3.1.1 函数的概念 课件(1)-人教A版高中数学必修第一册(共35张PPT)

(共34张PPT)
第三章 函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
人教2019A版必修第一册
设在一个变化过程中有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值，y 都有唯一的值与
它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变 量 ，y 叫因变量.
复习回顾
1.初中学习的函数的定义是什么
y=ax+b,(a≠0)
,(k≠0) y=kx,(k≠0)
y=ax +bx+c,(a≠0)
(1) 一 次函数
(2)正比例函数
(3)反比例函数 (4)二次函数
2.回顾初中学过哪些函数
问题1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，
列车行进的路程S ( 单 位 ：km) 与运行时间t (单位：h) 的关系可以表示
为 S=350t。
思考：根据对应关系S=350t, 这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进 了350km, 这个说法正确吗
不正确。
对应关系应为S=350t,其 中 ，t∈A ={t|0≤t≤0.5},s∈B ={s|0≤s≤175}
问题2某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果
公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资 一个工人的工资w (单位：元)是他工作 天数d的函数吗
是函数，对应关系为w=350d,其中，
d∈A ={1,2,3,4,5,6},w∈B ={350,700,1050,1400,1750,2100}.
思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个
函数吗 为什么
不是。自变量的取值范围不一样。
150
轻度污染
100
良
50
优
0
04:00 08:00 12:00 16:00 20:00 24:00
问题3如图，是北京市2016年
11月23日的空气质量指数变化 图。如何根据该图确定这一天 内任一时刻th的空气质量指数
的值I 你认为这里的I是t的函数
吗
是 ，t 的变化范围是 A ={t|0≤t≤24},I 的范围是B ={I|0北京空气质量指数
问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生
活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇
居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来
越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗
y的取值范围是 A ={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}
r 的取值范围是B ={r|0年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35
28.57
思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征 由此你能概括出函数概
念的本质特征吗
共同特征有：
(1)都包含两个非空数集，用A,B 来表示；
(2)都有一个对应关系；
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中
的任意一个数x, 按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。
设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定 的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那 么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函
数(function),记作：
y=f(x) x ∈A.
x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)l x∈A }叫做函数的值域.
函数的概念：
对函数符号y=f(x)的理解
1 、y=f(x)为 “y 是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，f(x)
不是f与x相乘。
例如：y=3x+1可以写成f(x)=3x+1
当x=2时y=7可以写成f(2)=7
想一想 f(a)表示什么意思
f(a)与f(x)有什么区别
一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。
f(x)表示自变量x的函数， 一般情况下是变量。
2 、“y=f(x )” 是函数符号，可以用任意的字母表示，
如“y=g(x)”,“y=h(x)”;
思考：函数的值域与集合B什么关系 请你说出上述四个问题的值域
函数的值域是集合B的子集。
问题1和问题2中，值域就是集合B 和B ;
问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。
区间的概念
设a,b 是两个实数，而且a1.满足不等式a≤x≤b的实数x 的集合叫做闭区间， 表示为[a,b]
2.满足不等式a3.满足不等式a≤x这里的实数a,b 叫做相应区间的端点
定义 名称 符号
数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
a b
{x|aa b
0
{x|a≤xa b
{x|aa b
x≥a x >a x≤b
x(a,+oo) (a,+oo) [-0,b]
(-o,b)
实数集R可以表示为( - 0,+○)
区间：
0
注意：
1.区间(a,b), 必须有b>a
2.区间只能表示数集
3.区间不能表示单元素集
4.区间不能表示不连续的数集
5.区间的左端点必须小于右端点；
6.区间都可以用数轴表示；
7.以“—oo”或“十o”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
15
1.下列对应关系中是从A 到B的函数的个数为 (B)
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x ;
(3)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0;
(4)A={1,2,3},B={a,b},对应关系如图①所示；
(5)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图②所示.
A.1 B.2 C.3 D.4
②
①
【解析】选B.(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数.
(2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系：f:x→y=x , 在集合B中都有唯一
一个确定的整数x 与其对应，故是集合A到集合B的函数.
(3)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯——
个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
(4)集合B不是数集，故不是A 到B的函数.
(5)集合A 中的元素3在B中没有对应元素，且A 中元素2在B中有两个元素5和6与
之对应，故不是A到B的函数.
综上可知，对应关系(2)、(3)是A到B的函数.
函 数 一次函数 y=ax+b(a≠0) 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)
反比例函数
a>0 a<0
对应关系 x→ax+b x→ax2+bx+c
定义域 R R R
{x|x≠0}
值 域 R
{y|y≠0}
练习： 一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：
例1.函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量
之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。
例如，正比例函数 y=kx(k≠0) 可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、
一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。
解：长方形的周长为20,设一边长为x, 面积为y,那 么y=x(10-x).
其中， x 的取值范围是 A={x|0B={y|0面积x(10-x).
试用区间表示下列实数集合
(1){x|5≤x<6}
(2){x|x≥9}
(3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}
连续数集
(5,6)
[9,+o]
[-0,-1]o[-5,2)=[-5,-1]
例题解析
例2 已知函数
(1)求函数的定义域 . (2)求 f(-3), 的值 .
(3)当a>0时，求f(a),f(a-1) 的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，
如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x),
而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是
指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：(1) √x有意义的实数x的集合是{x|x≥-3},
有意义的实数x的集合是{x|x≠-2},所以，这个函数
的定义域就是 {x|x≥-3,且x≠-2}
(3)因为a>0, 所以f(a),f(a-1) 有意义.
思考： 一个函数由哪几个部分组成 如果给定函数 的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗 两 个函数相等的条件是什么
定义域、对应关系、值域；
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致.
解(1)y=(√x) =x(x≥0), 这个函数与y=x(x∈R)
对应一样，定义域不不同，所以和y=x(x∈R) 不相等
(2) ,这个函数和y=x(x∈R)
对应关系一样，定义域相同x ∈R, 所以和y=x(x∈R) 相等
这个函数和y=x(x∈R)
定义域相同x∈R, 但是当x<0时，它的对应关系为y=-x
所以和y=x(x∈R) 不相等
例3.下列函数哪个与函数y=x相等
(1)y=(√x) (2)u=3v (3)y=√x
的对应关系一样，但是定义域不同，所以和y=x(x∈R) 不相
等
的定义域是{n|n≠0}, 与函数y=x(x∈R)
达标检测
1. 下列图象中表示函数图象的是(
A. B.
C. D.
C)
2.(2016 · 湛江高一检测)下列函数中，与函数
y=x 相等的是 ( D )
A.y=(√x) B.y= √x
D.y=3√x
【解析】 函数y=x的定义域为R;y=(√x) 的定义域为[0,十一];y=√x
=|x|,对应关系不同； 对应关系不同； 且定义域
为R. 故选D.
【答案】 D
3. 函数y=x —2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为(A )
A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
【解析】 当x=0 时 ，y=0; 当x=1 时 ，y=1-2=—1; 当x=2 时 ，y=
4 — 2×2=0;当x=3 时 ，y=9—2×3=
3,∴函数y=x -2x 的值域为{—1,0,3}.
的定义域是
(4,5)U(5, 十一)
【解析】 ∵函数
解 得x≥4, 且 x≠5,
∴函数 f(x)的定义域是[4,5]U(5, 十一).
5. 已知函数
(1)求 f(x)的定义域；
(2)求f(一1),f(2) 的值；
(3)当a≠—1 时，求f(a+1) 的值.
【解】 (1)要使函数 f(x)有意义，必须使x≠0,
∴f(x)的定义域是(一0,0)U(0 , 十一).
乙
(3)当a≠—1 时 ，a+1≠0,
重
争
重
1.函数的概念：设A 、B是非空数集，如果按照某个确定的
对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A → B为从集合A到 集合 B的函数
3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间.
定义域A
值域B
对应法则f
定义域
对应法则
课后小结
2.函数的三要素
决 定值域