10.2事件的相互独立性 课件（共26张PPT）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(共26张PPT)
第10章 概 率
10.2 事件的相互独立性
复习回顾：概率的基本性质
A发生导致B发生
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
A B
AUB或A+B
A∩B或AB
A∩B=Φ
A∩B=Φ,AUB=Ω
P(A)≤P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A)+P(B)=1
？
P(A+B)=P(A)+P(B)
相互独立事件的概念
1
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
我们发现：对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
探究11
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点.
由古典概型概率计算公式，得
A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}.
P(A)=
P(B)=
P(AB)=
满足：P(AB)=P(A)P(B)
在试验2中，样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16个等可能的样本点.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，
AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，
所以
P(A)=
P(B)=
P(AB)=
满足：P(AB)=P(A)P(B)
相互独立事件的概念
1
判断两个事件是否为相互独立事件，也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生，对另一个事件的发生是否有影响？没有影响，就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没影响，这样的两个事件称为相互独立事件.
对任意两个事件A和B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；
同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．
由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A )=P( )=P(A)P( )成立．因此，
必然事件Ω、不可能事件 与任意事件A相互独立．
探究：必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
性质：必然事件Ω、不可能事件 与任意事件A相互独立．
例1
根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
(链接教材P251例1)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
①②③
相互独立事件的性质
2
探究2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立 以有放回摸球试验为例,验证A与 , 与B, 与 是否独立,你有什么发现
我们就先以试验2来验证：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
n(B)=8，
n( )=8，
n( )=4，
n( )=4，
n( )=4，
所以P(A )=
P(A)
P( )=
P( )
P( B)=
P(B)=
易得，
n(Ω)=16，
n(A)=8，
n( )=8，
P( )
P( )=
P( )=
因此A与 ， 与B， 与 是独立的.
对于A与 ，因为A=AB∪A ，而且AB与A 互斥，所以
P(A)=P(AB∪A )=P(AB)+P(A )=P(A)P(B)+P(A )
P(A )=P(A)-P(A)P(B)=
所以
P(A)(1-P(B))=
P(A)P( )
由事件的独立性定义，A与 相互独立.
类似地，可以证明事件 与B， 与 也都相互独立.
我们再用理论来验证：
性质2.若事件A与B相互独立，则A与 , 与B, 与 也都相互独立.
相互独立事件的性质
1
对于n个事件A1,A2,…,An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，那么称事件A1,A2,…,An相互独立，并且这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积..
性质
定义的推广
例2
所以有P(AB)＝P(A)P(B)，
事件A与B相互独立但不一定互斥.
√
相互独立事件概率的应用
3
例3
根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
相互独立事件概率的应用
3
当事件A与B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，因此式子1-P(A)P(B)表示相互独立事件A，B至少有一个不发生的概率，他的计算中经常用到.
求相互独立事件的概率的关键，是将事件看成若干个事件，相互独立的情形，同时注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的应用.
训练
2个人都译出密码的概率为
(2)两个人都译不出密码的概率为
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有1个人译出密码的概率.
(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件互斥，所以恰有1个人译出密码的概率为
互斥事件与相互独立事件的区别（易混淆）
4
互斥事件与相互独立事件的区别
4
互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关系，但忽视事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否，对另一个事件发生的概率没有影响，互斥的两个事件，可以独立的两个事件，也可以用表格表示如下
互斥事件与相互独立事件的区别
4
B D
例4
课堂小结
课后练习
下课