3.2函数的最值 课件(共24张PPT)-高一数学(人教A版2019必修第一册)

(共24张PPT)
3.2.2函数的最值
第三章 函数的概念与性质
高中数学/人教A版/必修—
素养篇
知识篇
3.2.2函数的最值
下图为某天的气温f(t)随时间t变化图，请指出最高气温
和最低气温.
最低气温：
最高气温：
f(t)
12
10 16 20
Vx∈R, 都有f(x)≤f(1)
故 f(x)=-x +2x+3有最大值4.
当一个函数f(x)的图象有最高点时，
我们就说函数f(x)有最大值.
个最高点(1,4),即 0 1 3 X
二次函数f(x)=-x +2x+3 的图象上有一
函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,
如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x ∈I, 都有f(x)≤M;
(2)存在x ∈I, 使得f(x )=M
那么,称M 为函数y=f(x)的最大值.
思 考 ：定义中能否去掉条件(2) 为什么
函数的最大值
函数f(x)=—x +6x+8 在[-2,1]上的最大值是( )
A.—8 B.13 C.17 D.8
答案：B (观察图象即可)
练一练
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,
如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I, 都有f(x)≥M;
(2)存在x ∈I, 使 得f =M
那 么 , 称M 为函数y=f(x)的最小值.
请你仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值
的定义.
请你给出一个存在最小值的函数，并画出它的图象.
函数的最小值
答 案：(1)没有；
(2)当x=1时取得最小值2;当x=3时取得最大值6.
(3)当x=1时取得最小值2;没有最大值
1. 下列函数是否存在最大值、最小值 函数在何处取得最
大值和最小值，并求出其值.
(1)y=2x,(x∈R)
(2)y=2x,(1≤x≤3) (3)y=2x,(1≤x<3)
练一练
2.函数f(x) 在[—2,2]上的图象如图，则此函数的最小值、
最大值分别是( C )
A. f(-2),0 B. 0, 2
C. f(-2),2 D.f(2),2
练一练
练一练
3. 函数 在区间(0,1)上的最小值为 ;
在区间[-4,0]上的最大值为 ·
答 案 ：4; -1 (观察图象即可)
3.2.2函数的最值
素养篇
知识篇
1 .已知函数f(x)=-x +6x+9在区间[a,b](a上有最大值9,最小值- 7,求实数a,b 的值 .
f(x)=-(x-3) +18
因为a当x=b时，函数取得最大值ymax=9;
即 解得： a=8 或-2; b=0或6.
又因为a1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；
2 . 利 用图 象求函数的最大(小)值
问 题 解 析 方法总结
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
如果函数y=f(x)在区间[a,b] 上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b] 上单调递减，在区间 [b,c] 上单调递增，则函数y=f(x) 在x=b处有最小值f(b).
2. 函 的图象可以由函 的图象向 平
移 个单位得到，由此知 在区间[2,3]上
的最大值为 ;最小值为
问 题 答 案 方法总结
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
右 ； 1 ; 4; 2 (结合图象即可)
3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它
达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(m) 与时间t(s)之 间的关系为h(t)=-4.9t +14.7t+18, 那么烟花冲出后什么时候 是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到1m)
由二次函数的知识，对于函数
h(t)=-4.9t +14.7t+18,我们有：
函数有最大值
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的 最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
问 题 解 析
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
3.2.2函数的最值
思维篇
知识篇
方法总结
问 1 .已知关于x的不等式x —2x+a—1≥0 在R 上恒
题 成立，则实数a 的取值范围是_
记f(x)= x —2x+a-1, 则 原 问 题 等 价 于 二 次
函 数f(x)=x —x+a-1 的最小值大于或等于0 .而
f(x)≥m 恒成立，等价于f(x)min≥m;
f(x)≤m 恒成立，等价于f(x)max≤m.
析 f(x)=(x-1) +a-2, 当x=1 时 ，f(x) min 2,
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
解
(1)f(x)=(x-a) +2-a , 由图象知
(2)a=1 (根据对称轴的不同位置分三类情况讨论)
二次函数中的“动轴定区间”问题，大体上分为三类 去讨论： 一是对称轴在区间的右侧，二是对称轴在区间的 左侧，三是对称轴在区间之间.对这三种情况，画图分析最 值 .
2.已知函数 f(x)=x -2ax+2,区 间D:[2,4]. (1)求函数f(x)在区间D 上的最大值；
(2)若 函 数f(x)在 区 间D 上 的 最 小 值 为 2 , 求a 的值 .
问 题 解 析 方法总结
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
问 3.已知函数f(x)= +2ax+1,(x≤1) 在R 上存在最小
题 值，求实数a的取值范围.
当x>1 时 ，f(x)单调递增，无最低点；
解 故f(x)图象最低点在区间(-oo,1) 上 .
结合图象知：当a≥-1时，1-a ≤2,无解；
析 当a<-1 时，2+2a≤2, 得a<-1
综上，得a的取值范围是(-0,- 1)
数形结合，是判断函数最值存在性常用的方法；
本题函数左段表达式含参，故需分类讨论.
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
2x, 1)
方法总结
问 题 答 案 方法总结
4. 求 函 数f(x)=(x-2)|x| 在区 间[a,a+1](a∈R) 上
的最小值g(a)的表达式.
先画出 图象，再从左往右移
动区间[a,a+1 ], 数形结合写出g(a)的表达式.
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
5. 已知函数 f(x)=√ 1-x+√x+3
的最大值和最小值分别为M、m,求 的值 .
显然y≥0,原函数式两边平方后整理得：
y -4=2√3-2x-x2
由于x∈[-3,1],易得3-2x-x ∈[0,4]
所以M=2 √2 ,m
求陌生函数最值时，可通过平方等变形手段，将陌生函数
式转化为熟悉的函数式，再利用常见函数的性质求最值.
问 题 答 案 方法总结
核 心 素 养 之 逻 辑 推 理+ 数 学 运 算
课堂小结
一、本节课学习的新知识
函数的最大值
函数的最小值
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
直观想象
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
分类讨论
转化与化归
数形结合
函数思想
01 基础作业：
02 能力作业：
03 拓展延伸：(选做)
作业