襄阳市第五中学2023-2024学年高二下学期6月月考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知离散型随机变量的分布列如下表：
A. B. C. D.
2. 若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. B. C. D.
3. 某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从个语言类节目和个歌唱类节目中各选个节目进行展演，则语言类节目和歌唱类节目至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A.15 B. 45 C.60 D.75
4. 随机变量X服从正态分布X~N(1, ).若P(1 X<3)=0.2,则=（ ）
A. B. C. D.
5. 中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为
若，，则b的值可以是( )
A.2019 B.2020 C. 2021 D.2022
6. 已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)=0.5，P(B)=0.4，则下列说法正确的是( )
7. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A. 0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.3
8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则( )
10. 下列命题中，正确的是 ( )
A. 随机变量服从二项分布，若，，则
B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
C. 从个红球个白球中，一次摸出个球，则摸出红球的个数服从超几何分布，
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当且仅当时概率最大
11. 函数，下列结论正确的是( )
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为__________．
13. 研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数服从正态分布， 且，从中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量， 假设服从二项分布，则的方差为__________．
14. 若,则 的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；
当时，求函数在区间上的最值．
16. 一组学生共有人．
如果从中选出人参加一项活动，共有多少种选法？
如果从中选出男生人，女生人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有种，问该组学生中男、女生各有多少人？
17. 一箱瓶的饮料中有瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取瓶，
小明的这瓶饮料中有中奖券的概率
若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望．
18. “双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展，制定科学方案，工作人员对年前名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示．
消费金额千元
人数
(1) 该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用按比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间和内的学员中抽取了人，再从这人中选取人进行有奖问卷调查，求抽取的人中消费金额为的人数的分布列和均值；
(2) 将频率视为概率，假设该大型校外培训机构年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为前名报名学员消费金额的平均数 以及方差同一区间的数据用该组区间的中点值替代．
试估计该机构学员年消费金额在区间内的概率保留一位小数；
若从该机构年所有学员中随机抽取人，记消费金额在区间内的人数为，求的方差．
参考数据：；若随机变量，则，，．
19. 已知函数．
当时，讨论的单调性；
若是的极小值点，求实数的取值范围．参考答案
1-8 CBCBA DAD
9-11 ABD BCD ABD
12. 13. 2.4 14. 或 1.6
15. 解：（1）∵ f( x)= ， ， ，则 ，
又 ，所以 ．
（2）当 a=1 时， ， ， 解得： （舍去）或 x=2，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又 ， ，
∴函数 f(x)的最小值为 f（2） ， 最大值 f（ ）= +8.
16. 解：（1）由题从 7 名学生中选出 3 人的组合数，所以选法种数为 （种），
故共有 35 种选法.
（2）设男生有 x 人，女生则有（7-x）人， 从这 7 人中选出 2 名男生 2 名女生的方法有
种， 要求每人参加一项且每项活动都有人参加有 种，
据分步乘法计数原理得 ，
则 x(x-1)(7-x)(6-x)＝72，（x∈N*且 2≤x≤5），
解得 x＝3，或 x＝4，
故该组学生中男生 3 人，女生 4 人，或男生 4 人，女生 3 人．
17. 解：（1） 记小明的这 2 瓶饮料中有中奖券为事件 A,
则 P(A)= = ,
{#{QQABQYAEggCIAIBAAAhCAQVICEGQkAGACYgGxAAIMAAAwANABAA=}#}
所以小明的这 2 瓶饮料中有中奖券的概率为
（2）记小明最终获得饮料瓶数为 X，则 X 的可能取值为 2,3,4,5;
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = ,
P(X=4)= + = ,
P(X=5)= + = ,
X 的分布列为
X 2 3 4 5
p
X 的数学期望 EX=2 +3 +4 +5 =
18. 解:(1)由题意得,抽中的 5 人中消费金额为[9,11)的人数为 5=2,
消费金额为[11,13)的人数为 5=3,
设抽取的 3 人中消费金额为[11,13)的人数为 X,则 X=1,2,3,
所以 P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,
X 的分布列为
X 1 2 3
P
则 E(X)=1 +2 +3 = ;
(2)解:①由题意得 = =4 0.15+6 0.25+8 0.3+10 0.1+12 0.15+14
0.05=8, = 0.15+ 0.25+ 0.1+ 0.15+
0.05=8,
{#{QQABQYAEggCIAIBAAAhCAQVICEGQkAGACYgGxAAIMAAAwANABAA=}#}
所以 = =2 2.8,
则该机构学员 2022 年消费金额ξ服从正态分布，即ξ~ ,
所以 P(5.2 ξ<13.6)=P(8-2.8 ξ<8+2 2.8) 0.8；
②由题意及①得 ~B(4, ),n=4,p= ,
所以 D( )=np(1-p)=4 = .
19.
解：(Ⅰ)当 m=2 时,f(x)=(3-x) - -2,
则 f'(x)=(3-x-1) - =(2-x- ) ,
易知函数 h(x)=2-x- 在 R 上单调递减,又 h(0)=0,
所以当 x<0 时,h(x)>0,即 f'(x)>0,当 x>0 时,h(x)<0,即 f'(x)<0,
所以 f(x)在(- ,0)上单调递增,在(0,+ )上单调递减.
(Ⅱ)由题意知 f'(x)=(m+1-x-1) - =(m-x- ) ,且 f'(0)=0.
令函数 g(x)=m-x- ,则 g'(x)=-1- .
若 m 0,则 g'(x)<0,g(x)在 R 上单调递减.
又 g(0)=0,则当 x<0 时,g(x)>0,所以 f'(x)>0,f(x)在(- ,0)上单调递增,
当 x>0 时,g(x)<0,所以 f'(x)<0,f(x)在(0,+ )上单调递减.
所以 f(x)在 x=0 处取得极大值,不合题意.
若-10,令 g'(x)<0,得 x< (- ),故 g(x)在(- , (- ))上单调递减.
又(- ,0) (- , (- )),g(0)=0,
所以当 x<0 时,g(x)>0,从而 f'(x)>0,f(x)在(- ,0)上单调递增;
当 0{#{QQABQYAEggCIAIBAAAhCAQVICEGQkAGACYgGxAAIMAAAwANABAA=}#}
所以 f(x)在 x=0 处取得极大值,不合题意.
若 m=-1,则 (- )=0,令 g'(x)>0,解得 x>0,令 g'(x)<0,解得 x<0,
所以 g(x)在(- ,0)上单调递减,在(0,+ )上单调递增,
所以 g(x)在 x=0 处取得极小值,也是最小值,所以 g(x) g(0)=0,从而 f'(x) 0,
所以 f(x)在(- , + ) 上单调递增, 不合题意.
若 m<-1,则 (- )<0,
令 g'(x)>0,解得 x> (- ),故 g(x)在( (- ),+ )上单调递增.
又(0,+ ) ( (- ),+ ),g(0)=0,
故当 (- )当 x>0 时,g(x)>0,从而 f'(x)>0,f(x)在(0,+ )上单调递增.
所以 f(x)在 x=0 处取得极小值,符合题意.
综上,m 的取值范围是(- ,-1).
{#{QQABQYAEggCIAIBAAAhCAQVICEGQkAGACYgGxAAIMAAAwANABAA=}#}
