2.2 基本不等式课件(共40张PPT)- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(共40张PPT)
基本不等式
基本不等式的应用
基本不等式的推导及其证明
主要内容
第1课时
基本不等式的推导及其证明
探究
如图是在北京召开的第24界国
际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去像一个风车， 代表中国人民热情好客.你能在这 个图案中找出一些相等关系或不等 关系吗
设直角三角形的两条直角边长为a、b,那么正方
形的边长为 √a +b ·
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab, 正方
形的面积为a +b
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中
有4个全等的直角三角形.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，
我们就得到了一个不等式：
a +b ≥2ab
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，
正方形EFGH缩为一个点，这时有
a +b =2ab
证明：作差比较
a +b -2ab=(a-b)2
当a≠b时 ，(a-b) >0 得
a +b >2ab
当a=b时 ，(a-b) =0 得
a +b =2ab
所以对任意a,b∈R, 则a +b ≥2ab, 当且仅当a=b 时“=”成立.
若a,b∈R, 则a +b ≥2ab
时“=”成立).
(当且仅当a=b
结论1:
特别地，如果a>0,b>0,我们用 √a、 √b分别代替上 面结论中的a、b, 可得
贝
当且仅当a=b 时“=”成立
证明同前面结论1
结论2
若a>
探究 基本不等式 的几何意义
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE, 连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗
易证Rt△ACDo Rt△DCB,
即CD=√ab
由于CD不大于圆的半径
所以
那么 CD =CA·CB
其中当且仅当点C 与圆心重合，即a=b 时 ，
的几何意义是“半径不小于半弦”
因此，基本不等式
等号成立.
述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
为a 、b的算术平均数， √ab 为几何平均数，
那么
作是正数a 、b 的等差中项，把Jab
的等比中项，那么该定理可以叙
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
如果
看作是正
基本不等式
代数意义
基本不等式的推广：
若a ,a2,…,an∈R+,则 叫做n
个正数的算术平均数，"a ·a …an 叫 做n个正数的
几何平均数.
n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
证明：(1)由于a∈R+, 事
当且仅当 即a=1时，等号成立.
事
(1)当a ∈R+时，
(2)当a,b∈R*时2
当且仅当 即a=b时，等号成立.
当a=b 时取“=”号)
例1 .求证
例2.已知x、y 都是正数，求证：
(x+y) (x +y ) (x +y )≥8x y .
证明：由于x、y都是正数，根据基本不等式得
x+y≥2Jxy>0
x +y ≥2xy>0
x +y ≥2√x y >0
三式相乘得
(x+y)(x +y )(x +y )≥8x y .
当且仅当x=y时等号成立.
∵x+y=2,
∴x +y ≥2
即x +y 的最小值为2,当且仅当x=y=1时取得最小值.
例3.若x>0,y>0, 且x+y=2, 求x +y 的最小值
解：∵x +y ≥2xy,
∴2(x +y )≥(x+y)
练习
(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一 半时间的速度为a, 另一半时间的速度为b; 乙车用速 度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若 a≠b,则两车到达B地的情况是( A )
(A)甲车先到达B 地 (B)乙车先到达B地
(C)同时到达 (D)不能判定
1.“a>0 且b>0” 是 ”成立的(A )
(
3.已知a、b、c都是正数，求证
(a+b)(b+c)(c+a)≥8 abc
证明：由于a、b、c都是正数，根据基本不等式得
a+b≥2√ab>0
b+c≥2√bc>0
c+a≥2√ca>0
三式相乘得
(a+b) (b+c) (c+a)≥8 abc
当且仅当a=b=c 时等号成立.
(-a)+(-b)≥2√(-a)(-b)
a+b≤-2√ab
当且仅当-a=-b即a=b时等号成立.
4. 当 a,b∈R- 时，求证a+b≤-2√ab
证明：由a<0,b<0, 得 -a>0,-b>0
小结
1.基本不等式的推导及其意义
2.利用基本不等式证明简单不等式
作业
P100 练习1
P100 习题3.4 A组1,2
2.已知a 、b 、c>0, 求
3.求证：a +b +c ≥ab+bc+ca
补充作业
1.设a,b∈R+,且a≠b,则下列各式中正确的是( )
第2课时
基本不等式的应用
1.若a >2ab(当且仅当a=b 时“=”成立).
对于结论2,应把握三点： “一正、二定、三相等”
当且仅当a=b 时“=”成立
复习：基本不等式
2.若a、
, 贝
例1(1)用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短 的篱笆是多少
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这
个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少
分析：对于(1)矩形菜园的面积是确定的，长和宽没 有确定.篱笆最短即矩形的周长最短.
解：(1)设矩形菜园的长为x m,宽 为y m,则 xy=100, 篱笆的长为2(x+y)m. 由
当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱
笆最短，最短的篱笆是40m.
x+y≥2√ 100
2(x+y)≥40
可得
xy≤81
当且仅当x=y时，等号成立，此时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积
最大，最大面积是81m .
分析：对于(2)矩形菜园的周长是确定的，长和宽没
有确定.菜园的面积最大即矩形的面积最大.
解：(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则
2(x+y)=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为xy m .由
可得
1. 已知两个正数x,y, 求x+y与xy的最值.
(1)xy为定值p, 那么当x=y 时，x+y有最小值2√p;
(2)x+y为定值s,那么当x=y 时，积xy有最大值
2.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，
和有最小值”这两个结论时，应把握三点： “一正、 二定、三相等”
利用基本不等式
求最值的要点
例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其
容积为4800m ,深为3m, 如果池底每1m 的造价为150 元，池壁每1m 的造价为120元，问怎样设计水池能 使总造价最低，最低总造价是多少元
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转
化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中 用到了基本不等式定理.
=240000+720×2×40=297600
当 即x=40 时，z有最小值2976000.
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，
水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
解：设水池底面一边的长度为x
价为z元，根据题意，得
m,水池的总造
例3.已知x>1,求x 的最小值以及取得最小
值 时x 的 值 .
解：因为 x>1 所以 x—1>0
当且仅当 (x>1)即x=2时，取“=”号.
答：最小值是3,取得最小值时x的值为2.
例4已知 x,y∈R+,a、b为正常数，且 求x+y的最小值.
解1
≥2√ab+a+b=(Ja+√b)
例5.求函数 的最小值.
分析：利用函数 (t>0) 的单调性.
t∈(0,1)单调递减，t∈[1,+00)单调递增
令t= √x +4 贝
∴当t=2,即：x=0 时，
(t≥2)
练习
1. 下列函数中，最小值为4的是( C )
4
(C)y=4e^+e
D)y=log x+log 3(02.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 与仓库到
车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 与到车 站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库， 这两项费用y 和y 分别为2万元和8万元，那么要使这两 项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )
(A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里
3.已知lgx+lgy=1, 的最小值是
4.若正数x 、y 满足x+2y=1. 求 的最小值.
5.已知正数a 、b 满足a+b=1.
(1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值.
∵X>-1.∴X+1>0 又 ∵
当且仅当 即x=√5-1 时取“=”号 即当x=√5-1 时，函数的最小值为2 √5-5
的最小值.
6.求函数
7.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造
一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A 孔流 入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高 度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a, b的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米，问当 a,b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计).
小结
1. 已知两个正数x,y, 求x+y与xy 的最值.
(1)xy为定值p,那么当x=y 时，x+y有最小值2√p;
(2)x+y 为定值s, 那么当x=y 时，积xy有最大值
2.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，
和有最小值”这两个结论时，应把握三点： “一正、 二定、三相等”
3.利用基本不等式求函数最值的步骤：
①各项必须为正；
②含变数的各项和或积必须为定值；
③必须有自变量值能使函数取到等号.
一正，二定，三相等
作业
习题P100-101.A 组，2,3,4B 组1,2