范围是　 　.
14．函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是　 　．
四、解答题
15．已知指数函数 ， 时，有 .
（1）求 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 .
16．已知函数（且）.
（1）若，求的单调区间；
（2）已知有最大值，且，，，求a的取值范围.
17．已知函数 的定义域是集合A，函数 的值域是集合B．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18．不等式，对任意实数x都成立，满足条件自然数k最大值为a，若已知mn＞0，m≠n，试比较（3m2+4mn+n2）与（2m2+6mn）的大小．
19．设函数 ，且 .
（1）求 的值；
（2）当x∈[2,14]时，求 的值域．
20．已知函数 ．
（1）当 时，求函数的值域；
（2）已知 ，若存在两个不同的正数 ， ，当函数 的定义域为 时， 的值城为 ，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
2．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
3．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
4．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
5．【答案】D
【知识点】对数函数的单调区间
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
7．【答案】A,B,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；对数函数的图象与性质
8．【答案】A,C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式
9．【答案】2
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
10．【答案】（-1，4）
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
11．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
12．【答案】（1，2]
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
13．【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；基本不等式在最值问题中的应用
14．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
15．【答案】（1）解：∵指数函数 在 时，有 ，
∴
又 ，
解得 ，
∴实数 的取值范围为
（2）解：由（1）得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴不等式的解集为
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
16．【答案】（1）解：由得，则的定义域为.
当时，，函数单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减.
故的单调递增区间为.单调递减区间为.
（2）解：，.得.
因为有最大值.所以在上有最大值，则，.
因为，所以.
因为，，，所以.
所以，解得，A的取值范围为
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；对数函数的单调性与特殊点
17．【答案】（1）解：由题意，函数 有意义，则满足 ，
即
当 时，不等式变为 ，解得 ，
即集合
（2）解：由 ，即集合
因为 是 的充分不必要条件，则 且 ，
又由
①当 ，即 时，集合 ，满足 且 ，所以 ；
②当 ，即 时，此时函数的定义域为空集，不合题意，舍去；
③若 ，即 时， ，不满足 ，舍去.
综上所述，实数 的取值范围是
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的图象与性质
18．【答案】解：不等式≥k对于任意的实数x均成立，等价于（k﹣3）x2+（k﹣2）x+k﹣2≤0对于任意的实数x均成立．当k=3时，x+1≤0，∴x≤﹣1，不满足题意；当k≠3时，，解得k≤3，∵满足条件自然数k最大值为a，∴a=3，∵mn＞0，m≠n∴3m2+4mn+n2﹣2m2﹣6mn=m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2＞0，∴3m2+4mn+n2＞2m2+6mn，∵对数函数y=为减函数，∴（3m2+4mn+n2）＜（2m2+6mn）．
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
19．【答案】（1）解：由题意，函数
因为 ，可得 ，
即 ，解得 .
（2）解：由（1）可得，函数 ，
令 ，则函数 为单调递增函数，
又由函数 为单调递增函数，
结合复合函数的单调性，可得函数 在 上单调递增函数，
所以当 ，函数 取得最小值，最小值为 ，
当 ，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以函数 的值域为 .
【知识点】复合函数的单调性；对数的性质与运算法则；对数函数的值域与最值
20．【答案】（1）解： 时， 因为 ，
所以 ，所以此时 的值域是
（2）解：当 时，设 ，设 ，
对称轴 ，所以当 时， 为增函数，即 为增函数．
所以函数 的定义域为 时， 的值域为 ，（ ， ）等价于 有两个不等的正实根．
即 ，设 ，
所以 ，即 有两个大于1的不等实根．
所以 解得 ，所以 的取值范围是： ．
【知识点】二次函数的性质；对数的性质与运算法则；对数函数的值域与最值；一元二次不等式及其解法
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