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12.3 角的平分线的性质 学案
（一）学习目标：
1.理解角平分线的观点和性质，掌握其在实际问题中的应用。
2.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.增强学生的数学应用认识和几何思维能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解角平分线的性质，掌握其在实际问题中的应用
学习难点：如何引导学生发现和证明角平分线的性质，培养学生的数学思维能力和推理能力
阅读课本，识记知识：
1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如图，因为点P在△AOB的平分线上，PC上OA于点C，PD⊥OB于点D，所以PC=PD。
2.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.如上图，因为PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以点P在∠AOB的平分线上。
【例1】 如图的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角
C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，根据作法解答即可．
【详解】解：由图形知，该尺规作图的步骤依次是：以点O为圆心，任意长为半径，交于点C，交于点D，
再分别以点C、D为圆心的长度为半径画弧，
则即为的平分线，
故选：D．
【例2】 如图所示，平分，于点M，且，则与的关系是（ ）．
A．相等 B．互补 C．和为 D．和为
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、互补，过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质及得，进而可得，则可得，再利用得，进而可得，则可得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图：
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
与互补，
故选B．
选择题
1．如图，用直尺和圆规在内作射线，P是射线上一点，过点P分别作于点E，作于点F．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．由作图可知，平分，由角平分线的性质可得出答案．
【详解】解：由作图可知，平分，
∵，，
∴，
故选∶C．
2．下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．连接BC，使 B．以点C为圆心，长为半径画弧
C．作直线 D．连接，并且平分
【答案】B
【分析】本题考查了作图-尺规作图的定义，根据作图语言求解．
【详解】解：A：连接，但是不一定能垂直，故A是错误的；
B：以点C为圆心，为半径画弧是符合作图语句的，故B是正确的；
C：直线没有长度，不可度量，故C是错误的；
D：连接，但是不一定能平分，故D是错误的；
故选：B．
3．如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（ ）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的判定，涉及“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，掌握角平分线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，
故选：B．
4．如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质；
过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；根据点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；根据即可判断①是否正确．
【详解】解：如图，过E作于F，
∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
而，
∴，故③错误；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正确；
∴，故④正确；
∴，故①正确．
综上，四个结论中成立的是①②④，
故选：A．
5．如图， 在中， ，平分，交 于点D，，则点 D到的距离是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线性质定理，过点D作于点E，则即为所求，根据角平分线性质得出，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，过点D作于点E，则即为所求，
，平分，交 于点D，
,
故选：A．
6．如图，①以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于点、；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，；则一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∴一定可以推出的结论是且；
故选A．
7．如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，作得，据此即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴的面积为：，
故选：C
8．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
故选：A．
9．如图，中，，，平分交于于D，于E且，则的周长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质定理以及三角形全等的判定和性质定理，三角形的周长计算公式，理解题意是关键．
根据角平分线的性质可得，则，从而证明，所以，即可求得的周长．
【详解】解：∵平分，
∴(角平分线上点到两边距离相等)，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点，
故选B．
填空题
11．如图，是的角平分线，，垂足为E，是的中线，，，，的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到，求出的面积， 的面积．
过作于H，由角平分线的性质得到，即可求出，，得到，由是的中线，得到，再运用即可．
【详解】解：过作于，
∵是的角平分线， ，
∴ ，
∵，
∴，
，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴．
故答案为:．
12．如图在中，，平分交于点，且，则点到的距离是 ．
【答案】/5厘米
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
，平分交于点，，
，
点到的距离是，
故答案为：．
13．如图，在中，，是的平分线，，则点D到边的距离是 .
【答案】6
【分析】本题考查角平分线的性质定理，根据“角平分线上的点到角两边距离相等”即可求解．
【详解】解：如图，作于点E，
，
，
又是的平分线，，
，
点D到边的距离是6，
故答案为：6．
14．如图，在中，，是外角平分线上一点，连接，，已知，则 ．
【答案】67°
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点作于，于，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：过点作于，于，
平分，
，
在上截取，连接，
在和中，
，
，
在四边形中，
∵，
∴在四边形为正方形，
，
，
平分，
，
，
平分．
∴
∴
故答案为：67°
15．如图，在中，，AD平分，交BC于D，若，P为上一动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查角平分线的性质和垂线段最短，作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：如图，
作于H，
∵AD平分，，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值为的长.
故答案为：3.
三、解答题
16．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在中，，
求作：点，使点在边上，且到和的距离相等．
作法：
如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
【答案】(1)补图见解析；
(2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【分析】（）根据题意补全图形，即可；
（）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证；
本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，
故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
17．如图，尺规作图痕迹与的边分别交于点过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结，使．
(1)求证：．
(2)若的面积为的面积为，则的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
(1)根据角平分线的性质以及全等三角形的判定证明即可．
(2)证明，可得，由，可得，进而可得，即可得出答案．
【详解】（1）证明∶由作图痕迹可知，平分，
．
（2）由（1）可知，，
，
的面积为，
的面积为，
即的面积为3．
18．如图，在中，，，平分交于点D，点E是边上一点，连接，若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查角的运算，角平分线的性质定理以及平行线的判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
先求出的度数，进而得出，因为，由“内错角相等，两直线平行”即可判断．
【详解】在中，，，
，
平分，
，
，
，
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
1.理解角平分线的观点和性质，掌握其在实际问题中的应用。
2.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.增强学生的数学应用认识和几何思维能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解角平分线的性质，掌握其在实际问题中的应用
学习难点：如何引导学生发现和证明角平分线的性质，培养学生的数学思维能力和推理能力
阅读课本，识记知识：
1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如图，因为点P在△AOB的平分线上，PC上OA于点C，PD⊥OB于点D，所以PC=PD。
2.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.如上图，因为PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以点P在∠AOB的平分线上。
【例1】 如图的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角
C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，根据作法解答即可．
【详解】解：由图形知，该尺规作图的步骤依次是：以点O为圆心，任意长为半径，交于点C，交于点D，
再分别以点C、D为圆心的长度为半径画弧，
则即为的平分线，
故选：D．
【例2】 如图所示，平分，于点M，且，则与的关系是（ ）．
A．相等 B．互补 C．和为 D．和为
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、互补，过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质及得，进而可得，则可得，再利用得，进而可得，则可得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图：
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
与互补，
故选B．
选择题
1．如图，用直尺和圆规在内作射线，P是射线上一点，过点P分别作于点E，作于点F．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．连接BC，使 B．以点C为圆心，长为半径画弧
C．作直线 D．连接，并且平分
3．如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（ ）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
4．如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
5．如图， 在中， ，平分，交 于点D，，则点 D到的距离是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
6．如图，①以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于点、；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，；则一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
9．如图，中，，，平分交于于D，于E且，则的周长为（）
A． B． C． D．
10．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
填空题
11．如图，是的角平分线，，垂足为E，是的中线，，，，的面积为 ．
12．如图在中，，平分交于点，且，则点到的距离是 ．
13．如图，在中，，是的平分线，，则点D到边的距离是 .
14．如图，在中，，是外角平分线上一点，连接，，已知，则 ．
15．如图，在中，，AD平分，交BC于D，若，P为上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
16．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在中，，
求作：点，使点在边上，且到和的距离相等．
作法：
如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
17．如图，尺规作图痕迹与的边分别交于点过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结，使．
(1)求证：．
(2)若的面积为的面积为，则的面积为______．
18．如图，在中，，，平分交于点D，点E是边上一点，连接，若，求证：．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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