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12.1 全等三角形 学案
（一）学习目标：
1.能够理解全等三角形的观点，掌握全等三角形的符号表示，并能够识别全等三角形的特点。
2.通过观察、分析、讨论等活动，提高观察能力和分析能力，加深对全等三角形观点的理解。
3.培养空间观念和观察能力，激发对数学的兴趣和热爱。
（二）学习重难点：
学习重点：全等三角形的观点识别和符号表示
学习难点：如何引导学生观察、分析、讨论，提高观察能，力和分析能力
阅读课本，识记知识：
1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
2.全等三角形的相关概念及表示方法
(1)相关概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
(2)表示方法
全等的符号：“≌”，读作“全等于”。
△ABC与△DEF全等，记作；△ABC≌△DEF，读作：“三角形ABC全等于三角形DEF".
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DBC。
3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
4.确定全等三角形对应边、对应角的方法
(1)若有公共边，则公共边一定是对应边。
(2)一对最长的边一定是对应边，一对最短的边也一定是对应边。
(3)若有公共角，则公共角一定是对应角。
(4)若有对顶角，则对顶角一定是对应角。
(5)一对最大的角一定是对应角，一对最小的角也一定是对应角。
(6)两边是对应的，则它们所对的角也一定是对应的；反过来，两个角是对应的，则它们所对的边也是对应的。
(7)两条对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边。
(8)两个三角形全等用“>”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找。
【例1】下列说法中，正确的个数有（ ）
①三角形具有稳定性；②直角三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点
③全等三角形的面积一定相等；④三角形的外角大于它的内角
⑤能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是中线和角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线以及中线、高线的定义、全等三角形的性质等知识，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用三角形的角平分线以及中线、高线的定义、全等三角形的性质、三角形外角的性质分别分析得出答案．
【详解】解：①三角形具有稳定性，正确；
②直角三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点，正确；
③全等三角形的面积一定相等，正确；
④三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，故此选项错误；
⑤能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是中线，故此选项错误；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确；
故选：C．
【例2】下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．
【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
B选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选B．
选择题
1．如图，两个三角形全等，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，是、边的夹角
，
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可.
【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误；
B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误；
C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确；
D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误.
故选：C
3．如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∵．
故选：A．
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．全等三角形对应边上的高相等
【答案】D
【分析】本题考查的是真假命题的判断，对顶角的定义，平面内，两条直线的位置关系，平行线的性质，全等三角形的性质，熟记定义与性质是解本题的关键．
【详解】解：相等的角不一定是对顶角，原来命题为假命题，
在同一平面内，不相交的两条直线是平行线， 原来命题为假命题，
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原来命题为假命题，
全等三角形对应边上的高相等，真命题，
故选D
5．如图，如果，的周长是，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形的性质得出对应边的值，进而求出即可．
【详解】解：∵，的周长是，
∴，
∴．
故选：A．
6．如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D，
∵，
∴，
∵于E，于F．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则，
由题意得，，
解得；
当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则，
由题意得，，
解得．
综上，当与全等时，t的值为2或或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
7．如图，，点在上，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据，得到，，进而利用求出的长即可．掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点在上，
∴；
故选C．
8．如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果，则只需测出（ ）
A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的性质即可得到结论，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
故只需测出的长度，
故选：B．
9．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．
利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形；
B．两个图形能完全重合，符合题意；
C．两个图形形状不同，不是全等图形；
D．两个图形形状相同大小不同，不是全等图形；
故选：B．
10．如图，两个三角形全等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵与的两边长都为b与c，
∴由全等三角形的性质，可得：，
故选：C．
填空题
11．如图，，若，则 ．
【答案】55
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理列式求出．
【详解】解：∵，，
，
，
，
故答案为：55．
12．如图，，与是对应角，与是对应边，，，那么的长是 cm．
【答案】8
【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”求得，，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：8．
13．已知三边长分别是4，，9，的三边长4，，若这两个三角形全等，则 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，或，分别求出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，或，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
14．已知≌，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则 ， ．
【答案】 20
【分析】考查“全等三角形对应边相等，对应角相等”，利用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质即可解题，正确找出对应边，对应角是解决本题的关键．
【详解】在中， ，，
∴，
∵，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点，
∴的对应角是，
∴，
∵
∴的对应边是为，
故答案为， 20．
15．在中，，直线l过点 C．，，如图，点B与点F关于直线l对称，连接．点M从A点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M，N作直线l于点D，直线l于点E，点M，N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当t是 秒时，与全等．
【答案】或5或
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可．
【详解】解：∵，直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，
∴，
∴，
∵运动时间为t秒．
∴，
∴当时，，
当点沿路径运动时，，
，
解得，，不合题意，
当点沿路径运动时，，
，
解得，，
当点沿路径运动时，
，
解得，，
当点沿路径运动时，，
，
解得，，
综上所述，当或5或时，．
故答案为：或5或．
三、解答题
16．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．
(1)若，，求；
(2)若，求．
【答案】(1)2
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案；
（2）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，由平角的定义及等量代换即可得到的度数．
【详解】（1）解：∵，，，
，，
；
（2）∵，
，
∵，
，
，
，
，
，
．
17．如图，，．若，，求线段的长．
【答案】2
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据“全等三角形的对应边相等”可得，再同时减去可得，最后求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，，
，
．
18．如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为．
(1)第时，______，______．（用含的代数式表示）
(2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
（1）根据距离速度时间分别求得、即可；
（2）分类讨论，当和时，由全等三角形的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：依题意得：，；
（2）解：当时，．
，
，
．
当时，．
点为的中点，
．
，
，
，
，
．
综上所述，当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，或．
37．（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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12.1 全等三角形 学案
（一）学习目标：
1.能够理解全等三角形的观点，掌握全等三角形的符号表示，并能够识别全等三角形的特点。
2.通过观察、分析、讨论等活动，提高观察能力和分析能力，加深对全等三角形观点的理解。
3.培养空间观念和观察能力，激发对数学的兴趣和热爱。
（二）学习重难点：
学习重点：全等三角形的观点识别和符号表示
学习难点：如何引导学生观察、分析、讨论，提高观察能，力和分析能力
阅读课本，识记知识：
1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
2.全等三角形的相关概念及表示方法
(1)相关概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
(2)表示方法
全等的符号：“≌”，读作“全等于”。
△ABC与△DEF全等，记作；△ABC≌△DEF，读作：“三角形ABC全等于三角形DEF".
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DBC。
3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
4.确定全等三角形对应边、对应角的方法
(1)若有公共边，则公共边一定是对应边。
(2)一对最长的边一定是对应边，一对最短的边也一定是对应边。
(3)若有公共角，则公共角一定是对应角。
(4)若有对顶角，则对顶角一定是对应角。
(5)一对最大的角一定是对应角，一对最小的角也一定是对应角。
(6)两边是对应的，则它们所对的角也一定是对应的；反过来，两个角是对应的，则它们所对的边也是对应的。
(7)两条对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边。
(8)两个三角形全等用“>”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找。
【例1】下列说法中，正确的个数有（ ）
①三角形具有稳定性；②直角三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点
③全等三角形的面积一定相等；④三角形的外角大于它的内角
⑤能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是中线和角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线以及中线、高线的定义、全等三角形的性质等知识，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用三角形的角平分线以及中线、高线的定义、全等三角形的性质、三角形外角的性质分别分析得出答案．
【详解】解：①三角形具有稳定性，正确；
②直角三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点，正确；
③全等三角形的面积一定相等，正确；
④三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，故此选项错误；
⑤能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是中线，故此选项错误；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确；
故选：C．
【例2】下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．
【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
B选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选B．
选择题
1．如图，两个三角形全等，则的度数是( )
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
3．如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．全等三角形对应边上的高相等
5．如图，如果，的周长是，则（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．6
7．如图，，点在上，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果，则只需测出（ ）
A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度
9．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，两个三角形全等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如图，，若，则 ．
12．如图，，与是对应角，与是对应边，，，那么的长是 cm．
13．已知三边长分别是4，，9，的三边长4，，若这两个三角形全等，则 ．
14．已知≌，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则 ， ．
15．在中，，直线l过点 C．，，如图，点B与点F关于直线l对称，连接．点M从A点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M，N作直线l于点D，直线l于点E，点M，N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当t是 秒时，与全等．
三、解答题
16．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．
(1)若，，求；
(2)若，求．
17．如图，，．若，，求线段的长．
18．如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为．
(1)第时，______，______．（用含的代数式表示）
(2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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