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13.1.2 线段的垂直平分线的性质 学案
（一）学习目标：
1.理解线段的垂直平分线的观点，掌握线段的垂直平分线的性质定理及其推论。
2.能够运用线段的垂直平分线的性质定理及其推论解决实际问题。
3.培养观察、分析、归纳和解决问题的能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解线段的垂直平分线的观点，掌握线段的垂直平分线的性质定理及其推论
学习难点：运用线段的垂直平分线的性质定理及其推论解决实际问题
阅读课本，识记知识：
1.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的性质
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
(2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
3.线段垂直平分线的尺规作图
已知线段AB，求作AB的垂直平分线.
作法：
分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点
作直线CD。CD就是所求作的直线。
4.利用垂直平分线解决实际问题
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用此性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题.
【例1】 四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N．
，
关于对称，关于对称，
此时的周长最小，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
．
，
故选：B．
【例2】如图，在中，，，直线垂直平分，分别交于点D，交于点E，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据，直线垂直平分，，得到，，结合，得到，结合计算即可．
【详解】解：∵，直线垂直平分，垂足为D，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
故选B．
选择题
1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求三角形周长，涉及中垂线性质和三角形周长等知识，根据中垂线性质得到，再由的周长为，即可得到答案，掌握中垂线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：是的垂直平分线，，
，
的周长为，
，
的周长，
故选：A．
2．如图，是的角平分线，是的垂直平分线，的周长为12，则的周长为（ ）
A．16 B． C．20 D．
【答案】C
【解析】略
3．如图，在中，，，垂直平分，P点为直线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．设交于点D，连接，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，证明当点P与点D重合时，的值最小，进而可求出周长的最小值．
【详解】解：设交于点D，连接，
∵垂直平分，
∴B、C关于对称，,
∴.
∵,
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
故选C．
4．如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（ ）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，
∴足球应放置在，两边垂直平分线的交点处，
故选：C．
5．如图，已知，，，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接与相较于点D，则的周长为（ ）
A．13 B．10 C．8 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据作图方法可得垂直平分，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式得到的周长，由此即可得到答案．
【详解】解：由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∵，，，
∴的周长，
故选C．
6．如图所示，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，根据线段垂直平分线性质求出长和，根据三角形周长求出的长度，求出的周长，代入求出即可．
【详解】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
，
的周长为，
故选：B．
7．和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】由题意直接根据垂直平分线的性质，进行分析即可得出答案．本题考查的是垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：根据线段垂直平分线的性质可得：和三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
8．如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ）
A．为两角平分线的交点
B．为的平分线与的垂直平分线的交点
C．为两边上的高的交点
D．为两边的垂直平分线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的判定：到角两边的距离相等的点在角平分线上；到线段端点距离相等的点在垂直平分线上，据此即可作答．
【详解】解：点到的两边的距离相等，
在的平分线上．
，
在的垂直平分线上．
即为的平分线与的垂直平分线的交点．
故选：B．
9．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果．
【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，
∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处；
故选A．
10．如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：
①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键．
由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答．
【详解】解： 是由翻折得到的，
，
故①正确；
是由翻折得到的，是由翻折得到的，
，，
点E，点F都在的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
故②正确；
是由翻折得到的，
故③正确；
设与交于点H，
是由翻折得到的，
故④正确；
综上，正确的有：①②③④，
故选：D．
填空题
11．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，垂足为，
，
是线段的垂直平分线，
，
的面积．
故答案为：9．
12．如图，在中，是的中垂线，，的周长是12，则 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，直接利用线段垂直平分线的性质得出，再利用已知得出答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
，的周长为12，
．
故答案为：7．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心、大于一半的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；作直线交于点D；连结，若，且的周长为13，则的长为 ．
【答案】9
【分析】此题主要考查线段垂直平分线的性质，直接利用垂直平分线的性质即可求解.
【详解】解：根据作图过程可知：
是的垂直平分线，
∴，
∵，且的周长为13，
即，
∴
故答案为：9.
14．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点D，连接．若周长为，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为可转化为进而可得答案．
【详解】由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，
周长为，，
的周长为．
故答案为∶．
15．如图，将三角形纸片沿直线折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点D，E．如果，的周长为，那么的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了翻折变换的性质，根据题意得出是解题的关键．利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可．
【详解】解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合，
∴．
∵，的周长为，
∴．
故答案为12．
三、解答题
16．如图，中，，．
(1)尺规作图：作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若是的一条角平分线，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作垂线、作角平分线、直角三角形的两个锐角互余等等：
（1）根据尺规作图—作垂线的方法步骤作图即可；
（2）根据角平分线的定义求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，再进而可求解．
【详解】（1）解：如图所示，高即为所求；
（2）解：如图，线段是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴．
17．如图，与相交于点O，连接，点E是下方一点，连接，若，，．求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．由“”可证，可得，且，可得垂直平分．
【详解】证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
18．如图，已知是线段的垂直平分线，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据是线段的垂直平分线，推出，，再证即可．
【详解】证明：是线段的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质 学案
（一）学习目标：
1.理解线段的垂直平分线的观点，掌握线段的垂直平分线的性质定理及其推论。
2.能够运用线段的垂直平分线的性质定理及其推论解决实际问题。
3.培养观察、分析、归纳和解决问题的能力。
（二）学习重难点：
学习重点：理解线段的垂直平分线的观点，掌握线段的垂直平分线的性质定理及其推论
学习难点：运用线段的垂直平分线的性质定理及其推论解决实际问题
阅读课本，识记知识：
1.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的性质
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
(2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
3.线段垂直平分线的尺规作图
已知线段AB，求作AB的垂直平分线.
作法：
分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点
作直线CD。CD就是所求作的直线。
4.利用垂直平分线解决实际问题
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用此性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题.
【例1】 四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N．
，
关于对称，关于对称，
此时的周长最小，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
．
，
故选：B．
【例2】如图，在中，，，直线垂直平分，分别交于点D，交于点E，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据，直线垂直平分，，得到，，结合，得到，结合计算即可．
【详解】解：∵，直线垂直平分，垂足为D，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
故选B．
选择题
1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的角平分线，是的垂直平分线，的周长为12，则的周长为（ ）
A．16 B． C．20 D．
3．如图，在中，，，垂直平分，P点为直线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（ ）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
5．如图，已知，，，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接与相较于点D，则的周长为（ ）
A．13 B．10 C．8 D．5
6．如图所示，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
8．如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ）
A．为两角平分线的交点
B．为的平分线与的垂直平分线的交点
C．为两边上的高的交点
D．为两边的垂直平分线的交点
9．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
10．如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论：
①；②直线是线段的垂直平分线；③；④．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
填空题
11．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ．
12．如图，在中，是的中垂线，，的周长是12，则 ．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心、大于一半的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；作直线交于点D；连结，若，且的周长为13，则的长为 ．
14．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点D，连接．若周长为，，则的周长为 ．
15．如图，将三角形纸片沿直线折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点D，E．如果，的周长为，那么的长为 ．
三、解答题
16．如图，中，，．
(1)尺规作图：作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若是的一条角平分线，求的度数．
17．如图，与相交于点O，连接，点E是下方一点，连接，若，，．求证：垂直平分．
18．如图，已知是线段的垂直平分线，求证：．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
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