2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第三章3.1.1函数定义域和值域的求法 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
1.2.函数定义域和值域的求法
函数
y=f(x )
自变量
对应法则
自 变 量 的 取 值 范 围 为
因变量的取值范围为 对应法则一般为
定 义 域
值域
函数的解析式
因变量
1:在初中我们学习了哪几种函数 函数表达式是
什么 它们的定义域值域各是什么
一次函数： y=ax+b(a≠0) 定义域为R
反比例函数： ≠0) 定义域为{x|x≠0}
值 域为{yly ≠0}
二次函数： f(x)=ax +bx+c(a≠0) 定义域为R
当a>0时，为：{yly≥4ac-b 当a-0时，值域为：{yly≤4ac-b
值域
一.函数定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)
(2)f(x)=√3x+2
求函数定义域应注意的问题：
(1)如果y=f(x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f(x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f(x)是二次根式，则定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f(x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是
使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
(5)如果是实际问题，是使实际问题有意义的实数的集合
(5) f(x)=√ 1-x+√x+3-1
(1)
(2)
(4)
1
求下列函数的定义域
·例2.已知函数
(1)求f(x) 的定义域；
(2)求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。
(3)求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
·注意：
1.函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。
2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1与f(x)的定义域相同。原因是我们在求f(x+3)的表达 式时是用“x+3”整个代替f(x)表达式中的“x”。
·变式1:已知函数f(x)的定义域为(2,5),求函 数f(x+3)的定义域。
·变式2:已知函数f(x+3)的定义域为[-1,2],求 函数f(x)的定义域。
·解：(1)因为f(x)的定义域为(2,5),所以2得-1(2)因为f(x+3)的定义域为(-1,2),所以-1得2练 习
·1.已知函数f(x) 的定义域为[-1,1],求函 数f(2x+1)的定义域。
·2.已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求函数 f(x)的定义域。
提高练习
·1.已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1],求
f(1-3x)的定义域。
· 2. 已知函数f(x)的定义域为[0,1],求f(x +1)
的定义域。
· 3.若函数f(x+3)的定义域为[-5,-2],求
F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。
二.函数的值域
例1、求下列函数的值域：
(1)y=1-2x 值域为 R
(2)y=Ixl-1 x∈{-2,-1,0,1,2}值域为{-1,0,1}
值域为 ( 一 0,0)U(0,+0)
(4)y=√x+3 值域为 (0,+0)
直接法一
由常见函数的值域或不等式的性质求出
·
故函数的值域为
分离常数法-可将其分离出一个常数
例2、求下列函数的值域：
:
练习.求下列函数的值域
(1)y=3x+2(-1≤x≤1)
解：(1)∵-1≤x≤1
. ∴-1≤3x+2≤5
∴y≠1 即函数的值域是{yl y∈R且y≠1}
. ∴-3≤3x≤3
即-1≤y≤5
∴值域是[-1,5]
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R
∴x=2时，Ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{yly≥-3 }.
②∵顶点横坐标23,4],当x=3时 ，y=-2,x =4时 ，y=1
∴在[3,4]上，Ymin =-2,Ymax=1; 值域为[-2,1].
解③略：
解④∵顶点横坐标2 ∈[0,5]当x=0时 ，y=1,x=2 时 ，y=-3,
x=5时 ，y=6,∴ 在[0,1]上， Ymin =-3,ymax =6
值域为[-3,6].
例3求下列函数的最大值、最小值与值域：
① y=x -4x+1 ② y=x -4x+1 x∈[3,4] ③ y=x -4x+1 ,x∈[0,1]④y=x -4x+1 x ∈[0,5]
解：∵y=x -4x+1 =(x-2) -3
∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2 . (对称轴x=2)
图像法
①若x ∈[a,b],则f(x )
a>0时，是函数的最小值；
a<0时，是函数的最大值
再比较f(a),f(b)的大小
决定函数的最大(小)值.
时， 其最小值；
时，其最大值
②若x[a,b], 则[a,b]是
在f(x)的单调区间内
只需比较f(a),f(b)的大小即可 决定函数的最大(小)值.
(2)若定义域为x∈[a,b]
则应首先判定其顶点横坐标x 是否属于区间[a,b].
(1)若定义域为R
当a>0时，则
当a<0时，则当
注：对于二次函数，y=ax +bx+c(a≠0)
(3)y=x +4x+3 (-3≤x≤1)
(4)y=3-2x-x x ∈[-3,1]
求下列函数的值域：
(1)y=x+√ 1-x
解：设 t=√ 1-x
则x=1-t 且 t≥0
y=1 —t +t
由图知：
故函数的值域为(-0,5
例4、求下列函数的值域：
换元法
由图知：y≥2 故函数的值域为：[7 7
Lo
练 习
1.求函数y= √25-4x 的值域.
2.求函数 y=2x- √x-1 的值域。
一(2y -1)x +2(y+1)x+(y+3)=0
当y≠ 时，△≥0
→4(y+1) -4(2y-1)(y+3)≥0
例5、求函数
解 ：由题知 x ∈R, 则有
2yx +2yx+y=x -2 x
时 ，
故函数的值域为 [-4,1]
的值域
-3
判别式十
名 召 —
牛 —
例6、求下列函数的值域： (1) y=Ix+11-11-xl
解：由y=1x+11-Ix-11
当x≤-1 时 ，y=-(x+1)+(x-1)=-2
当 - 1当 x>1 时 ，y=(x+1) 一(x-1)=2
由图知： -2≤y≤2
故函数的值域为
[-2,3]
分段函数法
课堂小结
求函数的值域的方法：
(1) 观察法； (2) 图象法；
(3) 分式分离常数法；
(4) 换元法；(5)解x 法；
(6) 判别式法；(7)配方法；
(8) 函数单调性法；
(9) 分段函数法.
练 习
1.求函数y= √x+2- √6-x的值域。
2. 求函数y= 的值域.
乙
x
求下列函数的定义域和值域：
(3)y=1-x|-x-3
, x ∈[3,5] 的值域
变式：(1)求函娄
(2)求函数
的值域