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【专题培优】一元二次方程与新定义问题
一．选择题（共10小题）
1．定义一种新运算：a b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）※2＝（3 x）﹣2的解是（ ）
A．x1，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2
C．x1，x2＝2 D．x1＝1，x2
【答案】A
【分析】根据新定义把原方程变形，化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：原方程变形为：2（x+1）2＝2×3+x﹣2，
整理得：2x2+3x﹣2＝0，
因式分解，得（2x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x1，x2＝﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
2．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝12x的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4
C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
【答案】C
【分析】根据新定义得到3x2＝12x，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：根据题意，由y'＝12x得3x2＝12x，
整理得3x2﹣12x＝0，
3x（x﹣4）＝0，
3x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了阅读理解能力．
3．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若关于x的方程x*（kx+2）＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k B．k
C．k，且k≠0 D．k，且k≠0
【答案】D
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵x*（kx+2）＝0，
∴x（kx+2）+3＝0，
整理可得kx2+2x+3＝0，
又∵关于x的方程x*（kx+2）＝0有两个实数根，
∴，
解得：k且k≠0，
故选：D．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，理解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可．
【详解】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3﹣2x2+2x+1
＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1
＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1
＝x2+x﹣1
＝（x+1）+x﹣1
＝2x，
∵x2﹣x﹣1＝0的根为x或x，
∵x＞0，
∴x，
∴x3﹣2x2+2x+1＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键．
5．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程（﹣1）☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：由题意可知：（﹣1）☆x＝﹣x2+x﹣1＝0，
∴Δ＝1﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝﹣3＜0，
∴没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，难度不大，属于基础题型．
6．对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝a2﹣2ab，例如：3 2＝32﹣2×3×2＝﹣3，则关于x的方程x （k+1）＝﹣2k的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据已知条件中的新定义，把关于x的方程x （k+1）＝﹣2k写成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况即可．
【详解】解：∵a b＝a2﹣2ab，
∴x （k+1）＝﹣2k，
x2﹣2x（k+1）＝﹣2k，
x2﹣（2k+2）x+2k＝0，
Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×2k
＝（2k+2）2﹣8k
＝4k2+8k+4﹣8k
＝4k2+4＞0，
∴关于x的方程x （k+1）＝﹣2k有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程中的新定义，解题关键是理解新定义的含义，能够利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
7．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0．且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据题意易得：关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两个实数根为x＝1或x＝﹣1，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法可得（x+2）（x﹣n）＝0的根为x＝﹣2或 x＝n，再根据互为“同伴方程”的定义可得n＝1或n＝﹣1，即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两个实数根为x＝1或x＝﹣1，
∵（x+2）（x﹣n）＝0，
∴x+2＝0或x﹣n＝0，
∴（x+2）（x﹣n）＝0的根为x＝﹣2或 x＝n，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，
∴n＝1或n＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的解，理解互为“同伴方程”的定义是解题的关键．
8．对于任意实数a，b，规定a*b＝a+b+ab，已知m*（m+1）＝﹣1，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．1或2 D．﹣1或﹣2
【答案】D
【分析】利用新运算的规定得到关于m的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：∵m*（m+1）＝﹣1，
∴m+（m+1）+m（m+1）＝﹣1，
整理得：m2+3m+2＝0，
∴（m+1）（m+2）＝0，
∴m+1＝0或m+2＝0，
∴m＝﹣1或m＝﹣2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
9．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2018能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3
∴，解得，
∴ax2+bx+2018＝5x2﹣10x+2018＝5（x﹣1）2+2013，即代数式ax2+bx+2018能取的最小值是2013，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
10．定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【分析】由于2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“则先将（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0变形为（a+2）（x2﹣2x+1）+2（a+2）x﹣（a+2）+（b﹣4）x+8＝0即（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0，由于2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“则2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0是“同族二次方程”，所以2a+b＝0，6﹣a＝1，可得a＝5，b＝﹣10，然后代入﹣ax2+bx+2019即可解决．
【详解】解：由（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0，
∴（a+2）（x2﹣2x+1）+2（a+2）x﹣（a+2）+（b﹣4）x+8＝0，
即（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0，
∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“，
∴2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0是“同族二次方程”，
∴2a+b＝0，6﹣a＝1，
解得：a＝5，b＝﹣10，
则﹣ax2+bx+2019
＝﹣5x2﹣10x+2019
＝﹣5（x2﹣2x+1）+5+2019
＝﹣5（x﹣1）2+2024≤2024，
当x＝1时，﹣ax2+bx+2019取最大值2024，
故选：A．
【点睛】本题考查新定义下的一元二次方程、配方法的应用，关键是将（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0变形使其与它的同族方程具有相同的结构特征是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m＝ 7或﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据公式a2+2b﹣3，可将（m，﹣3m）代入得出m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，
解得m1＝7，m2＝﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
12．对于实数m，n，定义新运算m*n为：m*n＝（m+n）（m+2n）+1．如果关于x的方程x*a＝x有两个相等的实数根，则a＝ 3±2 ．
【答案】3．
【分析】利用新运算的规定将原方程变形，再利用Δ＝0列出关于a的方程解答即可．
【详解】解：∵x*a＝x，
∴（x+a）（x+2a）+1＝x，
即：x2+（3a﹣1）x+2a2+1＝0．
∵关于x的方程x*a＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝（3a﹣1）2﹣4（2a2+1）＝0，
解得：a＝3．
故答案为：3±2．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，本题是新定义型，理解新定义的规定并正确应用是解题的关键．
13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2024，则关于x的方程a（x﹣1）2+bx＝b的两个根分别为 1或2025 ．
【答案】1或2025．
【分析】将a（x﹣1）2+bx＝b变形得a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝0，因为一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2024，可得x﹣1＝0或x﹣1＝2024，解得x的值．
【详解】解：a（x﹣1）2+bx＝b，
a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝0，
∵一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2024，
∴x﹣1＝0或x﹣1＝2024，
解得：x＝1或x＝2025，
故答案为：1或2025．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，关键是掌握解一元二次方程．
14．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．则p，q需满足pq＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】先设关于x的方程px2+3x+q＝0的两个根分别为x1，x2，且x2 为较小的根，根据根与系数的关系，求出两根和与两根积，从而求出pq的值即可．
【详解】解：设关于x的方程px2+3x+q＝0的两个根分别为x1，x2，且x2 为较小的根，
∵关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程是倍根方程，x1＝2x2，
∴，
∵x1＝2x2，
∴，
∴，
∴，
pq＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义．
15．定义新运算“※”：对于实数m，n，P，q，有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0，有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【答案】．
【分析】利用新运算的规定将关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]转化成一般形式，再令Δ＝0，得到关于k的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]就是：
k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
即：kx2+（5﹣2k）x+k＝0．
∵关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0，有两个相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4×k2＝0．
解得：k．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，一元二次方程的根的判别式，本题是新定义型，正确理解新运算并熟练应用是解题的关键．
16．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为 x1＝﹣1，x2＝﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用题中的新定义求出m的值，代入一元二次方程，运用因式分解法解方程，即可求出解．
【详解】解：由“关联数”定义得一次函数为y＝x+m﹣2，
又∵此一次函数为正比例函数，∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴关于x的方程为x2+3x+2＝0，
因式分解得：（x+1）（x+2）＝0，
∴x+1＝0或x+2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
【点睛】此题考查了新定义“关联数”、一元二次方程的解法以及一次函数的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．在实数范围内定义运算“▲”，其法则为：a▲b＝a2﹣b2．根据此定义的法则解方程：（4▲3）▲x＝24．
【答案】x1＝5，x2＝﹣5．
【分析】根据新定义得到一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得（42﹣32）▲x＝24，
∴7▲x＝24，
∴72﹣x2＝24，
∴x2＝25，
∴x＝±5，
∴x1＝5，x2＝﹣5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，新定义问题，掌握这个新定义等于第一个数的平方减去第二个数的平方是解题的关键．
18．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，求m的值．
【答案】（1）是，详见解答；
（2）﹣7．
【分析】根据题意先理解“凤凰方程”．
（1）根据凤凰方程的意义，把x＝﹣1代入方程判断即可；
（2）根据凤凰方程的意义，把x＝﹣1代入方程求出m即可．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当x＝﹣1时，得a﹣b+c＝0，
∴当一元二次方程的解为﹣1时，该方程为“凤凰方程”．
（1）一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是凤凰方程．
理由：当x＝﹣1时，一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0满足3+4﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是凤凰方程．
（2）∵2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，
∴2+m+5＝0．
∴m＝﹣7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，理解题意，掌握凤凰方程的意义是解决本题的关键．
19．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．
（1）判断下列方程x2﹣7x+12＝0是否为“差1方程”？
（2）已知关于x的方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝12a﹣b2，求t的最大值．
【答案】（1）是，理由见解析过程；
（2）﹣1或﹣3；
（3）a＝4 时，t的最大值为16．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；
（2）先将m看成常数，解方程，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝12a﹣b2，得t与a的关系，从而得出最后结果．
【详解】解：（1）x2﹣7x+12＝0，
解得 x1＝3，x2＝4，
∵4﹣3＝1，
∴x2﹣7x+12＝0 是“差1方程；
（2）x2+（2﹣m）x﹣2m＝0，
（x﹣m）（x+2）＝0，
x1＝m，x2＝﹣2，
∵方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，
∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1，
∴m＝﹣1或m＝﹣3；
（3）由题可得：Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a＞0
∴解方程得 x，
∵关于x的方程 ax2+bx+1＝0 （a、b是常数，a＞0）是“差1方程”，
∴1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝12a﹣（a2+4a）＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∴a＝4时，t的最大值为16．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0根的情况，并说明理由．
（2）若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值．
【答案】（1）a≠2时，该方程有两个不相等的实数根；a＝2时，该方程有两个相等的实数根；
（2）a的值为3．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）用a表示出（1）中方程的两个实数根，再根据“倍根方程”的定义求出a的值即可．
【详解】解：（1）a≠2时，该方程有两个不相等的实数根；
a＝2时，该方程有两个相等的实数根．
因为Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝（a﹣2）2，
则当a≠2时，
Δ＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
当a＝2时，
Δ＝0，
所以该方程有两个相等的实数根．
（2）由方程x2﹣ax+a﹣1＝0得，
（x﹣1）（x﹣a+1）＝0，
解得x1＝1，x2＝a﹣1．
因为该方程是“倍根方程”，
则当1＝2（a﹣1）时，
解得a，
则a﹣1，
因为方程的根为整数，
故舍去．
当a﹣1＝2×1时，
解得a＝3．
则a﹣1＝2为整数，符合题意．
所以a的值为3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的步骤是解题的关键．
21．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）9．
【分析】（1）先把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0，判断是否是方程3x2﹣5x+2＝0的根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可；
（2）根据定义，把x＝1代入5x2﹣bx+c＝0，从而得出b＝5+c，然后等式两边同时平方，把b的平方用含有c的式子表示出来，求出其最小值即可．
【详解】解：（1）该方程是“方正方程”，理由如下：
把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0得，
左边＝3×12﹣5×1+2＝3×1﹣5+2＝0，右边＝0，
∵左边＝右边，
∴x＝1是3x2﹣5x+2＝0的根，
∴方程3x2﹣5x+2＝0是“方正方程”；
（2）由题意得：5﹣b+c＝0，b＝5+c，
b2﹣2c＝（5+c）2﹣2c，
＝c2+8c+25
＝（c+4）2+9
∵（c+4）2≥0，
∴（c+4）2+9≥9
∴b2﹣2c的最小值为9．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义并解决问题．
22．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）﹣1或．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，代入a﹣b+c判断是否为0即可；
（2）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，求出m，n的关系式，然后把n化成m，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可．
【详解】解：（1）方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”，理由如下：
∵a＝4，b＝11，c＝7，
∴a﹣b+c
＝4﹣11+7
＝0，
∴一元二次方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”；
（2）∵3x2﹣mx+n＝0 是关于x的“黄金方程”，
∵a＝3，b＝﹣m，c＝n，
∴a﹣b+c＝0，
3﹣（﹣m）+n＝0，
∴n＝﹣3﹣m，
∴原方程可化为 3x2﹣mx﹣3﹣m＝0，
∵m是此方程的一个根，
∴3m2﹣m2﹣3﹣m＝0，即 2m2﹣m﹣3＝0，
解得m＝﹣1或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，解题关键是理解已知条件中的新定义．
23．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．
（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 4 ．
（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根恰好等于n，求n的值．
【答案】（1）4；
（2）n＝0或n＝5．
【分析】（1）利用方程的中点值求解，即可解答；
（2）先根据方程的中点值的定义可得3，从而可得：m＝6，进而可得x2﹣6x+n＝0，然后把x＝n代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，从而进行计算即可解答．
【详解】解：（1）∵（）2﹣3＝42﹣3＝16﹣3＝13＞0，
∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值是4，
故答案为：4；
（2）由题意得：3，
解得：m＝6，
∴方程可化为：x2﹣6x+n＝0，
把x＝n代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，
即n2﹣5n＝0，
n（n﹣5）＝0，
解得：n＝0或n＝5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的解，理解定义的新运算是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题培优】一元二次方程与新定义问题
一．选择题（共10小题）
1．定义一种新运算：a b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）※2＝（3 x）﹣2的解是（ ）
A．x1，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2
C．x1，x2＝2 D．x1＝1，x2
2．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝12x的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4
C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
3．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若关于x的方程x*（kx+2）＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k B．k
C．k，且k≠0 D．k，且k≠0
4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（ ）
A． B． C． D．
5．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程（﹣1）☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
6．对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝a2﹣2ab，例如：3 2＝32﹣2×3×2＝﹣3，则关于x的方程x （k+1）＝﹣2k的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0．且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2
8．对于任意实数a，b，规定a*b＝a+b+ab，已知m*（m+1）＝﹣1，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．1或2 D．﹣1或﹣2
9．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2018能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
10．定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
二．填空题（共6小题）
11．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m＝ ．
12．对于实数m，n，定义新运算m*n为：m*n＝（m+n）（m+2n）+1．如果关于x的方程x*a＝x有两个相等的实数根，则a＝ ．
13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2024，则关于x的方程a（x﹣1）2+bx＝b的两个根分别为 ．
14．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．则p，q需满足pq＝ ．
15．定义新运算“※”：对于实数m，n，P，q，有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0，有两个相等的实数根，则k的值是 ．
16．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为 ．
三．解答题（共7小题）
17．在实数范围内定义运算“▲”，其法则为：a▲b＝a2﹣b2．根据此定义的法则解方程：（4▲3）▲x＝24．
18．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，求m的值．
19．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．
（1）判断下列方程x2﹣7x+12＝0是否为“差1方程”？
（2）已知关于x的方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝12a﹣b2，求t的最大值．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0根的情况，并说明理由．
（2）若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值．
21．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
22．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
23．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．
（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 ．
（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根恰好等于n，求n的值．
