5.1.2弧度制 课件(共34张PPT) -高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)

(共34张PPT)
第5章三角函数
5.1.2弧度制
人教A版2019必修第一册
学习目标
1.了解弧度制，明确1弧度的含义.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积
公式。
目 01角度制与弧度制的互化
02扇形的弧长与面积问题
录
知识回顾
1 . 在平面几何里，度量角的大小用什么单位
角度制的单位有：度、分、秒。
2.1°的角是如何定义的
规定： 圆 周1/360 的圆心角称作1° 角 。
这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度一弧度
制，它是如何定义呢
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制， 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同 的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否 也能用不同的单位制呢 能否像度量长度那样， 用十进制的实数来度量角的大小呢
我们知道，
角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种 度量角的单位制——弧度制 .
如图5.1-9, 射线OA 绕端点0旋转到OB 形成角α,在旋转过程中，射线
OA 上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α
设α=n°,OP=r, 点 P所形成的圆弧PP 的长为l.由初中所学知识可知
,于是
图5.1-10
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关.
也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定.这就启发我们，可以
利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
探究
如图5.1-10,在射线OA上任取一点Q(不同于点O0),0Q=r , 在旋转过程中，
点Q 所形成的圆弧QQ 的长为l .l 与r 的比值是多少 你能得出什么结论
定义
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度 (radian) 的角，弧度单位用符号rad表示，读 作弧度.
我们把半径为1的圆叫做单位圆，
如图5.1-11,在单位圆0中，AB 的
长等于1,∠AOB 就是1弧度的角.
其中，α的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正 ，顺时针
旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π 或小于- 2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角。
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个 负数，零角的弧度数是0.
根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为a rad,
那么
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，
孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。
1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中 ，提出把圆的
半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角
,这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及
计算.
的
探究
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换 算、如何换算呢
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0);用角度
制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数 是2π,而在角度制下的度数是360,所以
360=2π rad,1800=zrad,10=180rad~0.01745rad
角度与弧度的互化
π=180°
1.角度制与弧度制
的互化
(2)
注 ：角度制与弧度制互化时要抓住180°=π rad这个关键。
例 2 把下列各角的弧度化为度数。
(1) (2) 0
;
例1.把67°30′化成弧度：
解：(1)因为
所以
练一练
1.把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)-450°(2 ;(3) (4)112°30′
思路点拨：利 用“180°=π”实现角度与弧度的互化 .
;
(4)112030′=112.5°=112.5×180 rad=grad.
(4)112°30′=112 .5°=112.5×180 rad=5g rad.
解题方法(角度制与弧度制转化)
角度制与弧度制换算的要点：
一抓 抓住“正对正，负对负，零对0”这个要点
二记 记住常见角对应的弧度数
三应用 应用1°=180 rad,1 rad=(180)
两个基本关系
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度
注 ：常规写法
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少π的形式，不必写成小数.
②用弧度制表示角时，”弧 度”二字或
”rad ”通 常略去不写，只写该角所对应的弧度 数 .
③弧度与角度不 能 混 用 .即不能出现这样的形 式：
角度 0° 30° 45° 60° 90 20° 135° 150° 80° 270°
360
弧度 π1 6 R14 π — 2 一 2π 3π 5π π 3π 2
2π
总 结 ：根据度与弧度的换算关系，填写下表中特殊角的度数或弧度数 .
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的 一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过 来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应(图5.1-12).
正角 正实数
零角 0
负角 负实数
图5.1-12
2.扇形的弧长与
面积问题
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)=aR s=_1R
其中R 是圆的半径，l是弧长，a(0< a<2π) 为圆心角，
S是扇形的面积.
证明：(1由公式 得：I =|a·R=aR
注：扇形的面积公式中的角都用弧度数，不能用度数
证明：(2)由于半径为R,圆心角为n °的扇形
的弧长公式和面积公式分别为：
不
将n °转换为弧度，得：
证明(3)将l= αR代入上式，即得：
。
练一练
2.一个扇形的周长为20,则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇
形面积最大
用半径表示 转化为二次
圆心角 函数求最值
设出扇形的圆心角、
半径、弧长
思路点拨：
求扇形面积
解题方法(扇形弧长和面积公式注意事项)
弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：I=lalr,
(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
和
●
解析： 设扇形的圆心角为α,半径为r, 弧长为1, 则l=ar,
依题意l+2 r=20, 即 ar+2r=20,
由l=20 —2r>0及 r>0得 0=—(r—5) +25(0∴当r =5 时，扇形面积最大为S =25.
此时l=1 0,a =2,
故当扇形半径r=5, 圆心角为2 rad时，
扇形面积最大.
随堂检测
【解析】 B 中 k=1 时为 显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故C 、D 均错，只有A 正确。
1.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是()
2.与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B.{a|a=2k π+30°,k∈Z}
C. {a| a=2 k·360°+30°,k∈Z}
∴与30°终边相同的所有角可表示为
,k∈Z,故 选D.
3.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()
A. B.
c. π
J
∴弧长
选A.
π
D.
。。
4.将- 1485°化成2kπ+a(O ≤a<2π,k∈ Z)的形式为 .
【解析】 由一1485°=-5×360°+315°
所以-1485°可以表示为-10n+7n
【答案】
5 . 一 个扇形的面积为 1 , 周长为4,求该扇形圆心角的弧度数.
【解析】 设扇形的半径为R, 弧长为1, 圆心角为α,
则2R+1=4.①
由扇形的面积公式 , 得 ②
由①②得R=1,I= 2,∴ 重
∴扇形的圆心角为2rad.
课堂小结
1.什么叫1弧度角
2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别。
3.弧长公式与扇形面积公式 .