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第22章 相似形 单元检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（ ）
A． B．1 C． D．35
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“若，则”，即得答案．
【详解】，
．
故选D．
2．（2024·辽宁阜新·三模）如图，中，，，，，则的长度为（ ）
A．2 B．6 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
运用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：，
,
又，，，
，
，
∴，
故选：B．
3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
正确的个数3个，
故选：C．
4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵和分别是和的高，若，
∴其相似比为，
∴与的面积的比为．
故选：A．
5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．
【详解】解：∵，，
∴．故A正确；
∵，，
∴．故B正确；
∵，，
∴．故D正确；
没有条件可证，故C错误．
故选：C
6．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3
【答案】B
【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为2，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据位似变换的概念得到，进而证明，根据相似的性质即可得到答案．
【详解】解：由于与是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
的面积和的面积比为，
的面积为2，
的面积为8．
故选D．
8．（2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例．
【详解】解：设像到小孔O的距离为
由题意得,
∴，,
∴
∴，
解得,
故选C．
9．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
10．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）
天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题
【答案】B
【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意，
故选：B．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（22-23六年级下·黑龙江绥化·期中）甲乙两地图上距离是3cm，实际距离是60km，这幅地图的比例尺是
【答案】1:2000000
【分析】根据比例尺=地图上的距离：实际距离进行计算即可．
【详解】解：
∴地图的比例尺为：3：=1:2000000．
故答案为：1:2000000．
【点睛】本题考查地图的比例尺问题：地图的比例尺=地图上的距离：实际距离，注意图上距离与实际距离的单位应相同．
12．（2023·宁夏银川·二模）如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，已知，根据相似三角形的判定定理即可求得答案．
【详解】∵，，
∴，
故添加条件即可求得．
同理可得：或可以得出．
故答案为： 或或．
13．（2023·吉林松原·三模）如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）测量零件的内孔直径．如果，且量得cm，则为 cm．
【答案】15
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15．
14．（2023·甘肃天水·一模）兴趣小组的同学要测量树的高余度，在阳光下，一名同学测得一根长为的竹竿的影长为，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上，如图所示.已知台阶的高度为，测得树在地面的影长为，落在台阶上的影长为，则树高为 .
【答案】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：树在第一级台阶所在的平面的影子与树在第一级台阶上面的部分，以及经过树顶的太阳光线，所成三角形与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出第一级台阶以上部分的树高，再加上台阶高就是树高．
【详解】设树高为，根据同一时刻物高与影长成正比，得，解得，故树高为
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的应用.
15．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）如图，四边形的顶点为坐标原点，以为位似中心，作出四边形与四边形位似，若，的对应点为，四边形的面积为27，则四边形的面积为 ．
【答案】12
【分析】利用点A，A1的坐标可得到AO，A1O的长，可求出AO与A1O的比值，再利用位似图形面积比等于相似比的平方，就可求出四边形OA1B1C1的面积.
【详解】∵A(6，0)的对应点为A1(4，0)，
∴AO=6，A1O=4，
∴，
∵四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，
∴，即，
∴，
故答案为：12.
【点睛】本题考查位似图形的性质，解题的关键是根据坐标求出位似比.
16．（2023·广西·二模）如图，在平面直角坐标中，，，，，，的圆心在轴上，且半径均为，的坐标为，坐标为，坐标为，坐标为射线与相切于点，射线与相切于点，按照这样的规律，的横坐标为 ．
【答案】
【分析】过点An作AnB⊥x轴于点B，连接AnOn，由切线的性质及所作的垂线可得∠OAnOn＝∠AnBOn＝90°，进而可证得△OOnAn∽△AnOnB，从而表示出OnB的长，再由计算即可．
【详解】解：如图，过点An作AnB⊥x轴于点B，连接AnOn，
∵的坐标为，坐标为，坐标为，坐标为
∴On的坐标为（2n，0）即OOn＝2n，且AnOn＝1，
∵射线与相切于点，AnB⊥x轴，
∴∠OAnOn＝∠AnBOn＝90°，
又∵∠OOnAn＝∠AnOnB
∴△OOnAn∽△AnOnB
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了找规律，切线的性质及相似三角形的判定及性质的应用，能够根据规律表示出OAn的长以及运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（22-23九年级上·安徽·期中）已知：，试说明：．
【答案】见解析
【分析】根据比例的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
18．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”这一判定定理证明相似，再根据相似三角形性质证明即可．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且，若，，，求的长．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的应用是解题的关键．
20．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．
【答案】（答案不唯一），理由见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可.
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，即，
又∵，
∴．
21．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，以点O为位似中心画一个，使它和位似，且位似比为2．
【答案】作图见解析
【分析】本题主要考查了利用位似作图，可以根据位似的定义，结合图形的做法即可解答
【详解】解：连接延长到D，使，连接延长到E，使，连接延长到F，使，如图所示：
22．（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．
【答案】见解析
【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证．
【详解】如图，过点E作 交BC于点M，
∵，
∴ ，，
∴ ，
∴ ,
即 ，
∵
∴ ，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质．
23．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心；
(2)请在方格图中将补画完整．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．
（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；
（2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可．
【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；
（2）解：补全如图所示：
24．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．
（1）PQ=__________；（用含t的代数式表示）
（2）若点N落在BC边上，则此时的t的值是多少？
（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）；（2）；（3）秒或秒或秒
【详解】（1）PQ= ………………………………2分
（2）点N落在BC上时，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP，
∴∠CPN+∠CNP=90°，
∵∠QPN=90°
∴∠CPN+∠APQ=90°，
∴∠APQ=∠PNC，
∵∠AQP=∠PCN，
∴△AQP∽△PCN， ………………………………3分
∴，
∴，
∴t=； ………………………………4分
（3）分类讨论：
①当PC=PN时，6-t=t，
∴t=， ………………………………6分
②当PC=NC时，如图2，过点C作CF⊥PN于F，延长CF交AB于D，
∴PF=PN=t，
∴QD=t，
根据勾股定理得，AQ=，
∴AD=AQ+QD=t=，
∴t=， ………………………………8分
③当PN=NC时，如图3，过点N作NG⊥AC于G，
=
∴PG=PC=，
易知，△PNG∽△APQ，
∴，
∴，
∴t=， ………………………………10分
即：当△PCN是等腰三角形时，t=秒或秒或秒．
25．（2024·陕西宝鸡·三模）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度．
【答案】28米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据已知条件推出，，得到，，代入已知数据计算即可求解．
【详解】解：由题意可得，
，，
，，
，，
，，
解得．
凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米．中小学教育资源及组卷应用平台
第22章 相似形 单元检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（ ）
A． B．1 C． D．35
2．（2024·辽宁阜新·三模）如图，中，，，，，则的长度为（ ）
A．2 B．6 C．3 D．4
3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3
7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为2，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
10．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）
天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（22-23六年级下·黑龙江绥化·期中）甲乙两地图上距离是3cm，实际距离是60km，这幅地图的比例尺是
12．（2023·宁夏银川·二模）如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）．
13．（2023·吉林松原·三模）如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）测量零件的内孔直径．如果，且量得cm，则为 cm．
14．（2023·甘肃天水·一模）兴趣小组的同学要测量树的高余度，在阳光下，一名同学测得一根长为的竹竿的影长为，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上，如图所示.已知台阶的高度为，测得树在地面的影长为，落在台阶上的影长为，则树高为 .
15．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）如图，四边形的顶点为坐标原点，以为位似中心，作出四边形与四边形位似，若，的对应点为，四边形的面积为27，则四边形的面积为 ．
16．（2023·广西·二模）如图，在平面直角坐标中，，，，，，的圆心在轴上，且半径均为，的坐标为，坐标为，坐标为，坐标为射线与相切于点，射线与相切于点，按照这样的规律，的横坐标为 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（22-23九年级上·安徽·期中）已知：，试说明：．
18．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：．
19．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且，若，，，求的长．
20．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．
21．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，以点O为位似中心画一个，使它和位似，且位似比为2．
22．（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．
23．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心；
(2)请在方格图中将补画完整．
24．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．
（1）PQ=__________；（用含t的代数式表示）
（2）若点N落在BC边上，则此时的t的值是多少？
（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．
25．（2024·陕西宝鸡·三模）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度．
