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【专题培优】一元二次方程与配方法的应用
一．选择题（共10小题）
1．方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
2．珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（ ）
A．正确 B．不正确，p的值应为﹣2 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4
3．若﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x+m）2+n，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣5 B．m＝﹣1，n＝﹣5 C．m＝1，n＝9 D．m＝﹣1，n＝﹣9
4．无论a、b为何值，代数式a2+b2﹣2a+4b+5的值总是（ ）
A．负数 B．0 C．正数 D．非负数
5．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
6．若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8＝0，则ab＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．32 D．2004
7．已知，则3ab的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
8．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定
9．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当a≥0，b≥0时，有，得，当且仅当a＝b时等号成立，即a+b有最小值是．请利用这个结论解答问题：当x＞0时，的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如果一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．以下4个结论中，正确的有（ ）
（1）数61不是“完美数”；（2）数100是“完美数”；
（3）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝2；
（4）若S＝5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），S为“完美数”，则k值是9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝ ．
12．若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ．
13．已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，则p的最小值为 ．
14．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x2＝﹣1时，突发奇想：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：
（1）i可以运算，例如：i3＝i2 i＝﹣1×i＝﹣i，则i4＝ ；
（2）方程x2﹣6x+10＝0的两根为 ．（根用i表示）．
15．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．
（1）2x2﹣4x+b＝0与a（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，则b＝ ；
（2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+5能取的最大值是 ．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解．
（1）当k＝0时，方程的解为 ；
（2）若m是该一元二次方程的一个根，令y＝﹣m2+km﹣k2，则y的最大值和最小值的和为 ．
三．解答题（共8小题）
17．小明解一元二次方程2x2+5x+3＝0的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步）
（1）小明解此方程使用的是 法；小明的解答过程是从第 步开始出错的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
18．已知A＝x2﹣6x+10．
（1）当x＝﹣2、0、3时，分别求出A的值；
（2）证明：无论x取什么值，A的值都不小于1．
19．学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式m2﹣6m+10的最小值．
（2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值．
20．某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：
销售单价（元/千克） … 70 75 80 85 … x …
月销售量（千克） … 100 90 80 … …
（1）请根据上述关系，完成表格．
（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；
（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
21．先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式x2+6x+10的最小值．
解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1，∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1，∴x2+6x+10的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式y2+10y+27的最小值．
（2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值．
（3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由．
22．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12所以5是“完美数”．
[解决问题]（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 ；
（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ；
[探究问题]（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y＝ ；
（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
[拓展结论]（5）已知实数x、y满足y＝x2+x+2，求x+y的最小值．
23．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号，例如：当a＞0时，求的最小值．解∵a＞0，∴，又∵，∴，即a＝2时取等号．∴的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，当且仅当x＝ 时，有最小值 ．
（2）已知m＞0，当m取何值时，有最小值？最小值为多少？
24．【探究学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“a2≥0”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求a2+6a+12的最小值．
解：a2+6a+12＝a2+6a+32+3＝（a+3）2+3，因为（a+3）2≥0，所以（a+3）2+3≥3，所以当（a+3）2＝0时，即当a＝﹣3时，a2+6a+12有最小值，最小值为3．
【解决问题】
（1）当x为何值时，代数式x2﹣8x+11有最小值？最小值为多少？
（2）如图1所示的是一组邻边长分别为7，2a+5的长方形，其面积为S1；如图2所示的是边长为a+6的正方形，其面积为S2，a＞0，请比较S1与S2的大小，并说明理由．
（3）如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度46m的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地ABCD，且CD边上留两个1m宽的小门，设BC的长为x m，当x为何值时，长方形场地ABCD的面积最大？最大值是多少？中小学教育资源及组卷应用平台
【专题培优】一元二次方程与配方法的应用
一．选择题（共10小题）
1．方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．
【详解】∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝4，
∴（x﹣1）2＝4，
∴m＝﹣1，n＝4，
∴m+n＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
2．珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（ ）
A．正确 B．不正确，p的值应为﹣2
C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4
【答案】B
【分析】把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【详解】x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝6，
∴p＝﹣2，q＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．若﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x+m）2+n，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣5 B．m＝﹣1，n＝﹣5 C．m＝1，n＝9 D．m＝﹣1，n＝﹣9
【答案】B
【分析】已知等式左边变形后，配方得到结果，即可确定出m与n的值．
【详解】∵﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x2﹣2x+1）﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣5＝﹣2（x+m）2+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣5．
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．无论a、b为何值，代数式a2+b2﹣2a+4b+5的值总是（ ）
A．负数 B．0 C．正数 D．非负数
【答案】D
【分析】把代数式a2+b2﹣2a+4b+5变形为2个完全平方和的形式后即可判断．
【详解】∵a2+b2﹣2a+4b+5
＝a2﹣2a+1+b2+4b+4
＝（a﹣1）2+（b+2）2≥0，
故不论a、b取何值代数式a2+b2﹣2a+4b+5的值总是非负数．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方的形式及非负数的性质，难度一般，关键是正确变形为完全平方的形式后进行判断．
5．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【分析】将已知三个等式相加，进行配方可得结论．
【详解】△ABC是等腰三角形，理由是：
∵a2﹣4b＝1，b2﹣4c＝﹣4，c2﹣6a＝﹣14，
∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0，
∴a＝3，b＝2，c＝2，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，配方法的应用．熟记完全平方公式是解题的关键，属于基础题．
6．若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8＝0，则ab＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．32 D．2004
【答案】B
【分析】已知等式两边乘以2变形后，利用完全平方公式化简，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出ab的值．
【详解】a2﹣2ab+2b2+4a+8＝2a2﹣4ab+4b2+8a+16＝（a2﹣4ab+4b2）+（a2+8a+16）＝（a﹣2b）2+（a+4）2＝0，
∴a﹣2b＝0且a+4＝0，
解得：a＝﹣4，b＝﹣2，
则ab＝8．
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．已知，则3ab的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【答案】A
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，计算即可．
【详解】∵a2b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1b2+b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（b+1）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3ab＝3×1（﹣2）＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式是解题的关键．
8．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定
【答案】A
【分析】两个式子作差计算即可．
【详解】M﹣N＝2x2﹣12x+15﹣（x2﹣8x+11）
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2≥0，
∴M≥N，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
9．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当a≥0，b≥0时，有，得，当且仅当a＝b时等号成立，即a+b有最小值是．请利用这个结论解答问题：当x＞0时，的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】首先由x＞0得，由此可得出，进而得，据此可得当x＞0时，的最小值．
【详解】∵x＞0，
∴，
∴，
即，
∴，
∴当x＞0时，的最小值3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，二次根式，理解题意，熟练掌握完全平方公式的结构特征，二次根式的运算是解决问题的关键．
10．如果一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．以下4个结论中，正确的有（ ）
（1）数61不是“完美数”；
（2）数100是“完美数”；
（3）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝2；
（4）若S＝5x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），S为“完美数”，则k值是9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】（1）把61分为两个整数的平方即可；
（2）把100分为两个整数的平方即可；
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可判断；
（4）先根据S的前四项进行配方，再根据相等的条件求解．
【详解】（1）∵61＝52+62，
∴61是“完美数”，故（1）错误；
（2）∵100＝82+62，
∴100是“完美数”，故（2）正确；
（3）已知等式变形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，
即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
解得：x＝2，y＝﹣1，
则：x+y＝2﹣1＝1．故（3）错误；
（3）∵S＝5x2+y2+2xy+12x+k
＝x2+y2+2xy+（4x2+12x+9）
＝（x+y）2+（2x+3）2，
∴k＝9；故（4）正确；
综上，有2个是正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝ ﹣5或2 ．
【答案】﹣5或2．
【分析】将m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn逐步变形为（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，根据非负数的性质即可得出结果．
【详解】∵m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，
∴（m2+2mn+n2）+3（m+n）＝10，
∴（m+n）2+3（m+n）﹣10＝0，
∴（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，
∴m+n＝﹣5或m+n＝2，
故答案为：﹣5或2．
【点睛】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
12．若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．
【详解】W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3
＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3
＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3
＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3
＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3
＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2
＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，
∵x，y均为实数，
∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，
∴原式W≥﹣2，
即原式的W的最小值为：﹣2，
解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，
∵x为实数，
∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，
即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，
∴W≥﹣2，
∴W的最小值为：﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．
13．已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，则p的最小值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】根据完全平方公式求解．
【详解】∵a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝1，
∴ab＝（a+b）2﹣1，
∵p＝ab+2a+2b
＝（a+b）2+2（a+b）+1﹣2
＝（a+b+1）2﹣2≥﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
14．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x2＝﹣1时，突发奇想：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：
（1）i可以运算，例如：i3＝i2 i＝﹣1×i＝﹣i，则i4＝ 1 ；
（2）方程x2﹣6x+10＝0的两根为 x1＝3+i，x2＝3﹣i ．（根用i表示）．
【答案】（1）1；
（2）x1＝3+i，x2＝3﹣i．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【详解】（1）i4＝i2 i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，
故答案为：1；
（2）x2﹣6x+10＝0，
x2﹣6x＝﹣10，
x2﹣6x+9＝﹣10+9，
（x﹣3）2＝﹣1，
x﹣3＝±i，
x1＝3+i，x2＝3﹣i．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．
（1）2x2﹣4x+b＝0与a（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，则b＝ 5 ；
（2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+5能取的最大值是 6 ．
【答案】（1）5；
（2）6．
【分析】（1）先把方程2x2﹣4x+b＝0利用配方法变形为2（x﹣1）2﹣2+b＝0，然后根据“同类方程”的定义即可求出b的值；
（2）根据“同类方程”的定义即可求出a、b的值，然后利用配方法即可求出代数式的最大值．
【详解】（1）∵2x2﹣4x+b＝0，
∴2（x2﹣2x）+b＝0，
∴2（x2﹣2x+1﹣1）+b＝0，
∴2[（x﹣1）2﹣1]+b＝0，
∴2（x﹣1）2﹣2+b＝0，
∵2x2﹣4x+b＝0与a（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，
即2（x﹣1）2﹣2+b＝0与a（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，
∴﹣2+b＝3，
解得b＝5，
故答案为：5；
（2）∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”，
∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，
∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，
∴，
解得，
∴ax2+bx+5
＝﹣x2+2x+5
＝﹣（x2﹣2x﹣5）
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1﹣5）
＝﹣[（x﹣1）2﹣6]
＝﹣（x﹣1）2+6，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1时，ax2+bx+5能取的最大值，是6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了配方法的应用，新定义，理解同类方程”的定义以及熟练掌握配方法是解题的关键．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解．
（1）当k＝0时，方程的解为 ， ；
（2）若m是该一元二次方程的一个根，令y＝﹣m2+km﹣k2，则y的最大值和最小值的和为 2 ．
【答案】（1），；
（2）2．
【分析】（1）把k＝0代入，解一元二次方程；
（2）根据方程解的定义和一元二方程有解的条件列出不等式，再根据非负数的性质求解．
【详解】（1）当k＝0时，则x2＝3，
解得：x1，x2；
故答案为：x1，x2；
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解，
∴k2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k2≤4．
若m是该一元二次方程的一个根，则m2﹣km+k2＝3，
∴﹣m2+km＝k2﹣3，
∴y＝﹣m2+km+k2＝2k2﹣3，
∵k2的最大值为4，
当k2取最大值时，y取最大值，
∴y的最大值为：2×4﹣3＝5．
易知y的最小值为﹣3，
∴y的最大值和最小值的和为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了配方法的应用，理解方程解的意义是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．小明解一元二次方程2x2+5x+3＝0的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步）
（1）小明解此方程使用的是 配方 法；小明的解答过程是从第 三 步开始出错的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）配方；三；（2）x1＝﹣1，．
【分析】（1）根据配方法解答即可．
（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．
【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，
故答案为：配方法，第三步．
（2）原方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，．
【点睛】本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
18．已知A＝x2﹣6x+10．
（1）当x＝﹣2、0、3时，分别求出A的值；
（2）证明：无论x取什么值，A的值都不小于1．
【答案】（1）当x＝﹣2、0、3时，A的值分别为26、10、1；
（2）见解析．
【分析】（1）分别将x的值代入计算即可；
（2）利用配方法可可得A＝（x﹣3）2+1，根据非负数的性质：偶次方即可证明．
【解答】（1）解：当x＝﹣2时，A＝（﹣2）2﹣6×（﹣2）+10＝26，
当x＝0时，A＝10，
当x＝3时，A＝32﹣6×3+10＝1；
（2）证明：A＝x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，
∵（x﹣3）2≥0，
∴A＝（x﹣3）2+1≥1，即无论x取什么值，A的值都不小于1．
【点睛】本题主要考查代数式的求值、配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题关键是利用配方法解决问题．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
19．学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式m2﹣6m+10的最小值．
（2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值．
【答案】（1）最小值是1；
（2）有最大值是5．
【分析】（1）将m2﹣6m+10变形为（m﹣3）2+1即可解决；
（2）将﹣2x2﹣4x+3变形为﹣2（x2+2x+1）+5即可．
【详解】（1）由m2﹣6m+10
＝m2﹣6m+9+1
＝（m﹣3）2+1≥0+1＝1，
∴m2﹣6m+10的最小值是1，此时m＝3；
（2）由﹣2x2﹣4x+3
＝﹣2（x2+2x+1）+5
＝﹣2（x+1）2+5≤0+5，
∴﹣2x2﹣4x+3的最大值是5，此时x＝﹣1．
【点睛】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键．
20．某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：
销售单价（元/千克） … 70 75 80 85 … x …
月销售量（千克） … 100 90 80 70 … w＝﹣2x+240 …
（1）请根据上述关系，完成表格．
（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；
（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
【答案】（1）70，w＝﹣2x+240．
（2）y＝﹣2（x﹣85）2+2450，2450．
（3）75元．
【分析】（1）利用表格中数据，判断出是一次函数关系，设出解析式，进而求出一次函数关系式，整理即可；
（2）利用销售利润＝单价×销售量﹣成本列出函数关系式，利用配方法可求最值；
（3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即第二个月必须获得2250元的利润，把函数值2250代入，解一元二次方程即可．
【详解】（1）设w＝kx+b（k≠0）．
将（70，100），（75，90）代入上式得：
，
解得：
，
则w＝﹣2x+240，
当x＝85时，w＝﹣2×85+240＝70（千克）．
故答案为：70，w＝﹣2x+240．
（2）y＝（x﹣50） w＝（x﹣50） （﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，
因此y与x的关系式为：
y＝﹣2x2+340x﹣12000，
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
故当x＝85时，y的值最大为2450．
（3）故第1个月还有3000﹣2450＝550元的投资成本没有收回，
则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250才可以，
可得方程﹣2（x﹣85）2+2450＝2250，
解这个方程，得x1＝75，x2＝95；
根据题意，x2＝95不合题意应舍去．
答：当销售单价为每千克75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，注意题目中细节描述得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250进而求出是解题关键．
21．先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式x2+6x+10的最小值．
解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1，
∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1，
∴x2+6x+10的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式y2+10y+27的最小值．
（2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值．
（3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）2；
（2）8﹣m2+4m有最大值，最大值为12；
（3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由解答过程．
【分析】（1）利用配方法及偶次幂的非负性即可求得答案；
（2）利用配方法及偶次幂的非负性即可求得答案；
（3）将两式作差后利用配方法及偶次幂的非负性即可求得答案．
【详解】（1）y2+10y+27
＝y2+10y+25+2
＝（y+5）2+2，
∵（y+5）2≥0，
∴（y+5）2+2≥2，
∴y2+10y+27的最小值是2；
（2）8﹣m2+4m
＝﹣（m2﹣4m）+8
＝﹣（m2﹣4m+4）+4+8
＝﹣（m﹣2）2+12，
∵﹣（m﹣2）2≤0，
∴﹣（m﹣2）2+12≤12，
∴8﹣m2+4m有最大值，最大值为12；
（3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由如下：
4a2+b2+11﹣（12a﹣2b）
＝4a2+b2+11﹣12a+2b
＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1
＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1，
∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，
∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0，
∴4a2+b2+11＞12a﹣2b．
【点睛】本题考查配方法及偶次幂的非负性，将各式进行正确的变形是解题的关键．
22．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12所以5是“完美数”．
[解决问题]
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 52+22 ；
（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ﹣12 ；
[探究问题]
（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y＝ ﹣1 ；
（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
[拓展结论]
（5）已知实数x、y满足y＝x2+x+2，求x+y的最小值．
【答案】（1）52+22；
（2）﹣12；
（3）﹣1；
（4）k＝13．理由见解答过程；
（5）x+y的最小值为1．
【分析】（1）根据“完美数”可得答案；
（2）利用完全平方公式可得x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，从而可得答案；
（3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；
（4）利用完全平方公式可得S＝x2+4y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，再利用新定义可得答案；
（5）由条件可得y＝x2+x+2，代入计算可得x+y＝（x+1）2+1，再结合非负数的性质可得最小值．
【详解】（1）29＝25+4＝52+22；
故答案为：52+22；
（2）x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4；
∴m＝3，n＝﹣4，
∴mn＝3×（﹣4）＝﹣12；
故答案为：﹣12；
（3）∵x2+y2﹣2x+4y+5＝0，
∴x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0
∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得：x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝1﹣2＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（4）k＝13．理由如下：
S＝x2+4y2+4x﹣12y+k
＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9﹣13+k
＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13，
当S为完美数时，
∴k﹣13＝0，
解得：k＝13．
（5）∵y＝x2+x+2，
∴x+y＝x2+2x+2
＝（x+1）2+1，
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+1≥1，
∴x+y的最小值为1．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键．
23．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号，例如：当a＞0时，求的最小值．解∵a＞0，∴，又∵，∴，即a＝2时取等号．∴的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，当且仅当x＝ 1 时，有最小值 2 ．
（2）已知m＞0，当m取何值时，有最小值？最小值为多少？
【答案】（1）1，2；
（2）46．
【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可．
【详解】（1）当x＞0时，，
∴，
∴，
即x＝1时，的最小值为2．
故答案为：1，2；
（2）m+6，
∵m＞0，
∴m+62，
又∵，
∴m+646，
即46，
∴的最小值为46．
【点睛】本题考查了配方法，完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．
24．【探究学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“a2≥0”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求a2+6a+12的最小值．
解：a2+6a+12＝a2+6a+32+3＝（a+3）2+3，因为（a+3）2≥0，所以（a+3）2+3≥3，所以当（a+3）2＝0时，即当a＝﹣3时，a2+6a+12有最小值，最小值为3．
【解决问题】
（1）当x为何值时，代数式x2﹣8x+11有最小值？最小值为多少？
（2）如图1所示的是一组邻边长分别为7，2a+5的长方形，其面积为S1；如图2所示的是边长为a+6的正方形，其面积为S2，a＞0，请比较S1与S2的大小，并说明理由．
（3）如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度46m的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地ABCD，且CD边上留两个1m宽的小门，设BC的长为x m，当x为何值时，长方形场地ABCD的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）x＝4时，代数式x2﹣8x+11有最小值，最小值为﹣5；
（2）当a＝1时，S2＝S1；当a≠1时，S2＞S1，理由见解析
（3）当x＝8时，长方形场地ABCD的面积最大，最大值为192．
【分析】（1）先配方，再根据（x﹣4）2≥0求解即可；
（2）分别表示出S1，S2，计算，根据（a﹣1）2≥0可得a＝1时，S2＝S1，a≠1时，S2＞S1；
（3）设BC长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米，则CD＝48﹣3x，求出S＝﹣3x2+48x，然后利用配方法求出最大值即可．
【详解】（1）x2﹣8x+11＝x2﹣8x+16﹣5＝（x﹣4）2﹣5，
∵（x﹣4）2≥0，
∴（x﹣4）2﹣5≥﹣5，
∴当（x﹣4）2＝0，即x＝4时，代数式x2﹣8x+11有最小值，最小值为﹣5；
（2）由题意得：S1＝7（2a+5）＝14a+35，，
∴，
∵（a﹣1）2≥0，
∴当a＝1时，（a﹣1）2＝0，即S2﹣S1＝0，
∴S2＝S1；
当a≠1时，（a﹣1）2＞0，即S2﹣S1＞0，
∴S2＞S1；
综上所述，当a＝1时，S2＝S1；当a≠1时，S2＞S1；
（3）设BC长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米，则CD＝46﹣3x+2＝48﹣3x，
∴S＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x
＝﹣3（x2﹣16x）
＝﹣3（x2﹣16x+64﹣64）
＝﹣3（x﹣8）2+192，
∵（x﹣8）2≥0，
∴﹣3（x﹣8）2≤0，
∴﹣3（x﹣8）2+192≤192，
∴当（x﹣8）2＝0，即x＝8时，S有最大值，最大值为192．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是关键．
