山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二下学期7月份第一次数学模拟考试试题（含答案）

新泰一中东校2023-2024学年高二下学期7月份第一次模拟考试
数学试题
满分 150分 考试用时 120 分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
10 18
m 26
A． B． C． D．
2．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为右图：则当取下面何值时，与的关系最弱（ ）
A．8 B．9 C．14 D．19
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
5．2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（ ）
A． B． C． D．
A B C
D E F
6．某公园有如图所示至共个座位，现有个男孩个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（ ）．
A． B． C． D．
7．的展开式中，的系数是（ ）
A．120 B．-120 C．60 D．30
8．若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量满足，则
B．，当不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
C．若点，，，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数
D．若事件满足，，，则有
10．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（ ）

A．第行的第个位置的数是
B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列
C．70在杨辉三角中共出现了3次
D．210在杨辉三角中共出现了6次
11．设函数，，给定下列命题，正确的是（ ）
A．不等式的解集为；
B．函数在单调递增，在单调递减；
C．若时，总有恒成立，则；
D．若函数有两个极值点，则实数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为 .
13．甲、乙两同学玩掷骰子游戏，规则如下：（1）甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；（2）若的值能使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜.那么甲胜的概率为____ __.
14．已知是定义在上的可导函数，满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．(本小题满分 13分)已知展开式的二项式系数之和为．
(1)求展开式中所有项的系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)若能被整除，求正数的最小值．
16．(本小题满分 15分)已知命题是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．(本小题满分 15分)某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：
好评 差评 合计
男性 68 108
女性 60
合计 216
（1）请将列联表补充完整，依据的独立性检验，分析“对影片的评价是否与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；
（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．(本小题满分 17分)如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下.
2 2.5 1.5 2.5 2 3 2 3
0.4 0.6 0.5 0.5 m 0.5 0.5

(1)若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列；
(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值；
(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围.
19．(本小题满分 17分)已知函数（）
(1)当时，讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点
①求的取值范围
②证明：
新泰一中东校2023-2024学年高二下学期7月份第一次模拟考试
数学参考答案
一、单选题
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．A
二、多选题
9．BCD 10．BCD 11．AC
三、填空题
12． 60 13． 14．
四、解答题
15．【详解】（1）由已知可得，，解得．所以，令，得，即的展开式中所有项的系数和为；
（2）二项式的展开式的通项为，，
令，解得，所以常数项为；
（3）因为
，
由于能被整除，
故当能被整除，只需满足能被整除，所以正数的最小值为．
16．【详解】（1）因为命题是假命题，
所以命题是真命题，所以在上恒成立，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，所以，即，故.
（2）因为是的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，又，
因为对应的方程的根为或，
当，即时，由得，则，
所以，则，故；
当，即时，由得，显然，即，满足题意；
当，即时，由得，则，
所以，则，故；
综上：，即.
17．【详解】解：（1）填写列联表如下：
好评 差评 合计
男性 40 68 108
女性 60 48 108
合计 100 116 216
所以
，
依据的独立性检验，认为“观影评价与性别有关”．
（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以，，，．故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（3）从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人，女性6人.
则Y的可能取值为0，1，2．
所以，，．
所以，即，
即，解得，又，所以m的最大值为2．
18．【详解】（1）的可能取值为9，9.5，10，10.5，
，
则的分布列为
9 9.5 10 10.5
0.2 0.3 0.2 0.3
（2）若他开车经过站，则他选择的路线是甲路线或乙路线，
记选择甲路线为事件，选择乙路线为事件，则，
若他开车从站到站的总时间少于5分钟，则或，
所以由全概率公式得，解得.
（3）设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟，
则
设选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟，
，
则
若三条路线中只有丙路线最快捷，则
即，
又，所以，即的取值范围是.
19．【详解】（1）当时，，（），
令，解不等式得在上单调递减，在上单调递增.
（2）①，
因为有两个极值点即：在有两个不相等的实根，
所以，所以，
②由①得
要证，即证：，
只需证，令
，令
则恒成立，所以在上单调递减
又因为，由零点存在性定理得：，使得，即，
所以，单调递增.时，，单调递减.
则
因为在上单调递增，所以
所以，即得证.