广东省部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考
数学试卷解析版
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】中的不等式，得，即，
又，
.
故选：C.
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【详解】
，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：D.
3．已知随机变量，且，，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【详解】由正态密度曲线的对称性可知，，，
所以.
故选：A
4．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【详解】因为函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得，
又函数，可得，
所以，此时，
又，所以，因为，且，所以，
不妨设，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则当时，λ取得最大值，最大值为．
故选：C．
5．展开式中的系数为（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
【答案】D
【详解】从的6个因式中，其中2个因式选择，2个因式选择，剩余2个选择1，
故展开式中的系数为.
故选：D
6．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ）
A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值
C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小
【答案】D
【详解】A：在10次射击中击中目标的次数，
当时对应的概率，
因为取最大值，所以，
即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．故A错误；
B：，当时，取得最大值，故B错误；
C、D：，
，
，
，
当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误；
当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确；
故选：D.
7．若“，”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得该命题的否定为真命题，
即“，”为真命题，
即，
令，因为，则，
则存在，使得成立，
令，令，则（负舍），
则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，则.
故选：C.
8．已知是定义在上的函数，且，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】因为，即，所以函数的图象关于直线对称；
又因为，所以，所以函数的图象关于点对称；
所以，所以，即函数周期为4，
又因为，所以，即.
所以.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】∵，∴关于对称
∵为偶函数，∴关于对称
∴的周期，故A错；
（∵的周期为12）
（∵关于对称）
（∵关于对称），故B正确；
（∵的周期为12）
（∵关于对称）
（∵关于对称）
，即，故C正确；
∵的周期为12
∴，
，又，所以，
同理，，，
，又，所以，即，
由，令，得，，
，
所以，所以，
，
，故D正确.
故选：BCD
10．小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜
B．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜
C．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷
D．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷
【答案】AD
【详解】对于A，小明获胜的概率为，故A符合题意；
对于B，若要点数之和为奇数，则只能是一奇一偶，而每抛一次出现奇数，偶数的概率都是，
但可能是先出现奇数，有可能先出现偶数，故小明获胜的概率为，故B不符合题意；
对于C，若点数之和为6，则两个加数可以是，即小明获胜的概率为，
若点数之和为8，则两个加数可以是，即小红获胜的概率为，故C不符合题意；
对于D，抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，则这三个自然数可以是，
所以小明获胜的概率为，
若掷出的点数都相同，则这三个自然数可以是，
所以小红获胜的概率为，故D符合题意.
故选：AD.
11．已知 ，下列说法成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由知，，
令，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，即，
由知，故A正确；
对于B，由可得，可得（时取等号），
因为，所以，故B正确；
对于C，因为，当时，，则，又，
所以，由知，
所以此时，故C错误；
对于D，，，
令，则，
由于得，可得，时等号成立，当时，，
所以，
在单调递增，，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是
【答案】
【详解】当时，，与客观事实矛盾，
故此时不等式的解集为，符合；
当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为，
则有，
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
13．已知随机变量，且，则的最小值为 ．
【答案】8
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以．
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为8．
故答案为：8.
14．已知函数，若 ，则 ，的取值范围为 .
【答案】
【详解】设，则，由题意知，
即，故，
则，则，
当时，，
此时的解均为，不满足 ，故；
故要使得 ，
需满足有解，且显然其解不是0和n，()，
故，解或，结合，可得或，
故，即的取值范围为，
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球.
(1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；
(2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件
①求
②求
【答案】(1)
(2)①，，；②
【详解】（1）；
（2）①，
，
，
；
②，
.
16.（本小题15分）
已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程
(2)当时，求函数的极值
(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
(3)
【详解】（1）当时，，定义域为，
，所以函数的图象在点处的切线的斜率为，又，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即.
（2），令，解得，
当时，，当时，，
所以 在上是减函数，在上是增函数，
所以在处取得极小值，无极大值.
（3）因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上为单调递减函数，
所以当时，取得最大值，即，
所以.
17.（本小题15分）
为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
训练前 4 7 5 9 5 2 8.5 6 7 5
训练后 8.5 9.5 7.5 9.5 8.5 6 9.5 8.5 9 9
优秀人数 非优秀人数 合计
训练前
训练后
合计
(1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
(2)从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
(3)为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)同学的优秀情况与训练有关，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）零假设：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为
优秀人数 非优秀人数 合计
训练前 2 8 10
训练后 8 2 10
合计 10 10 20
.
故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关.
（2）设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件，
事件为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀，
有1人训练前非优秀，训练后也非优秀，
从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀，
则，，
所以.
（3）设“甲同学一天得分不低于3分”为事件，有，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率
，，
，
当时，，时，，
故在上单调递增，在单调递减.
所以当时，取得最大值.
18.（本小题17分）
某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为，且各个零件的生产互不影响．
(1)若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为．
①求p；
②现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检．已知自动智能检测显示该批零件的合格率为99%，求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率（合格品不会被误检成次品）．
(2)视p为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取n个产品，其中恰好含有个次品的概率为，求函数最大值．
【答案】(1)①，②
(2)
【详解】（1）①因为两道生产工序互不影响，
所以．
②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且，
则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为．
（2）因为各个芯片的生产互不影响，所以，
所以，
令，得，又，则，
所以当时，为单调增函数，
当时，为单调减函数，
所以，当时，取得最大值，
则最大值为.
19.（本小题17分）
已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数的最大值；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在且，使得，证明：．
【答案】(1)2
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立．
因为，所以，即对恒成立．
因为，当且仅当时取等号，所以，即实数的最大值是2．
（2），
①当时，，则在上单调递增；
②当时，，则在上单调递增；
③当时，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（3）因为，所以，
因为在上单调递增，所以．
要证，即证．
因为在上单调递增，所以只需证．
又因为，所以只需证，
即证．
记，
则，
所以在上单调递增，所以，
故成立．广东省部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考
数学试卷
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．已知随机变量，且，，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
5．展开式中的系数为（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
6．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ）
A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值
C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小
7．若“，”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的函数，且，则（ ）
A． B． C． D．0
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜
B．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜
C．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷
D．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷
11．已知 ，下列说法成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是
13．已知随机变量，且，则的最小值为 ．
14．已知函数，若 ，则 ，的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球.
(1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；
(2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件
①求
②求
16.（本小题15分）
已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程
(2)当时，求函数的极值
(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
17.（本小题15分）
为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
训练前 4 7 5 9 5 2 8.5 6 7 5
训练后 8.5 9.5 7.5 9.5 8.5 6 9.5 8.5 9 9
优秀人数 非优秀人数 合计
训练前
训练后
合计
(1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
(2)从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
(3)为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（本小题17分）
某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为，且各个零件的生产互不影响．
(1)若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为．
①求p；
②现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检．已知自动智能检测显示该批零件的合格率为99%，求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率（合格品不会被误检成次品）．
(2)视p为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取n个产品，其中恰好含有个次品的概率为，求函数最大值．
19.（本小题17分）
已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数的最大值；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在且，使得，证明：．
