8.6.2直线与平面垂直-人教A版(2019)高中数学必修第二册课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
第八章立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
学习目标
素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线 与平面垂直的关系
直观想象、数学抽象
2.在直观感知的基础上，归纳直线与平面垂直的 判定定理，并能解决有关线面垂直的问题
直观想象、数学抽象
3.了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求 法
直观想象、逻辑推理
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自学导引|
文字语言 图形语言 符号语言
如果直线l与平面α内的_任意一条_直线都 垂直，就说直线1与平面α互相垂直，直线 1叫做平面α的垂线，平面a叫做直线1的 垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 任意 都有1La O
,
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知识点1 直线与平面垂直的定义
【预习自测】
直线l⊥平面α,直线mca, 则1与m不可能 ( )
A. 平 行 B. 相 交
C. 异面 D. 垂 直
【答案】A
【解析】由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m,l 与m 可能相交或异
面，但不可能平行.
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微思考l一
直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成
“所有直线”“无数条直线”
【提示】定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但
是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线 垂直，该直线与这个平面不一定垂直.
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文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，那 么该直线与此平面垂直 l α
a
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知识点2 直线与平面垂直的判定定理
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第八章立体几何初步
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【预习自测】
一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边
的位置关系是 ( )
A. 平 行 B. 垂 直
C. 相交不垂直 D. 不 确 定
【答案】B
【解析】直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线
垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边.
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知识点3 直线与平面所成的角
1. 定义：(1)一条直线AP 与平面α相交，但不垂直，这条直线叫平
面的斜线，斜线与平面的交点A 叫斜足.
(2)过斜线上斜足外的一点P 向平面α引垂线PO, 过 垂 足O 和斜足A 的
直线OA叫斜线在这个平面内的射影.
(3)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐 角.
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2. 范围：设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°
3.画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是_∠PAO.
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【预习自测】
若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大
( )
B.45°
D.90°
小为
A.60°
C.30°
【答案】A
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【解析】斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠
ABO即是斜线段AB 与平面α所成的角.又AB=2BO, 所 以cos ∠ABO
所以∠ABO=60° .
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文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
图形语言
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知识点4 直线与平面垂直的性质定理
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【预习自测】判断下列命题是否正确.(正确的画 “√” ,错误的画
“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行. ( )
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行. ( )
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线
互相垂直. ( )
【答案】(1) √ (2) √ (3) √
【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1) 、(2) 、(3)均正确.
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知识点5 距离
1. 点到平面的距离：过一点作垂直于平面的直线有且只有一条，
且该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_ 垂线段，垂线段的长 度叫做这个点到该平面的距 离.
2. 直线到平面的距离： 一条直线与一个平面平行时，这条直线上
任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
3. 两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平
面内的任意一点到另一个平面的距离都_相 等，我们把它叫做这两个平
行平面间的距离.
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第八章立体几何初步
数学必修第二册配人版A版
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【预习自测】
已知四棱锥的体积 底面是边长为1 的正方形，则该四棱锥的
顶点到底面的距离是 .
【答案】
【解析】四棱锥的顶点到底面的距离即为该四棱锥的高，由
解得
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课堂互动
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题型1 线面垂直的定义及判定定理的理解
例 1 下列说法中正确的个数是 ( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则1⊥a;
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则1La;
③如果直线l不垂直于a, 则α内没有与1垂直的直线；
④如果直线l不垂直于a, 则α内也可以有无数条直线与1垂直.
A.0 B.1
C.2 D.3
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素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养.
【答案】D
【解析】由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的
定义知②正确；当与α不垂直时，可能与a内的无数条直线垂直，故③ 错误；④正确.
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规律方法-
1.对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”
说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正 确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内.
2. 判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
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A. 若直线l 与平面α内无数条直线垂直，则1La
B. 若直线1垂直于平面α,则1与平面α内的直线可能相交，可能异面，
也可能平行
C. 若a//b,aca,lLa, 则1⊥b
D. 若a ⊥b,bLa, 则a//a
跟踪训练
1. 下列说法中，正确的是
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( )
【答案】C
【解析】当与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥a, 故A 错；当l⊥a
时 ，l 与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错 ；C 显然是正确的； 而D中 ，a可能在α内，所以D错误 .
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题型2 线面垂直判定定理的应用
例2如图，在△ABC中，∠ABC=90°,D
△ABC 所在平面外一点，且SA=SB =SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC, 求 证 ：BD⊥平面SAC.
素养点睛：本题考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.
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是AC的中点， S 是
证 明：(1)∵SA=SC,D 为AC的中点，∴SD⊥AC. 连接BD.
在Rt△ABC中，有AD=DC=DB,
∴△SDB≌△SDA,∴∠SDB=∠SDA=90°,
∴SD⊥BD. 又ACNBD=D,∴SD⊥ 平面ABC.
(2)∵AB=BC,D 是AC的中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD, 且ACNSD=D,∴BD⊥ 平面SAC.
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证 线 面 垂 直 的 方 法
(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得
出线线垂直);②判定定理最常用：着力寻找平面内两条相交直线(有时 作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边 中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线 线垂直 .
(2)平行转化法(利用推论)
①a//b,a⊥a=
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规律方法--
第八章立体几何初步
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跟踪训练
2.如图所示，在三棱柱ABC-A B C 中，侧棱AA ⊥底面ABC,AB=
AC=1,AA =2,∠B A C =90°,D
求证：AD⊥平面A DC .
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为BB 的中点.
证明：∵AA ⊥底 面 ABC, 平 面 A B C // 平面 ABC,∴AA ⊥ 平面
A B C ,∴A C ⊥AA .又∠B A C =90°,∴A C ⊥A B . 而A B ∩AA =A ,
∴A C ⊥平 面AA B B.又 ADC 平面 AA B B,∴A C ⊥AD. 由已知计算
得AD=√2,A D=√2,AA =2.
∴AD +A D =AA ,∴A D⊥AD.
∵A C ∩A D=A ,∴AD⊥ 平面A DC .
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例3在正方体ABCD-A B C D 中，
(1)求直线A C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A B与平面BDD B 所成的角.
素养点睛：本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.
证明：(1)∵直线 A A⊥平面 ABCD,∴∠A CA 为直线 A C 与平面
ABCD所成的角.设A A=1, 则 AC=√2,∴
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题型3 直线与平面所成的角
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●
(2)连接A C 交 B D 于0.在正方形A B C D 中 ，A C ⊥B D .∵BB
⊥平面A B C D ,A C C 平面A B C D ,∴BB ⊥A C . 又BB ∩B D =B ,
∴A C ⊥平面 BDD B , 垂足为0.∴∠A BO为直线A B 与平面 BDD B
所成的角.在Rt△A BO中，
与平面 BDD B 所成的角为30°.
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第八章立体几何初步
, ∴∠A BO=30°.∴A B
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一规律方法-
求直线和平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的
锐角即为所求的角
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
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跟踪训练
3.如图所示，在正方体ABCD-A B C D 中 ，E 是棱DD 的中点.求
直线BE与平面ABB A 所成的角的正弦值.
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解：取 AA 的中点M, 连接EM,BM. 因为E 是 DD 的中点，四边形
ADD A 为正方形，所以 EM//AD. 又在正方体ABCD-A B C D 中，AD
⊥平面ABB A ,所以EM⊥平面ABB A .从而BM为直线BE 在平面ABB A
上的射影，∠EBM即为直线BE 与平面ABB A 所成的角.设正方体的棱
长为2,则EM=AD=2,BE=√2 +2 +1 =3. 在Rt△BEM中 ，sin ∠EBM
即直线BE 与平面ABB A 所成的角的正弦值为
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题型4 线面垂直性质定理的应用
例4如图所示，在正方体ABCD-A B C D 中 ，M 是AB上 一 点 ，N
是A C的中点，MN⊥平面A DC.
求证：MN//AD .
素养点睛：本题考查了逻辑推理的核心素养.
证明：因为四边形ADD A 为正方形，
所以AD ⊥A D. 又因为CD⊥ 平面ADD A , 所 以CD⊥AD .
因为A DNCD=D, 所以AD ⊥ 平面A DC.
又因为MN⊥ 平面A DC, 所以MN//AD .
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规律方法--
证 明 线 线 平 行 的 常 用 方 法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点.
(2)利用三线平行基本事实4:证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
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为B, 直线acβ,aLAB. 求证：a//l.
证明：因为EA⊥a,anβ=1, 即 lca, 所以I⊥EA
同理1⊥EB. 又EA∩EB=E, 所以⊥平面EAB.
因为EB⊥β,acβ,所以EB⊥a.
又a⊥AB,EB∩AB=B, 所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a//l.
跟踪训练
4. 如图，已知平面an 平面β=1,EA⊥a, 垂足为A,EB⊥β, 垂 足
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易错警示 忽略线面垂直判定定理的条件致误
例 5 如 图 ，a//b, 点 P 在 a,b 所确定的平面y 外 ，PA⊥a 于 点A,
AB⊥b于 点B.
求证： PB⊥b.
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错解：因为PA⊥a,a//b, 所以PA⊥b.所以PA⊥y,所 以PB⊥b.
易错防范：本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，
由PA⊥a,PA⊥b, 得PA⊥y,而忽略了“垂直于平面内两条相交直线” 这一条件，即a∩b≠0.
正解：因 为PA⊥a,a//b, 所 以PA⊥b.
又AB⊥b,PA∩AB=A, 所以b⊥平 面PAB.
因为PBc 平面PAB, 所以PB⊥b.
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素养达成
课堂 归纳
1. 线线垂直和线面垂直的相互转化：
如果两条平行线中的 一条直线与 一个平面垂 直，那么另外一条直线也与此平面垂直
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线面垂直的判定定理
线面垂直的定义
线 线 垂 直
线 面 垂 直
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2. 证明线面垂直的方法(体现直观想象、逻辑推理的核心素养):
(1)线面垂直的定义.
(2)线面垂直的判定定理。
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线
也垂直于这个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直
于另一个平面.
3. 线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的
内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
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素养训练
1. 若三条直线OA,OB,OC 两两垂直，则直线OA垂直于 ( )
A. 平面OAB B. 平 面OAC
C. 平 面OBC D. 平 面ABC
【答案】C
【解析】由线面垂直的判定定理知OA 垂直于平面OBC.
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【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面
平行，故A 正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面， 故B错误；由面面平行性质定理可知C正确；根据平行公理知D正确 . 故 选B.
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2.(2020年杭州期中)下列命题中为假命题的是
A. 垂直于同一直线的两个平面平行
B. 垂直于同一直线的两条直线平行
C. 平行于同一直线的两条直线平行
D. 平行于同一平面的两个平面平行
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( )
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3. 正四棱锥的侧棱长为3,侧棱与底面所成角为60°,则该四棱锥
的高为 ( )
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A B.
( D.
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【答案】C
【解析】如图，过点S 作 SO⊥平面ABCD, 连接OC, 则∠SCO=60°,
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4 .在正方体ABCD-A B C D 中，直线AB 与平面
ABCD 所成的角等于 .
【答案】45°
【解析】如图所示，因为正方体ABCD-A B C D 中
B B⊥ 平面ABCD, 所 以AB 即为AB 在平面ABCD 中的射 影，∠B AB 即为直线AB 与平面ABCD 所成的角.由题 意知，∠B AB=45°, 故所求角为45°.
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5. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥ 底面ABCD,E,F 分
别是SD,SC 的中点.求证：
(1)BC⊥平面SAB;
(2)EF⊥LSD.
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证明：(1)∵四棱锥S-ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.
∵SA⊥平面ABCD,BCc 平面ABCD,∴SA⊥BC.
又∵SA∩AB=A,∴BC⊥ 平 面SAB.
(2)∵SA⊥平面ABCD,CDc 平面ABCD,∴CD⊥SA
又∵CD⊥AD,SA∩AD=A,∴CD⊥ 平面SAD.
∵E,F 分别是SD,SC 的中点，
∴EF//CD.∴EF⊥ 平 面SAD.
又∵SDc平面SAD,∴EF⊥SD.
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