6.4.3.1余弦定理-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册超好用

(共25张PPT)
6.4.3-1
余 弦 定理
学习目标
1..借助向量的运算，探索三角形边长与角度的
关系，掌握余弦定理；
2.能用余弦定理解决简单的实际问题.
3.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算。
干鸟湖
情景问题
情景问题
与A 6km
干鸟湖
120
情景程题ABC 中，已知AB=6km,B 二 寐 湖
∠B=120°,求AC
6km 屿B 120°
e
能否直接求出 AC
二、探究新知
1. 在△ABC中，已知CB=a,CA=b,CB与CA的夹角 为∠C,求边c. A
设 CB=a,CA=b,AB=c
由向量减法的三角形法则得
C=a-b
c =c·c=(a-b)·(a-b)
=a.a+b.b-2a.b=1al +bl -2|ab|cosc
=a +b -2abcosC
∴c =a +b -2abcosC
a
a =b +c -2bccosA
b =a +c -2accosB
c =a +b -2abcosC
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对余弦定理还
有其他证明方
法吗
2.余弦定理
3.余弦定理正法2
(1)当角C为锐角时
证明：过A 作AD⊥ CB, 交CB于D b
在Rt△ADC中 C B
AD=ACsin C,CD=ACcosC a
在Rt△ABD中
AB =AD +BD
=(ACsinC) +(CB-CD)
=AC sin C+CB -2CB·ACcosC+AC cos C
=AC +CB -2CB·ACcosC
∴c =a +b -2abcosC
AD=ACsin(180°-C)=ACsin C
CD=ACcos(180°-C)=-ACcosC
在Rt△ABD中
AB =AD +BD
=(ACsinC) +(CB+CD)
=AC sin C+CB -2CB·ACcosC+AC cos C
=AC +CB -2CB·ACcosC
∴c =a +b -2abcosC
(2).当角C 为钝角时
证明：过A作AD ⊥CB交BC的延长线于D
在Rt△ADC中
a
4.余弦定理正法3
证 明 ：以CB所在的直线为X轴 过C 点垂直于CB 的直线为Y轴 ， 建立如图所示的坐标系，则A、 B、C三点的坐标分别为：
=b cos C-2abcosC+a +b sin C
=a +b -2abcosC
∴c =a +b -2abcosC
A(bcosC,bsinC),B(a,0),C(0,0)
∴AB =(bcosC-a) +(bsinC-0)
A
b
y
C
B
【)
a
5.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b a
A C B
利用余弦定理可 以解决什么类型的
三角形问题
A 6km
解：由余弦定理得 120
AC =AB +BC -2AB·BCcosB
=6 +3.4 -2×6×3.4cos120° C
=67.96 AC≈8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
已知三角形的两边及夹角求解三角形
三、巩固新知
1.(引例问题)在△ABC 中，已知AB=6km,BC=3.4km,
∠B=120°, 求 AC
B
2.例1.在△ABC中，已知b=3,c=2√3,∠A=30°,
求角B 、C和边a的值
解 ：由余弦定理知，
a =b +c -2bc cos A
∴a=√3 由余弦定理的推论，得
∴∠B=60°
∴C=180°—A-B=90°
3变式训练1
(1)若b=3,c=1,A=60°, 则a=
(2)在AABC中，a=2,csc=-43a=2b,
则c= 十
4.例2.在△ABC中，已知a= √6 ,b=2,c= √3+1
解三角形.
解 ：由余弦定理得
C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°
二、已知三角形的三边解三角形
5.变式训练2
(1)在三角形ABC中，若a=√3,b=1,
c=2,则A= 60
(2)在三角形ABC中 ，a -c +b =ab,
则角C 的大小为( A )
A.60° B.45° 或135°C.120° D30°
(3)已知△ABC的三边长为a=3,b=4,c= √37,
求△ABC 的最大内角.
C=120°
6.例3.在ABC中，a=7,b=8,锐角C满足
求B的余弦值.
解: 2 且C 为锐角，
田余
∴c=3.
7.变式训练3
(1)在△ABC中，b=3,c=3√3,B=30°, 求A,C,a.
当a=3 时 ，A=30°,C=120°;
当a=6 时 ，A=90°,C=60° .
2) 在△ABC中，AB=√2,BC=1,cosC=3
则AC= 2
(1).b +c =a A 为直角；
(2).b +c >a A 为锐角； (3).b +c 8.由余弦定理推论
在△ABC 中，
9.判断三角形的形状
例4 .在△ABC中，若 a > b +c ,则△ABC 的
形状为( A )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
那a 10.变式训练4
(1)三角形三边长为4,6,8,则此三角形为( A )
A.钝角三角形 B. 直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
(2).在△ABC中，已知acosA=bcosB,
试判断△ABC 的形状.
直角三角形或等腰三角形
11.拓展提升
(1).在△ABC中，已知b cosC+c cos B=3b,则
(2).在△ABC中，已知a=4,b=5,c=6, 则
(3)在ABC中， 已知b-c=4a,2sinB=3sinc,
则cos A= 4.
②若sinB+sinC=√3, 试 判断△ABC的形状 .
等边三角形
(4)已知：△ABC的三个内角A,B,C对应三边长分别
为a,b,c且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
①求角A的大小；
兀
3
②若 b =3,sinC=2sinA, 求a,c的值.
a=√3,b=2√3
A=√3·acos B.
兀
3
为a,b,c且满足bsin
①求 角B的大小；
(5)已知：△ABC的三个内角A,B,C对应的三边长分别
a =b +c -2bccosA cosA=b +c3-a
b =a +c -2accosBcosB=c +2a -b
2c =弦a +理b a解b o的s 关三角形的问题：
1).已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角.
2).已知三边求三个角；
3).判断三角形的形状.
作业：课本P44 练习1(2)、2
可
-
四 、课堂小结：
1.余弦定理：
推论：
1