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【专题培优】一元二次方程的解的有关求值问题
一、单选题
1．（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24·安徽蚌埠·期中）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．5
3．（23-24·安徽蚌埠·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则方程的另一个根是（ ）
A． B．4 C． D．
4．（23-24·浙江温州·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24·浙江金华·期中）若，是方程的两实数根，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．（23-24·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
9．（23-24·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程必有一根为；
②若c是方程的一个根，则一定有成立；
③若两根为，且满足，则方程，必有实根，；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③④
10．（23-24·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
二、填空题
11．（2024·江西九江·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则 ．
12．（23-24·江苏南通·期中）设，是的两根，则 ．
13．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号）
14．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知是方程的一个根，则 .
15．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知m，n为一元二次方程的两个根，则的值为 ．
16．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知方程的两根分别为a、b，则的值为 ．
三、解答题
17．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
18．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．
(1)求m的值；
(2)求的周长．
19．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
20．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
21．（23-24·浙江杭州·阶段练习）若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)用含k的代数式表示．
22．（23-24·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程：
方程①：；方程②：
(1)证明方程①总有实数根，
(2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值．
(3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值．
23．（2023·广东深圳·模拟预测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)判断：方程 倍根方程（填“是”或“不是”）．
(2)已知是倍根方程，求与的数量关系．
(3)已知方程是倍根方程，且相异两点，， 都在抛物线上，求方程的根．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题培优】一元二次方程的解的有关求值问题
一、单选题
1．（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，由一元二次方程根和系数的关系可得，再把转化为，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
2．（23-24·安徽蚌埠·期中）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值．
【详解】解： ，是不为0的实数，
由 ，，得，，
又，
，为一元二次方程的两个不相等实根，
，，
，
故选：A．
3．（23-24·安徽蚌埠·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则方程的另一个根是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念、根的意义以及解法，熟悉其相关知识是解决问题的关键．根据方程的一个根是0和一元二次方程的定义，可求出的值，然后解方程即得解．
【详解】解： 关于的一元二次方程的一个根是0，
满足方程，代入得：，即，
，
又为关于的一元二次方程，则，即，
，
原方程为，即，
方程的另一个根为．
故选：C．
4．（23-24·浙江温州·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键．
由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，即，
解得，，即，
∴，即，
解得，，，
∴方程一定有实数根，
故选：B．
5．（23-24·浙江金华·期中）若，是方程的两实数根，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的定义、根与系数的关系、代数式求值等知识，由题意得到，，代入代数式求值即可得到答案．
【详解】解：，是方程的两实数根，
，，则，
，
故选：D．
6．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴
；
故选B．
7．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，先根据一元二次方程解的定义得到，，再由根与系数的关系得到，进而得到，，据此代值计算即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两根，
∴，，，
∴，，
∴
，
故选；C．
8．（23-24·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
【答案】C
【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解，
本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解．
【详解】解：∵的两个根分别为，3，
∴中，，或，
解得：或，
故选：C．
9．（23-24·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程必有一根为；
②若c是方程的一个根，则一定有成立；
③若两根为，且满足，则方程，必有实根，；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判断，根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．
【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确；
②若c是方程的一个根，
∴
∴当时，有成立；，
故②不正确；
③∵方程两根为，且满足，
∴，
令，，
∴方程有两个实数根，令两根分别为，
∴，
，
∴方程，必有实根，，
故③正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，
故④正确．
故正确的有①③④，
故选：C．
10．（23-24·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：若方程的两个根是和2，则，
∴，
∴；
故①正确；
若是方程的一个根，则，
∴或，
故②错误；
若，则，
即有一个根是；
故③正确；
若方程有一个根是，则，
当时，，
即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故选：C
二、填空题
11．（2024·江西九江·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，将式子变形为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（23-24·江苏南通·期中）设，是的两根，则 ．
【答案】2016
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，，，再逐步代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，是的两根，
∴，，，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
13．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②/②①
【分析】本题考查方程解，根的判别式，根据倒方程的定义，结合方程的解以及根的判别式逐一进行判断即可．
【详解】解：的倒方程为：，
把代入，得：
，解得：；故①正确；
∵无解，
∴，
∴，
∵的倒方程为，也是一元二次方程，
∴，
∴没有实数根，故②正确；
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
当，时，满足要求，
此时的倒方程为一元一次方程，故③错误；
故答案为：①②．
14．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知是方程的一个根，则 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，得出，代入代数式，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
15．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知m，n为一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，而m是方程的一个根，可得，即，那么，再把的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵m、n为一元二次方程的两个根，
∴，
∵m是的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：11．
16．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知方程的两根分别为a、b，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的根，根与系数关系定理，根据题意，，，，化简变形，代入计算即可．
【详解】∵方程的两根分别为a、b，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
三、解答题
17．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)另一个根为2
【分析】此题考查根的判别式、解一元二次方程，解题关键在于掌握根的判别式和一元二次方程的解法．
（1）要想证明不论取何值，方程有两个不相等的实数根，只要证明即可；
（2）把方程的一根代入原方程求出k的值，然后把k的值代入原方程求出方程的另一个根．
【详解】（1）证明：
∵，
∴，
∴不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵此方程的一个根为，
∴
解得
∴当时,一元二次方程为： ，
解得：
即方程的另一个根为2．
18．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．
(1)求m的值；
(2)求的周长．
【答案】(1)
(2)的周长为10
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系．掌握一元二次方程的解法和对等腰三角形恰当分类是解题的关键．
（1）将代入方程求解即可；
（2）首先求出方程的两个根，然后根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系求解即可．
【详解】（1）
解：把代入方程．
得：．
解得：；
（2）
解：∵，
∴原方程为，
解得，
当腰长为2时，∵，∴不能构成三角形，
当腰长为4时，∵，∴能构成三角形，
∴等腰三角形三边为4，4，2，
∴的周长为．
19．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)16
(2)2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：的两根满足．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，对展开式进行代入计算即可．
（2）先将根代入原方程，得到，移项后得，再代入，最后利用两根之和再代入即可求得结果．
【详解】（1）解：根据题意，得，．
；
（2）∵，是一元二次方程的两实数根，
∴，
∴．
∴
1
．
20．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
21．（23-24·浙江杭州·阶段练习）若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)用含k的代数式表示．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程：
（1）根据t是关于x的方程的一正实根得到，配方即可得出结论；
（2）根据，得到，即可得到，两边同时除以，将方程转化为，解方程即可；
（3）同法（2）进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵t是关于x的方程的一正实根，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍掉）；
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或（不合题意，舍掉）．
故：．
22．（23-24·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程：
方程①：；方程②：
(1)证明方程①总有实数根，
(2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值．
(3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)5
【分析】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
（1）根据题意证明即可；
（2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值；
（3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．
【详解】（1）
∴无论k为何值时，方程总①有实数根
（2）∵方程②有两个相等的实数根，
且，
则，
则，
，
，
；
（3）根据a是方程①和②的公共根，
③，④
得：⑤，
得：，
代数式．
故代数式的值为5．
23．（2023·广东深圳·模拟预测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)判断：方程 倍根方程（填“是”或“不是”）．
(2)已知是倍根方程，求与的数量关系．
(3)已知方程是倍根方程，且相异两点，， 都在抛物线上，求方程的根．
【答案】(1)不是；
(2)或；
(3)，．
【分析】（1）求出方程的解后即可利用倍根方程的定义进行判断；
（2）根据是倍根方程，且，得到或即可求解；
（3）利用“倍根方程”的定义及根与系数的关系进行求解．
【详解】（1）解：解方程得：，，
∵，
∴方程不是倍根方程．
（2）解：∵是倍根方程，，，
∴或，
∴，或．
（3）解：∵是倍根方程，
∴设，
∵相异两点，， 都在抛物线上，
∴抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
