弧度制课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(共25张PPT)
第五章三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
新教材人教版·高中必修第一册
数学
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和 角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必 要性，建立角的集合与实数集的一一对应关 系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇 形面积公式。
1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入 弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象 素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积 公式解决相关问题，重点提升数学运算、逻 辑推理素养。
目 录
要 求
M
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制， 且1米=3.28083989501英尺=1.0936133码
度量质量可以用千克、磅等不同的单位制， 且1千克=2.2046226磅
不同的单位制能给解决问题带来方便，
角的度量是否也能用不同的单位制呢 能 否像度量长度那样，用十进制的实数来度 量角的大小呢
前言
角的计量单位是“度”,用符号““表示。把半固 分成180等份，每一份所对的角的大小是1度记作1
目录
问 题1初中学过哪些度量角的单位
在初中学过角度制，单位：度(°)、分()、秒(") 且1°=60',1'=60”,它反映了度分秒之间是60进制。
周角的 为1度的角，记作1°,即圆周的 的圆弧所对的圆心角为1°的角。
在钟表中， 一周60个小格，秒针走一格为1秒， 那么此时分针转了多少度
复习引入
目录
M
公元六世纪，印度数学家阿耶波多在创新
制作正弦表时，就发现了有一个问题不好解 释，比如sin30°=0.5, 他发现了什么问题呢
他发现等式右侧是10进制数，而等式左边是60 进制数，两个不同单位的量，分布在了等式的两 端，带来很尴尬的局面，阿耶波多就想能不能将角 的度量也变成10进制的数 这样后来角出现了新的度 量单位，就是我们今天要学习的——弧度制。
情景引入
印度伟大的著名数学家 及天文学家
阿耶波多
N
目 录
新知引入
寻找度量角的10进制度量单位
根据任意角的定义，射线OA 绕端点O 旋转到OB
形成角α.在旋转过程中，射线OA上点P (不同于端 点0)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角 a.记a=n°,OP=r, 点P所形成的圆弧PP 的长为l.
概念引入(1)
由初中所学知识可知
于
图5.1-9
N
目录
问题2
如图5.1-10,在射线OA 上任取二点P 、Q (不同于
点 O),0Q=r ,OP=r . 在旋转过程中，点Q 、P 所形
成的圆弧QQ1 、PP 的长为l 、l ,l 与 r 、l 与 r2的 比 值各是多少 你能得出什么结论
关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定。
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。
目录
概念引入(1)
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有
N
当弧长与半径相等时， 是一个定值1,此时圆心角等于 度，我
们把 的比值1记为1个单位的角，这样可以用 来度量角的大小.
比 如 即 l=2r时，所对圆心角为2个单位的角；
即 l=0.5r 时，所对圆心角为0.5个单位的角，这样可以用
一来度量角的大小，这里一是一个实数，解决了用实数度量角的大小
问题.这就是度量角的另一种单位制--弧度制.
目 录 M
概念引入(1)
1弧度角的定义
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心
角叫做1弧度(radian) 的角，弧度单位用符 号 rad 表示，读作弧度。
把半径为1的圆叫做单位圆，如图5.1-11,在
单 位 圆 0 中 ，AB 的长等于1,∠AOB 就 是 1
弧度的角。
概念引入(1)
目录
弦长 AB=1.9178
图5.1-11
概念引入(1)
问题3任意角都可以用 表示吗 正角、负角和零
规定：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α
的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
逆时针转为正，顺时针旋转为负，当角的终边旋转一周后 继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于一2π的角，这 样就可以得到弧度为任意大小的角.
角的弧度数如何规定呢
目录
M
一 般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负 数，零角的弧度数是0.
即角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间 建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于 这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一 的-个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图5.1-12).
正实数
0
负实数
图5.1-12
目 录 N
概念的理解
正角
零 角
负角
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一
单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想
将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公
式及计算.
概念的理解
欧拉
目录
M
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可
以换算.如何换算呢
当角是零角时，以度和弧度为单位数值相等，都是0;
用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同，
当角的终边旋转一周，角所对的弧长即周长=2π,角的弧度
,而在角度制下为360°,即360°=2π rad,
180°=π rad,
概念引入(2)
目录
概念引入(2)
即有以下弧度与角度的换算关系：
180°=π rad
目 录 M
~1.178097245 rad≈1.178 rad
目录 M
例1按照下列要求，把67°30'化成弧度：
(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值.
巩固与练习
解
(1)因为
●
≈179.9087477～179.909
温馨提示：
用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写， 而只写该角所对应的弧度数，例如，角α=2就表示α是2 rad 的角.
巩固与练习
例2将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，精确到0.001).
解
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规律方法
1.在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180° 是关键，
由它可以得到：度数 ×180=弧度数，弧度数 度数。
2. 互化时注意两点：
(1)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度。
(2)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成
小数。
巩固与练习
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温馨提示： 要想熟记这些特殊角度与弧度之间的转换， 归根结底还是熟记180°=π
国为90
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度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
360°
弧度 0 π - 6 π-4 | 2 2π 3 34 5π 6 π 3π 2
2π
巩固与练习
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
问 题4
4,
证明：
由公式 得 l=aR.
下面证明(2)(3)
半径为R, 圆心角为n°的扇形的弧长公式
和面积公式分别是
●
2
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)l=aR;(2) ;(3) .其中R 是圆的半径，
a(0巩固与练习
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例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)l=aR;(2) ;(3) 其中R 是圆的半径，
a(0将n° 转化为弧度，得
于是
将l=aR 代人上式，即得
巩固与练习
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1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360° ),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( )
A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案 ABC
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深化与思考
(1)我们学习了任意角的新的度量制——弧度制
①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，如果半径为r 的圆的
圆心角a 所对弧的长为l, 那么角α的弧度数的绝对值是 a 的 正负由角a 的终边的旋转方向决定；
②弧度单位用符号rad 表示，读作弧度；
③ 任意角的弧度制和角度制之间可以互化.
(2)数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，我们通过
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思 考问题、用数学的语言表达问题.
小结
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1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A. B. C D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为 .
限时小练
简解答：[ 1.[ 2.
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课堂作业
P175-176, 习题5.1第5、6、7、8题
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本节内容结束THANKS
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