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13.1.1 轴对称 学案
（一）学习目标：
1.初步认识轴对称图形,知道轴对称图形的含义,会判断轴对称图形，能找出对称轴。
2.通过自我实践、小组合作培养操作能力、分析推理能力和语言表达能力。
3.通过观察、讨论、创作，充分感知数学美,激发学生爱数学的情感。
（二）学习重难点：
学习重点：轴对称图形和轴对称的概念及其简单运用
学习难点：轴对称与轴对称图形之间的联系和区别
阅读课本，识记知识：
1.轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
3轴对称与轴对称图形的区别和联系
名称关系 轴对称 轴对称图形
区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形
对象不同 两个图形 一个图形
对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线
对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条
联系 (1)沿对称轴折叠，两个图形重合；(2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合；(2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称
【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中是轴对称图形，故不符合要求；
B中不是轴对称图形，故符合要求；
C中是轴对称图形，故不符合要求；
D中是轴对称图形，故不符合要求；
故选：B．
【例2】 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：B、C、D中的图形是轴对称图形，故B、C、D不符合题意；
A中的图形不是轴对称图形，故A符合题意．
故选：A．
选择题
1．下图是几种国产汽车奇瑞、比亚迪、长安、东风的车标，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
2．观察下列图形，其中不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、不是轴对称图形，符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
3．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出轴对称图形的对称轴．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
5．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义“平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
6．如图所示的图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．根据沿某条直线折叠后能互相重合的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选A．
7．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的概念“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”，由此问题可求解．
【详解】解：选项B、C、D不能找到某条直线进行折叠使得直线两旁部分能够完全重合；而选项A可以找到这样的一条直线，故该选项是轴对称图形；
故选A．
8．下列图案是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这时，我们也说这个图形关于这条直线对称）对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
9．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可，解题的关键是正确理解轴对称图形的意义．
【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
10．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.下列折纸作品中，不是轴对称图形的是（ ）
A．信封 B．飞机
C．裤子 D．衬衣
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可．
【详解】解：A，信封 是轴对称图形，不合题意；
B，飞机 是轴对称图形，不合题意；
C，裤子 是轴对称图形，不合题意；
D，衬衣 不是轴对称图形，符合题意；
故选D．
填空题
11．如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，平移的性质，根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对进行等量代换即可得到结论．
【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处，
，
向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，
，，
阴影部分的周长为，
则，
故答案为：．
12．将长方形纸片按图中方式折叠，其中为折痕，折叠后、、E在一直线上，已知度，那么 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠前后对应角相等得到，再由平角的定义推出，据此可得．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵折叠后、、E在一直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形使C点落在边上的E点处，折痕为，则的周长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】沿折叠点落在边上的点处，
的周长
故答案为5．
14．如图，在长方形中，点在边上，连接，将三角形沿折痕翻折，使点落在边上的处，如果，那么 度．
【答案】60
【分析】此题考查了折叠的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据折叠的性质得到，，然后利用平行线的性质求出，然后利用平角的概念求解即可．
【详解】∵将三角形沿折痕翻折，使点落在边上的处，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60．
15．如图，与关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度．
由已知条件，根据轴对称的性质可得，利用三角形的内角和等于可求答案．
【详解】解：与关于直线l对称，
；
．
故答案为：．
三、解答题
16．现在将长方形纸条按图①、②、③、④、⑤的顺序进行折叠（其中阴影部分表示纸条的反面）．如果长方形纸条的长为24厘米，分别回答下列问题：
(1)如果长方形纸条的宽为2厘米，开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么，在图②中，______厘米；在图③中，______厘米；在图④中，______厘米．
(2)如果长方形纸条的宽为a厘米，现在不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离．
【答案】(1)19；17；13
(2)开始折叠时点与点的距离是厘米．
【分析】本题考查的翻折变换的性质、轴对称图形的概念，正确根据题意列出代数式是解题的关键．
（1）结合图形、根据折叠的性质计算即可；
（2）根据纸条两端超出点的长度相等、轴对称图形的概念计算即可．
【详解】（1）解：图②中厘米，
图③中（厘米），
图④中（厘米），
故答案为：19；17；13；
（2）解：因为图④为轴对称图形
所以，，
即开始折叠时点与点的距离是厘米．
17．如图，将长方形纸片（）折叠，使点A与点C重合.折痕与交于点E，与交于点F，点为点D翻折后的对应点．
(1)连接，如果，求的度数；
(2)连接，如果的面积为s，且，求长方形的面积（用含s的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（1）根据翻折变换的性质，结合长方形的性质得到，即可解决问题；
（2）根据折叠可以得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于底的比得到，进而利用可解决问题．
【详解】（1）解：由折叠可得：，
又∵，
∴，
即；
（2）解：连接，
由折叠可得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
18．已知点P在内．
(1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析
(2)的最小值为5．
【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系；
（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值．
【详解】（1）解：①是等边三角形，
∵点P关于对称的点为G，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
②，
当时，，
∴G、O、H在同一直线上，．
∵，
∴；
（2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，
∴ 最小值为．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵点Q与关于对称，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的最小值为5．
【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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13.1.1 轴对称 学案
（一）学习目标：
1.初步认识轴对称图形,知道轴对称图形的含义,会判断轴对称图形，能找出对称轴。
2.通过自我实践、小组合作培养操作能力、分析推理能力和语言表达能力。
3.通过观察、讨论、创作，充分感知数学美,激发学生爱数学的情感。
（二）学习重难点：
学习重点：轴对称图形和轴对称的概念及其简单运用
学习难点：轴对称与轴对称图形之间的联系和区别
阅读课本，识记知识：
1.轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
3轴对称与轴对称图形的区别和联系
名称关系 轴对称 轴对称图形
区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形
对象不同 两个图形 一个图形
对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线
对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条
联系 (1)沿对称轴折叠，两个图形重合；(2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合；(2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称
【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中是轴对称图形，故不符合要求；
B中不是轴对称图形，故符合要求；
C中是轴对称图形，故不符合要求；
D中是轴对称图形，故不符合要求；
故选：B．
【例2】 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：B、C、D中的图形是轴对称图形，故B、C、D不符合题意；
A中的图形不是轴对称图形，故A符合题意．
故选：A．
选择题
1．下图是几种国产汽车奇瑞、比亚迪、长安、东风的车标，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．观察下列图形，其中不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示的图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列图案是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
9．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.下列折纸作品中，不是轴对称图形的是（ ）
A．信封 B．飞机
C．裤子 D．衬衣
填空题
11．如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ．
12．将长方形纸片按图中方式折叠，其中为折痕，折叠后、、E在一直线上，已知度，那么 度．
13．如图，中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形使C点落在边上的E点处，折痕为，则的周长为 ．
14．如图，在长方形中，点在边上，连接，将三角形沿折痕翻折，使点落在边上的处，如果，那么 度．
15．如图，与关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
三、解答题
16．现在将长方形纸条按图①、②、③、④、⑤的顺序进行折叠（其中阴影部分表示纸条的反面）．如果长方形纸条的长为24厘米，分别回答下列问题：
(1)如果长方形纸条的宽为2厘米，开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么，在图②中，______厘米；在图③中，______厘米；在图④中，______厘米．
(2)如果长方形纸条的宽为a厘米，现在不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离．
17．如图，将长方形纸片（）折叠，使点A与点C重合.折痕与交于点E，与交于点F，点为点D翻折后的对应点．
(1)连接，如果，求的度数；
(2)连接，如果的面积为s，且，求长方形的面积（用含s的代数式表示）．
18．已知点P在内．
(1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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