1.2 空间向量基本定理 人教A版(2019)选择性必修第一册高中数学精品课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
选择性必修一第一章
1.2空间向量基本定理
新课引入
请同学们回顾上一本书中说的，什么样的向量可以作为这个 平面的基底
这个平面上的任意向量可以怎样被表示出来
共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向 量p 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x,y), 使得p=xa+yb.
1.类似于平面向量基本定理，我们猜猜空间向量
基本定理是怎样的
2.什么样的向量可以成为空间向量的基底 3.空间向量可以怎么样被表示
新课引入
知识梳理
1.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c 不共面，
那么对任意一个空间向量p, 存在唯一的有序实数组(x, y,z), 使得p= xa+yb+zc
其中{a,b,c }叫做空间的一个基底，a,b,c 都
叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底.
知识梳理
思考：
(1)零向量能不能作为一个基向量
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x,y,z) 是否唯—
(1)不能.因为0与任意一个非零向量共线，与任意 两个非零向量共面.
(2)唯一确定.
知识梳理
2.正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是
1,那么这个基底叫做单位正交基底 . 常用{i,j,k} 表示.
(2)正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量
进行正交分解.
知识梳理
[探究问题]
取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些
若取单位正交基底{i,j,k}, 那么|i|=Jj|=|k|=1. 且ij=j-k=i-k
=0,这是其他一般基底所没有的.
例1.已知下列说法：
①若三个非零向量a,b,c 不能构成空间的一个基底，则a ,b,c 共面；
②若两个非零向量a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基 底 ，则 a,b
③ 对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C, 若OP=20A-2OB-20C,
④若a,b 是 两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0),则{a
⑤若{a,b,c} 为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a} 构成空间的另一个基底.
其中正确说法的个数是( D )
A.0 B.1 C.2 D.3
共线；
则P,A,B,C 四点共面；
,b,c}构成空间的一个基底；
例题解析
① 根据空间基底的定义，三个非零向量 a,b,c 不 能构成空间的一个基底，则a ,b,c共面，故正确
②由空间基底的定义，若两个非零向量a ,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a,b 共线，
故正确.
③对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C, 若OP=2OA-2OB-20℃, 由于2 - 2 - 2= - 2≠1,则P
A,B,C 四点不共面，故错误.
④若 a ,b 是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0),则向量c 与 a,b 共面，则{a ,b,
c}不能构成空间的一个基底，故错误.
⑤利用反证法：若{a+b,b +c,c+a} 不能构成空间的一个基底，则存在实数x,y, 使得 a+b =x(b+c)
+y(c+a), 整理得(1-y)-a=(x-1)b+(x+y)c, 则a,b,c 共面，由于{a ,b,c}为空间的一个基底，得出 矛盾，所以{a+b,b+c,c+a} 能够成空间的一个基底，故正确.故选D.
例题解析
因为{a,b,c} 是空间的一个基底，所以向量a ,b,c不 共面，而向量p=a+b,q=a-b 与 a,b 共面 .故
排除选项A,B,D. 故选C.
例2 . 设{a ,b,c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p=a+b,q=a-b
量是( C )
A .a B .b
例题解析
构成空间的另一个基底的向
D.a 或 b
C.c
例3 . 若向量MA,MB,MC 的起点M 与终点A,B,C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间
任一点),则能使向量MA,MB,MC 构成空间的一个基底的关系是( c )
A中，因 ,所以M,A,B,C 四点共面；B 中 ，MA≠MB+MC, 但可能MA=λMB+μMC,
四点可能共面；D 中，因为MA=2MB-MC,
例题解析
所 以M,A,B,C
故选C.
C.OM=OA+OB+OC D.MA=2MB-MC
所 以M,A,B,C 四点共面
B.MA≠MB+MC
因为{a,b,c} 是空间的一个基底，所以 a,b,c 不共面 .对于A,B,C 选项，每组都是不共面的向量，能
构成空间的一个基底；对于D 选 项 ，a+2b,2b+3c,3a-9c 满 足3 a-9c=3[(a+2b)-(2b+3c)], 所以 这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底.故选D.
例4 . 若{a,b,c} 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( D )
A.a,2b,3c B .a+b,b+C,c+a
C.a+b+c,b+C,c D.a+2b,2b+3c,3a-9c
例题解析
选项A对应的说法是正确的，若四点共线，则向量OA,OB,O 共面，构不成基底；选项B对应的说法是
错误的，若四点共面，则OA,OB,0℃ 共面，构不成基底；选项C 对应的说法是正确的，若四点共面，则OA
OB,O℃ 构不成基底；选项D 对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量OA,OB,
O℃构不成基底.
四点不共线
四点共面，但不共线
四点不共面
四点中任意三点不共线
例5.在空间四点O,A,B,C 中，若{OA,OB,OC} 是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( B )
A.0,A,B,C
B.0,A,B,C
C.0,A,B,C
D.0,A,B,C
例题解析
例6.(多选)下列说法正确的是(AC )
A. 任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 直线的方向向量有且仅有一个
对于 A, 任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以 A 正 确 ，B 错误；
对于C, 两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C 正确；
对于 D, 直线的方向向量有无数个，所以D 错 误 .
故选 AC.
例题解析
例题解析
例7 . {e ,e ,e } 是空间的一个基底，向量a=e +e +e ,b=e +e -e ,c=e -e +es,d=e +2e
Xa+yb+ZC=x(e +e +e )+y(e +e -e )+z(e -e +e )=(x+y+z)e +(x+y-z)e +(x-y+z)e =
e +2e +3e ,
则x,y,z 分别为(A)
,1,
+3es.若d=xa+yb+zc,
A 日
由空间向量基本定理，
,1,
,解
I
,1,
口
C.
,
例8.如图，在平行六面体ABCD-A B C D
则AM=(B )
B
D
中 ，M 为 A C 与B D 的交点.若AB=a
例题解析
,AD=b,AA =c
A.
C.
故选 B.
例9.已知M,N 分别是四面体OABC的棱 OA,BC 的中点，点P在线段MN 上，且MP=2PN.设向量OA
=a,OB=b,OC=c, 则 (用a ,b,c表示)
例题解析
,NM=OM -ON,
OP=ON+NP,
!
例10.如图，在三棱柱 ABC-A B C 中，∠ABC=90°,AB=BC=AA =2,AA ⊥ 平面ABC,E,F 分 别
是 BB ,A C 的中点 .求证：AF⊥CE.
选取BA,BC,BB 作为空间的一个基底，设BA=a,BC=b,BB =c.
由已知条件和三棱柱的性质，得
|a|=2,|b|=2,|c|=2, a·b=0, a·c=0, b·c=0,
例题解析
所 以AF⊥CE, 所以 AF⊥CE.
因为
1.空间向量基本定理；
2.正交分解
课堂小结
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