2023—2024学年度第二学期高二年级期末调研测试
数学试题 2024.06
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，只要将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．集合 A (x, y, z) x 0,1 , y, z 2,3,4 中元素的个数为
A. 18 B. 12 C. 8 D. 5
2．下列求导运算正确的是
(ln 2) ' 1
3
A. B. (e ) ' 3e
2
C. (a x ) ' x a x 1 D. (cos x) ' sin x
3．已知空间向量 a (2,1,0),b ( 1,t,3),c (0,0,1)，若向量 a,b,c共面,则实数 t为
1 3
A. 1 B. C. 3 D.
2 4
8
4．已知随机变量 X ~ B(4, p) ,若 P(X 2) ,则 p
27
1 1 3 1 1 2
A. B. 或 C. D. 或
4 4 4 3 3 3
5． 正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为 AB中点，则直线 A1E，C1D所成角的余弦值为
A. 15
1
B. 10 C. D. 3
15 10 2 3
6 k．随机变量 X 的概率分布为 P(X k) , (k 1,2,3,4)，则D(2X 1)
10
A.1 B.2 C.3 D.4
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7．三棱锥 P ABC 中，△PAB，△ABC均为边长为 2的等边三角形，平面 PAB 平面
ABC，则三棱锥 P ABC的外接球表面积为
5π 10π 20π 40π
A. B. C. D.
3 3 3 3
f (x) 1 x
x
8．函数 ln x 1， g(x) e x，若存在正数 x
x 1
, x2 ，使得 f (x1) g(x2 ) ，则 x 的2
最小值为
1
A. B. e C.1 D. ee 1e
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．为了探讨学生的物理成绩 y与数学成绩 x之间的关系，从某批学生中随机抽取 10名学
生的成绩 (xi , yi )(i 1,2, ,10)，并已计算出 x 80，物理成绩 y关于数学成绩 x的线性
回归方程为 y 0.8x 12.5， 下列说法正确的有
A． y 76.5
B．相关系数 r 0
C． 样本数据 (70,65)的残差为 3.5
D．当某学生数学成绩为 100时，物理成绩一定为 92.5
n
10 ．已知 3 x
2
的展开式第 6项和第 8项的二项式系数相等，下列说法正确的有
x
A. n 12 B. 第 3项的系数为 66
C.展开式中有理项共有 3项 D.奇数项系数和为 312 1
11．已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 I ，若存在函数 p(x) kx b(k,b R)，使得函数
F(x) f (x) p(x),G(x) p(x) g(x) 在 I 上有 F '(x) 0,G '(x) 0,F(x) 0,G(x) 0恒
成立，则称 f (x), g(x)为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”
函数的有
x2A. 1f (x) x3 , g(x) x, I (1, ) B. f (x) x ,g(x) e
x , I (e, )
e
C. f (x) sin x, g(x) cos x, I (π, ) f (x)
x ln x 1, g(x) x 1D. , I (1, )
ln x x
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．随机变量 ~ N 0，1 ， x P ≤x ，若 1.53 0.063，则 P 1.53 ____．
13．已知 f (x) x e x 1，过点 (2,m)作 f (x)的切线，若切线斜率为1，则m _________．
14．已知甲、乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有 1只白球和 3只红
球，乙袋中有 2只白球和 3只红球，先从甲袋中取 2只球放入乙袋，再从乙袋中取 2
只球，则从乙取出的 2只球都是红球的概率为_________．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
已知 f (x) ax2 ln x， a为常数.
1 1
（1）若 a ，求 f (x)在 [ ,2]上的单调区间；
2 2
（2）若 a≤0， y f (x)在[
1 ,e]上的最小值为 2，求 a的值．
e
▲ ▲ ▲
16．（15分）
我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年 6月 3日，嫦娥六号完成了人类首次月球
背面智能采样工作，并于 6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月
球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比
较关注”），某校随机抽取男生和女生各 50名进行调查，数据表明：男生中有 90%的同
学“十分关注”，女生中有 60%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.
（1）根据条件，列出 2 2列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为对探月工程的关
注程度与性别有关；
（2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取 10人组成科技兴趣小
组，再在这 10人中随机抽取 3人进行重点培训，求这 3人中至少有 2名男生的概率.
2 n ad bc
2
附： ,其中 n a b c d .
a b c d a c b d
P( 2 ≥x0 ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
▲ ▲ ▲
17．(15分)
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA 平面 ABCD， PB 5 ，
PC 6 ， PD 2 . P
（1）证明：平面 PAB 平面 PBC；
（2）求二面角 B PC D的余弦值；
（3）求点C到平面 PBD的距离. D C
A B
▲ ▲ ▲
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18．（17分）
一只不透明的口袋中放有形状、大小完全相同的 4个黑球和 2个白球，若每次摸一
个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得 1分，摸到白球得 1分，用随机变量
表示 k 次摸球后得 1分的总次数，用随机变量 X 表示 k 次摸球后总得分.
（1）若摸球100次.
①求 的数学期望； ②求 X 的数学期望；
（2）当摸球次数 k 为何值时， X 4的概率取得最大值.
▲ ▲ ▲
19．（17分）
已知函数 f (x) 1 x ln .
x
（1）若 F(x) mx f (x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若G(x) (x a) f (x) .
①是否存在实数 a使得G(x)的图象为轴对称图形，若存在，求 a的值，若不存在，
说明理由；
H (x) G(1②函数 )在 (2, )上有且仅有一个极值点，求正实数 a的取值范围.
x
▲ ▲ ▲
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{#{QQABKYoAogioAJJAAAhCEQGaCEGQkACACQgGRBAMIAAAwQFABAA=}#}淮安市 2023~2024 学年度第二学期期末调研测试
高二数学参考答案
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.C 8.B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.ABC 10.AC 11.BD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
8
12. 0.874 13. 3 14.
21
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1 2 1
15．（1） f (x) = x ln x，定义域为 (0,+ )， f '(x) = x ，令 f '(x) 0有 x 1．
2 x
1
f (x)在 [ ,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增． ·············································· 6 分
2
1 1
（2） f '(x) = 2ax ， a≤ 0时， x 0， f '(x) 0． f (x) 在[ ,e]上单调递减．
x e
f (x)min = f (e) = ae
2 1= 2 .··································································· 11 分
1
解得 a = 02 ，符合题意. e
1
a = ． ······················································································· 13 分
e2
16．（1）由题意可得 2 2列联表：
男 女 合计
十分关注 45 5 50
比较关注 30 20 50
合计 75 25 100
2 (45 20 30 5)
2
= =12 10.828． ························································ 5 分
50 50 75 25
有99.9% 的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关． ··························· 6 分
（2）由题意，10 人中男生 6 人，女生 4 人．·············································· 9 分
记“3 人中至少有 2 名男生”为事件 A，则
C2 1 3
P(A) = 6
C4 C6 2+ =
3 3 ．····································································· 15 分 C10 C10 3
17．（1） PA⊥平面 ABCD , BC 平面 ABCD， PA⊥ BC . 底面 ABCD为矩形,
BC ⊥ AB ,又 AB PA= A, AB 平面 PAB ， PA 平面 PAB ， BC ⊥平面 PAB . ·· 3 分
BC 平面 PBC ， 平面 PAB⊥平面 PBC . ···················································· 4 分
（2）设 AB = a, AD = b, AP = c，由题意有
{#{QQABKYoAogioAJJAAAhCEQGaCEGQkACACQgGRBAMIAAAwQFABAA=}#}
a2 + b2 = 5
2
b + c
2 = 2 ，解得 a = 2,b =1,c =1. ······················································ 6 分
a2 + b
2 + c2 = 6
以{AB, AD, AP}为基底建立如图所示的空间直角坐 z
P
标系.则有 B(2,0,0),C(2,1,0), D(0,1,0), P(0,0,1) .则
PB = (2,0, 1), PC = (2,1, 1) . y
D C
n PB = 0
设平面 PBC 的一个法向量 n = (x, y, z) ，
n PC = 0
2x z = 0 A B
x
2x + y z = 0
令 x =1，有 n = (1,0,2) . ··········································································· 8 分
取 PD中点M ，则有 AM ⊥ PD .又CD ⊥平面 PAD ， AM 平面 PAD ，有
AM ⊥CD .又 PD CD = D， PD 平面 PCD，CD 平面 PCD， AM ⊥平面
1 1
PCD， 平面 PCD的法向量u = (0, , )，设二面角 B PC D为 ，易知 为钝
2 2
n u 1 10
cos = = =
角，则有 | n | | u | 2 5 . ··········································· 10 分
5
2
3 2
（3） PB = BD = 5,PD = 2 ，易得 PBD的 PD边上的高为 . ··············· 11 分
2
设点C 到平面 PBD 距离为 d ， VP BCD =VC PBD , S PBD d = S BCD PA ，则有
1 3 2 1 2
2 d = 2 1，解得 d = .························································ 15 分
2 2 2 3
n m m P(AB) mn
18． （1） P(A) = , P(B) = , P(B | A) = = ， P(AB) = 2 ，m+ n m+ n m+ n P(A) (m+ n)
P(AB) = P(A) P(B) ， 事件 A与事件 B 相互独立. ·········································· 5 分
（2）①得 1 分（摸到黑球）的总次数为 ，则得 1分（摸到白球）的次数为100 .
2 2 200
易得 ~ B(100, )， E( ) =100 = . ·························································· 8 分
3 3 3
100
X =1 Y + ( 1) (100 Y ) = 2Y =100 , E(X ) = 2E(Y) 100 = . ······················· 10 分
3
②设摸球 k 次时 X = 4，则 k 为偶数，且摸到黑球的次数比白球多 4 次.
* 2 1
令 k = 2n,n N ,P(X = 4) =C
n+2 ( )n+2 ( )n 22n . ················································· 12 分
3 3
k k k
+2 2 +2 1 2
令 f (k) =C 2 2 2 k ( ) ( ) ，则有
3 3
{#{QQABKYoAogioAJJAAAhCEQGaCEGQkACACQgGRBAMIAAAwQFABAA=}#}
(k + 2)!
k k k
+3 2 +3 1 1 k k
C 2k+2 ( )
2 ( )2 ( + 3)!( 1)!
f (k + 2) 2 1
= 3 3 = 2 2
f (k) k k k+2 2 +2 1 2 k! 3 3
C 2 ( )2 ( )2k
3 3 k k( + 2)!( 2)!
2 2
2 (k +1)(k + 2)
=
9 k k
( 1)( + 3)
2 2
8(k +1)(k + 2)
= 1 ······································································· 15 分
9(k 2)(k + 6)
化简得 k 2 +12k 124 0， k 6时， f (k + 2) f (k)， k 8 时 f (k + 2) f (k) .
k = 8时 P(X = 4)有最大值. ········································································ 17 分
1 1 1
19．（1） F '(x) =m + ，由题意知 F '(x) 0 对 x (0,1) 恒成立，即m .
x 1 x x2 x
1 1 1
令 g(x) = ， g(x)在 (0, )2 上单调递增，在 ( ,1) 上单调递减. x x 2 2
1
则有 g(x)max = g( ) = 4， m 4 . ······························································· 4 分
2
1 1
（2）①G(x)定义域为 (0,1)，猜测G(x)对称轴为 x = ，此时 a = ，下证结论成立.
2 2
1 1
x + x
1 1
G( + x) = x ln 2 = x ln 2 =G( x) . ··················································· 7 分
2 1 1 2+ x x
2 2
1 1
存在 a = ，使得G(x)关于 x = 对称. ·························································· 8 分
2 2
1
② H(x) = ( a)ln(x 1)， H (x) 定义域为 (2,+ )
x
1 1 1 1 ax2 x
H '(x) = ln(x 1) + ( a) = [ln(x 1) + ]
x2 x x 1 x2 x 1
2
ax2 x ax (2a 1)x x(ax +1 2a)
令m(x) = ln(x 1) + ，m '(x) = =2 2 . ······················ 10 分
x 1 (x 1) (x 1)
当 a 0时， ax +1 2a 0,m '(x) 0，m(x)在 (2,+ )上单调递增，m(2) = 2(2a 1) .
1 1
若 a ，则有m(x) 0，此时 H '(x) = m(x) 0， H (x) 在 (2,+ )2 上单调递减，无极2 x
值. ········································································································· 12 分
1
若 0 a ，m(2) = 2(2a 1) 0 ，当 x 2时
2
x ax2 x 1
m(x) = ln(x 1) + ln(x 1) = ln(x 1) 1，
x 1 x 1 x 1 x 1
m(e2 +1) lne2
1 1
1 =1 0 . ································································ 15 分
e2 e2
{#{QQABKYoAogioAJJAAAhCEQGaCEGQkACACQgGRBAMIAAAwQFABAA=}#}
又m(x)在 (2,+ )上单调递增， x 20 (2,e +1)，使得m(x0 ) = 0 .
且有 x (2, x ) 时m(x) 00 ， x (x0 ,e
2 +1) 时m(x) 0， x = x 为 H (x)0 的唯一极值点.
1
综上，0 a . ······················································································· 17 分
2
{#{QQABKYoAogioAJJAAAhCEQGaCEGQkACACQgGRBAMIAAAwQFABAA=}#}
