【新教材】8.4.1 平面 课件-人教A版高中数学必修第二册(共26张PPT)

(共25张PPT)
第八章立体几何初步 8.4.1平
h
高 考
人教2019版必修第一册
效 大 材 X 的
F 子
1.正确理解平面的概念；
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三
个基本事实和三个推论的地位与作用.
甲 千 日 标 王 日
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二 似
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数学学科素养
1.数学抽象：平面概念的理解；
2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题；
3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.
自主预习， 答 题
阅读课本124-127页，思考并完成以下问题
1、平面的概念是什么 怎样表示一个平面
2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
3、平面有哪些基本事实
·要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
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知识清单
1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽 象出来的.几何里的平面是无限延展_ 的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行
四边形的锐角通常画成 45° ,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).
图(1)
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②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部
分用 虚线 画出来.如图(2).
图(2)
(3)平面的表示
图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意：“平 面”二字不能省略。
文字语言表达 图形语言表达
符号语言表达
点A在直线1上
A∈1
点A在直线1外
A∈l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A年α
直线1在平面α内
lca
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2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
直线1在平面α外
1dα
平面α,β相交于1
α∩β=1
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文字语言 图形语言
符号语言
基本事 实1 过 不在一条直线上 的三 点，有且只有一个平面
A,B,C三点不共 线→存在唯一的 平面α,使A,B,
C∈α
基本事 实2 如果一条直线上的 两点 在 一个平面内，那么这条直线 在此平面内
A∈1,B∈1,且
A∈α,B∈α→ 1
C α
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3.平面的基本事实
基本事 0 头 3 个不重合的 共点， 有 β Q
P∈α,P∈β→
an β=1,且
P∈1
有一条 的 _ 线
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可
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基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.
(2)
(3)
(1)
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小试牛
1.下列说法：
①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面 的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念.
其中正确的个数为( )
(A)0(B)1
(C)2(D)3
答案 B
2.三条直线两两相交，可以确定平面的个数是( )
(A)1个 (B)1个或2个
(C)1个或3个 (D)3个
答案 C
3.若A∈平面α ,B∈ 平面α ,C∈ 直 线AB,则 ( )
(A)C∈α (B)Ce α
(C)AB4 α (D)AB∩a=C
答 案 A
4.如图，已知D,E是 △ABC的边AC,BC上的点，平面α经过D,E 两点，若直线AB 与平面α的交点是P, 则 点P与直线DE的位置关系是
答 案 点 P在直线DE上
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题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换
例1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应
图形：(1)A∈α,B≠a;(2)lCa,m∩α=A,A41;(3)P∈1,Pa,Q∈1,Q∈α.
解析(1)点A在平面α内，点B不在平面α内.
(2)直线|在平面α内，直线m 与平面α相交于点A,且点A 不在直线I上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.
.B
(1) (2) (3)
题型分析 举一反三
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解题技巧(三种语言转换的注意事项)
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图
形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文 字语言表示，再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或 “年”,直线与平面的位置关系只能用“C” 或“4” .
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意把被遮挡
的部分画成虚线.
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【跟踪训练1】
1 、A,B,C 表示不同的点，n,1表示不同的直线，α,β表示不同的平面，下列推理
表述不正确的是( )
(A)A∈1,A∈α,B∈1,B∈α→lca
(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α→a∩β= 直 线AB
(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C 不共线→ α与β重合
(D)l∈α,n∈α,iN n=A→ 1 与 n 确定唯一平面
2、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
②
①
解析1.选D
2.在①中，
在②中，a
D 选项的表述
nβ=1,a∩a
■ — —
1=P.
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口 题
PJ
oO
d I1
B=R
P一 D.
A
1
β=1,ac
a,
解析因为l ∩1 =A, 所以1 ,12确定一个平面α.
因为1 ∩1 =B,所以1 ,l 确定一个平面β.
因为A∈l ,l cα, 所以A∈a.
因为A∈l ,l cβ ,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内，又在平面β内.
所以平面α和β重合，即直线l ,l ,l 在同一平面内.
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题型二 点线共面
例2如图，1 ∩1=A,1 ∩1=B,1∩1=C,求证直线1,1,1 在同一平面内.
证明点线共面问题的常 用方法)
直线确定一个 再证明其他直线在这
解题技巧
(1)纳入法：先
面内.
(2)重合法：先
面内，再证明
些直线在一个平
重 △
H 单 .
内， 另一些直线在另
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4
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【跟踪训练2】
1、 空间两两相交且共点的三条直线，可以确定的
平面数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3
解析 两两相交且共点的三条直线若在一个平面内，可确定 一个平面，若不在一平面内，每两条直线可确定一个平面， 共可确定3个平面，故选D.
答案 D
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题型三多点共线、 多线共点问题
例3如图所示，在正方体ABCD-A,B CD 中，E 为 AB 的中点，F
为AA 的中点.求证：CE,D F,DA三线交于一点.
解析连接EF,D C,A B,
因为E 为 AB 的中点，F 为 AA 的中点，所以E
又因为A B/D C,所以EF
所以E,F,D ,C 四点共面，
可设 D F∩CE=P.
又D Fc平面A D DA,CEc平面ABCD,
所以点P 为平面A D DA 与平面 ABCD 的公共点.
又因为平面 A D DA∩平 面ABCD=DA,
所以据公理3可得P∈DA,即 CE,D F,DA 三线交于一点.
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解题技巧(证明多点共线、多线共点的常用方法)
(1)证明三线共点常用的方法：
先证明两条直线相交于一点，然后证明这个点在两个平面内，第三
条线是这两个平面的交线，于是该点在第三条直线上，从而得到三 线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明 A,B是同一点，从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法，可得到三点共线的证明方法：
①首先找出两个平面的交线，然后证明这三点都是这两个平面的
公共点，根据公理3,可推知这些点都在交线上，即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线，然后证明第三个点也在这条直线
上 .
1.如图所示，在长方体ABCD-A,BC
于点M,则下列结论正确的是(
(A)A,M,0三点共线
(B)A,M,0,A 不共面
(C)A,M,C,0不共面
(D)B,B,0,M 共面
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【跟踪训练3】
D 中，0是B D的中点，直线A C交平面AB D
)
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解析 连接A C ,AC,则A C //AC.
所以A ,C ,C,A四点共面.
所以A Cc 平面ACC A .
因为M∈A C,所以M∈平面ACC A , 又M∈平面AB D,
所以M在平面ACC A 与平面AB D 的交线上，
同理0也在平面ACC A 与平面AB D 的交线上，
所以A,M,0三点共线.故选A.
答案 A