2.1等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第二章
一元二次函数、方程、不等式
2.1等式性质与不等式性质
新课引入
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系
和不等关系，例如：多与少、大与小、长与短、高与 矮、远与近、快与慢、长与短、轻与重、不超过或不 等于。类似于这样的问题，反映在数量上，就是相等 与不等。相等用等式表示，不等用不等式表示。
你能举一个生活中的相等关系和不等关系的例子吗
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
(1)某路段限速40km/h 0快车道：90≤v≤120
中间车道：80≤v≤100
慢车道：60≤v≤100
探素思考
一 、不等关系及其表示
小客车专用 行车道
行 车 道
车 道
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f
应不少于2.5%,蛋 白质的含量p应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
设三角形的三边分别为a,b,c,则有a+b>c,a-b(4)连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
探素思考
一 、不等关系及其表示
段最短.
0Al
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000 本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
探索思考 一 、不等关系及其表示
因此，销售总收入为：
用不等式表示为：
8,
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量；
(2)用适当的不等号连接；
(3)实例题要注意变量本身的范围；
题型总结 将不等关系表示成不等式的思路
随堂练习
一 、不等关系及其表示
P39 1
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A 和B,
则点A 和点B在数轴上的位置关系有以下三种：
(1)点A和点B重合；
(2)点A在点B的右侧；
(3)点A在点B的左侧
A(B)
a(b)
A B
a b
B A
b a
在这三种位置关系中，有且仅有一种成立。
探索思考
二、实数的大小比较
a=b
U 关于实数a,b 大小的比较，有以下基本事实：
如果a-b 是正数，则a>b; 如 果a>b, 则 a-b 为正数；
如果a-b 是负数，则a如果a-b 等于零，则a=b;如 果a=b, 则a-b 等于零
上述结论可以写成：a>bO a-b>0
a=b0 a-b=0
a探索思考 二 、实数的大小比较
探索思考 二、实数的大小比较
a-b>00 a>b
作差比较法
a-b=00 a=b
a-b<00 a这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法，又是推导不等式的性质的基础。
作差比较法其一般步骤是：作差→ 变形 → 判断符号 → 确定大小。
例题讲解 二、实数的大小比较
例1 . 比较( x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小。
随堂练习
二 、实数的大小比较
P402,3
在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图 设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车， 代表中国人民热情好客。你能在这个图中 找出一些相等关系和不等关系吗
探索思考
赵爽，又名婴，字君卿。中国古代数学家、
天文学家，他的主要贡献是约在222年深入 研究了《周髀算经》,为该书写了序言，并 作了详细注释。其中一段530余字的"勾股圆 方图"注文是数学史上极有价值的文献。它记 述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述
为 ："勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之， 即弦。"证明方法叙述为："按弦图，又可以勾 股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之
差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。"
探索思考
相等关系
c =(b-a) +2ab
c =a -2ab+b +2ab=a +b2
不等关系
c >2ab — a +b >2ab
当a=b时，a +b =2ab
pa +b ≥2ab,当且仅当a=b时， 等号成立
弦
勾 朱实
朱块c黄实 股
朱实
朱 实
弦图
探素思考
B
D
A
新知初探 等式的性质
(1)性质1如果a=b, 那么b=a; 对称性
(2)性质2如果a=b,b=c, 那么a=c;= 传递性
(3)性质3如果a=b, 那么a±c=b±c; = 同加同减性
(4)性质4如果a=b, 那么ac=bc; 同乘性
(5)性质5如果a=b,c≠0, 那么 · 同除性
类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质， 并加以证明吗
新知初探 不等式的性质
性质1 如果a>b, 那么bb.
a>b 口 b性质1表明，把不等式的左边和右边交
换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对 称 性
新知初探 不等式的性质 性质2 如果a>b,b>c, 那 么a>c.
a>b,b>cO a>c
这个性质也可以表示为c这个性质是不等式的传递性、
新知初探 不等式的性质 性质3 如果a>b, 则a+c>b+c
a>bD a+c>b+c — 可加性
不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)→a>c-b.
结论： 不等式中的任何一项可以改变符
号后移到不等号另一边(移项法则)
a>b,c>00 ac>bc;a>b,c<0D ac不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向； 不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向
性质4扩展：如 果a>b,c>0,
如果a>b,c<0,
性质4:如 果a>b,c>0,
如果a>b,c<0,
新知初探
则a/c>b/c;
则a/c则ac>bc;
则ac不等式的性质
可乘性
例题讲解
例2 已知a>b>0,c<0, 求证：
证 明 ：因为a>b>0, 于是
即
思考
能否用
作差法 证明
由 c<0, 得
即
新知初探 不等式的性质
性质5:如果a>b,c>d, 则a+c>b+d.
a>b,
c>d □ a+c>b+d. — 同向可加性
简记：大+大>小+小
这个性质可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相 加
新知初探 不等式的性质
性质6:如果a>b>0,c>d>0, 则ac>bd.
a>b>0
c>d>0 □ ac>bd. 同向同正可乘性
这个性质可以推广到任意有限个同向同正不等式两边分别相乘
新知初探 不等式的性质
性质7:如 果a>b>0, 则a">bn.
a>b>00 a“>b” — 正数的可乘方性
新知初探 不等式的性质 性质1:a>b0 b性质2:a>b,b>cO a性质3:a>bD a+c>b+c 一 可加性
性质4:a>b,c>00 ac>bc;a>b,c<0D ac性质5:a>b,c>dD a+c>b+d 同向可加性
性质6:a>b>0,c>d>00 ac>bd.— 同向同正可加性
性质7:a>b>00 a">bn 正数的可乘方性
实数大小关系和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据
课堂小结
1.用不等式来表示不等关系；
2.实数大小的基本事实；
3.作差法比较实数的大小；
4.等式的性质；
5.不等式的性质
课后作业
P42 习 题 2 . 1 3 7
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