人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册 《抛物线》知识探究课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
人教A版同步教材名师课件
抛物线
---知识探究
探究点1抛物线的定义及其应用
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内.
(2)动点到定点F 的距离与到定直线l的距离相等.
(3)定点不在定直线上.
其中点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.
探究点1抛物线的定义及其应用
2.抛物线定义的应用思路
通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，或者把抛物线
上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，然后根据平面几何的相关知
识求解.
要点辨析
1.注意定点F不在定直线l 上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点
F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l 垂直的一条直线.
例如：到定点F(1,2)与定直线l:x=1 的距离相等的动点的轨迹为过定点
F(1,2)且和定直线l:x=1 垂直的直线y=2.
2.抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点，设为M;“三定”即一
个定点F、一条定直线l 、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比
值为常数1).
典型例题
概括理解能力、分析计算能力
典例1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m,-3) 到焦
点的距离为5,求m 的值、抛物线的标准方程和准线方程.
思路
思路一：设抛物线的标准方程为x =-2py(p>0), 根据点M在抛物线上及条件
|MF|=5, 建立方程组求解.思路二：已知|MF|= 5,可用焦半径公式求解.
典型例题
概括理解能力、分析计算能力
典例1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m,-3) 到焦
点的距离为5,求m 的值、抛物线的标准方程和准线方程.
解析 方法一：∵ 在抛物线上，抛物线焦点在y轴上，∴设抛物线方程为x =
-2py(p>0), 则焦点为 -又|MFI=5,故 解得
∴抛物线的标准方程为x =-8y, 准线方程为y=2.
∴抛物线的标准方程为x =-8y, 准线方程为y=2. 由m =-8×(-3)=24, 得
m=±2√6.
典例1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m,-3) 到焦
概括理解能力、分析计算能力
点的距离为5,求m 的值、抛物线的标准方程和准线方程 .
方法二：如图，设抛物线方程为x =-2py(p>0),
,准线为l:
,
则焦点为
由
典型例题
, ∴p=4,
解析
重
共同点
(1)原点都在抛物线上.
(2)焦点都在坐标轴上.
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距
离都等于一次项系数的绝对值的即=
不同点
(1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px,左端为y ;焦点在y轴上时，方程的
右端为±2py,左端为x .
(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，
方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y
轴)的负半轴上，方程的右端取负号.
探究点2抛物线的标准方程和几何性质
四种不同抛物线方程的异同点：
要点辨析
1.若已知抛物线的焦点坐标或准线方程，则可设出抛物线的标准方程，求出p
的值即可得解.若焦点位置无法确定，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一
点的坐标， 一般能求出两个标准方程.
2.求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p 即可.
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标
准方程可统一设为y =ax(a≠0),a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛
物线的标准方程可设为x =ay(a≠0), 这样就减少了不必要的讨论.
思路
根据抛物线的标准方程的知识分析计算.
(1)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线的标准方程；
(2)求出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程.
典型例题
推测解释能力、分析计算能力
典例2根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);(2)焦点为直线3x-4y-12=0
与坐标轴的交点.
典型例题
推测解释能力、分析计算能力
典例2根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);(2)焦点为直线3x-4y-12=0
解 析(1)∵点(-3,-1)在第三象限，
∴设所求抛物线的标准方程为y = -2px(p>0) 或x =-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y =-2px(p>0), 则由(- 1) =-2 p·(-3),解
若抛物线的标准方程为x =-2py(p>0), 则由(-3) =-2 p·( -1),解得p=9
∴所求抛物线的标准方程为
与坐标轴的交点.
●
;
典型例题
推测解释能力、分析计算能力
典例2根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);(2)焦点为直线3x-4y-12=0 与坐标轴的交点.
解析
(2)对于直线方程3x-4y-12=0, 令x=0, 得y =-3,令y=0, 得x=4,
∴抛物线的焦点坐标为(0,-3)或(4,0).当焦点坐标为(0,-3)时 ·
∴p=6, 此时抛物线的标准方程为x =-12y; 当焦点坐标为(4,0)时
∴p=8, 此时抛物线的标准方程为y =16x.
∴所求抛物线的标准方程为x =-12y 或y =16x.
9
探究点3与抛物线定义有关的最值问题
与抛物线有关的最值问题， 一般情况下都与抛物线的定义有关. “看到准线
想焦点，看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要
途径.
要点辨析
凡涉及抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时，常利用抛物
线定义，将抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的距离相互转化.例 如若点P (x ,yo) 是抛物线y =2px(p>0) 上的任一点，则该点到抛物线的
焦点F的距离为 这一公式的应用会给我们求解抛物线上的点
到定点、定直线的距离有关的最值问题时带来方便.
典例3 设 点P是抛物线y =4x 上的一个动点.求点P到A(-1,1) 的距离与点
P 到直线x=-1 的距离之和的最小值.
思 路 当P、A、F 三点共线时，距离之和最小，由两点间的距离公式即可得解.
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0), 准线方程为x=-1, 由抛物线
的定义，知点P 到直线x=-1 的距离等于点P 到焦点F的距离.于
是，问题转化为在抛物线上求一点P,使点P 到点A(-1,1) 的距离 与点P 到点F(1,0)的距离之和最小.显然，连接AF 交抛物线于点 P, 此时距离之和最小，最小值为√(-1-1) +(1-0) =√5.
分析计算能力
典型例题
探究点4抛物线的实际应用问题
1.内容方面
抛物线标准方程的应用.
2.方法方面
(1)建立适当的坐标系，利用待定系数法确定标准方程.
(2)在解决实际问题时怎样建立数学模型.
3.数学思想方面
能用数形结合思想将几何问题转为代数问题进行解决.
要点辨析
1.解决此类题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学
语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
2.以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决
问题主要体现在：①建立平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；②利用已求方
程求点的坐标.
建系 建立适当的坐标系
假设
设出合适的抛物线标准方程
计算
通过计算求出抛物线标准方程
求解
求出所要求的量
还原
还原到实际问题中，从而解决实际问题
要点辨析
3.求解抛物线实际应用题的步骤
典例4如图，某大桥有一个中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶
距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超
过18米，目前吃水线以上部分船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还
可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不
考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔 请说明
理由 .
简单问题解决能力
典型例题
A(10,-2) 在抛物线上，即-2=10 a,: ,即抛物线的方程为
让货船中间位置沿y轴所在方向向前航行，船宽16米，而当x=8 时
-1.28,即B(8,-1.28), 此时B 点离水面的高度为6-1.28=4.72(米),而吃水线
以上船体高度为5米，所以无法直接通过.又5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04= 7,150×7=1050(吨).又1050>1000,故用多装货物的方法也无法通过.
典型例题
思路 将实际问题转换为数学问题，即建立抛物线的数学建
模，求出抛物线的方程后，判断该船能否通过.
无法通过.理由如下：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y=ax . 由题意知
解析
·
探究点5与抛物线有关的轨迹问题
解决有关抛物线的轨迹问题的方法：
求解有关抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转
化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等
于动点到定直线的距离这个条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到
满足抛物线定义的条件.
要点辨析
求抛物线的轨迹方程有两种方法： 一种是定义法，即先由抛物线的定义判断出
所求轨迹为抛物线，再由题设条件求得参数p 的值；另一种方法是设出动点的
坐标，根据条件列出等式求解，有时需要依据条件进行转化.
利用抛物线的定义判断轨迹形状，求轨迹方程时，务必要认真审题，寻找题设中
的等量关系并转化为符合抛物线定义结构的形式，再利用抛物线的定义求解.
解题时要注重挖掘题目中的隐含条件，做出准确的判断，以防漏解而致错 .
典型例题
推测解释能力、分析计算能力
典例5平面上一动点P到定点F(1,0) 的距离比点P到y 轴的距离大1,求动点P
的轨迹方程.
思路本题根据两种方法：轨迹法和定义法，求动点P的轨迹问题
解 析 解法一：设点P的坐标为(x,y),则有 √(x-1) +y =|x|+1.
两边平方并化简，得y =2x+2|x|.
∴动点P的轨迹方程为y =4x(x ≥0)或y=0(x<0).
典型例题
推测解释能力、分析计算能力
典例5平面上一动点P到定点F(1,0) 的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P
的轨迹方程.
解析
解法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴
的距离为1,故当x<0 时，直线y =0上的点都符合题意：当x≥0 时，题中条件等价于
点P到点F(1,0) 的距离与到直线x=-1 的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直
线x=-1 为准线的抛物线，轨迹方程为y =4x.
故所求动点P 的轨迹方程为y =4x(x ≥0) 或y=0(x<0).
探究点6抛物线几何性质的应用
抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解
题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.在抛物线的几何性质中，应用最广
泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，
选准标准方程的形式，然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想，根据
抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.
要点辨析
抛物线性质的应用技巧：
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标
准方程.
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.
典型例题
分析计算能力
典例6 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l 过F 且垂直于x轴，与抛物线交于A、
B 两点，0为坐标原点，若△OAB 的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
解析 设抛物线的方程为y =2mx(m≠0)→ 求出弦长|AB|→ 写出△OAB 的面积→利
用面积列方程解m→ 得结果.
由题意，设抛物线的方程为y =2mx(m ≠0),焦点
当 时，y=±m.∴|AB|=2|m|.∵△OAB 的面积为4, 重 ·2|m|=4,
∴m=±2√2,∴ 抛物线的标准方程为y =±4√2x.
: ·
探究点7直线与抛物线的位置关系
直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离.
(1)直线的斜率存在时，设直线y=kx+m 与抛物线y =2px(p> 0)相交于
A(x ,y ),B(x ,y ) 两点，将y=kx+m 代入y =2px, 消去y 并化简，得
k x +2(mk-p)x+m =0.
①当k= 0 时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只
有一个公共点.
②当k≠0 时，判别式△>0→直线与抛物线相交，有两个公共点.
判别式△=0 直线与抛物线相切，有且只有一个公共点.
判别式△<0一直线与抛物线相离，没有公共点.
探究点7直线与抛物线的位置关系
(2)直线的斜率不存在时，设直线l:x=m, 抛物线：y =2px(p>0).
显然，当m<0 时，直线与抛物线相离，无交点.
当m=0 时，直线与抛物线相切，有一个交点.
当m>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点.
要点辨析
直线与抛物线交点问题的解题思路：
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.
典型例题
(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C上一点，曲线C在点M 处的切线与直线AB
平行，且AM⊥BM, 求直线AB 的方程.
思路(1)设出A、B 的坐标，由两点求斜率结合A、B 在抛物线上及A 与B 的横坐标之和为
2求得AB的斜率；
(2)由题意结合导数可得M 的坐标，设直线AB 的方程y=x+m, 与抛物线方程联立，
求出|AB|,再由已知可得|MN|,且|AB|=2|MN|, 由此列式求得m 值，则直线AB 的
方程可求.
解释能力
C:
测
B为曲线
力、推
典例7 设A
分析计算
上两点，A与 B 的横坐标之和为2 .
典型例题
:
(1)求直线AB的 斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在 点M处的切线与直线AB
平行，且AM⊥BM, 求直线AB 的方程.
解析 (1)设A(x ,y ),B(x ,y ),则x ≠x ,x +x =2,
故直线AB 的斜率
② 得y'=x. 设M(x ,y ), 由题设知x =1, 于是M
设直线AB 的方程为y =x+m,
解释能力
B为曲线C
力、推测
例7设A
析计算
典
分
上两点，A与B 的横坐标之和为2.
·
●
1
典型例题
分析计算能力、推测解释能力
典例7设A、B为曲线C: 上两点，A与B 的横坐标之和为2.
(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C上一点，曲线C在点M 处的切线与直线AB
平行，且AM⊥BM, 求直线AB 的方程.
解析 故线段AB的中点为N(1,1+m) 将y=x+m代入y=,得
x -2x-2m=0. 由A=4+8m>0, ,x1,2=1±√ 1+2m. 从而
|AB|= √2|x -x I=2 √2(1+2m). 由题设知|AB|=2|MN|, 即 √ 2(1+2m)=
,解 .所以直线AB的方程为 叠
设直线方程，并与抛物线的方程联立消去x(或y)得关于y(或x)的
一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)
坐标的2倍从而求斜率，进而可写出直线方程
将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由
再由点斜式写出直线方程
探究点8与抛物线有关的中点弦及通径问题
1.“中点弦”问题解题方法
传统法
点差法
斜率，
探究点8与抛物线有关的中点弦及通径问题
2.解决中点弦问题的基本方法是点差法和利用根与系数关系的“设而不求”
法，直线方程与抛物线方程联立时，有时消y更简捷.此类问题还要注意斜率不
存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线y =2px(p>0) 上两点
A(x ,y ),B(x ,y )及AB 的中点P( x ,yo),则 ,直线AB 的方程为y-
线 段AB 的垂直平分线的方程
●
3.通径
(1)定义
通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A、B两点的线段AB, 称为
抛物线的通径.
注意：通径是所有焦点弦中最短的弦.
如图所示，对于抛物线y =2px(p>0),
由 可得|AB|=2p,
故抛物线的通径长为2p.
探究点8与抛物线有关的中点弦及通径问题
探究点8与抛物线有关的中点弦及通径问题
(2)通径在反映抛物线开口大小上的作用
线段AB叫做抛物线的通径，长度为2p,这是常数2p的又一几何意义，所以p越
大 ，通径越大，即抛物线的开口越大；反之，p 越小，通径越小，即抛物线的开口越
小.
要点辨析
1.解决中点弦问题的基本方法是点差法，因为用点差法求轨迹方程时用到了斜
率，所以必须验证斜率不存在的情况.
2.直线与抛物线相交于两点，隐含着条件△>0,求y +y 及x +x 是为利用
中点坐标公式做准备.
典型例题
简单问题解决能力
典例8 已知抛物线y =2x, 过点Q(2,1) 作一条直线交抛物线于A、B两点，试
求弦AB 的中点的轨迹方程.
志路本题思路一：利用点差法，设点作差，要考虑直线的斜率不存在的情况
思路二：可设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，得一元二次方程，利用根与系
数的关系及中点坐标公式，消参后即可得轨迹方程，同样要考虑斜率不存在的情况.
典例8 已知抛物线y =2x, 过点Q(2,1) 作一条直线交抛物线于A、B两点，试
求弦AB 的中点的轨迹方程.
解 析 解法一：设A(x ,y ),B(x ,y ),弦AB 的中点为M(x,y),则y +y =2y.
当直线AB的斜率存在时 易
①-②,得(y +y )(v -y )=2(x -x ),所以2y. ,即2y. ,即
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x 轴时，AB的中点坐标为(2,0),
适合上式，故所求轨迹方程为
简单问题解决能力
典型例题
① ②
叠
典例8已知抛物线y =2x, 过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A、B 两点，试
求弦AB 的中点的轨迹方程.
解析解法二：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-1=k(x-2)(k≠0),
由
设A(x ,y ),B(x ,y ),AB的中点为P(x,y),则
毒
"
简单问题解决能力
典型例题
典型例题
简单问题解决能力
典例8已知抛物线y =2x, 过点Q(2,1) 作一条直线交抛物线于A、B两点，试
求弦AB 的中点的轨迹方程.
解析
次 ) 消去，得
当直线AB 的斜率不存在，即AB⊥x 轴时，AB 的中点坐标为(2,0),适合上式.
故所求轨迹方程为 叠
●
设交点坐标为A(x ,y ),B(x , y ), 则有△>0,以及x +X ,X x , 还可进一
步求出y +y =kx +b+kx +b=k(x +x )+2b,y y =
(kx +b)(kx +b)=k x x +kb(x +x )+b .
探究点9与抛物线有关的弦长问题
直线l:y=kx+b, 抛物线C:y =2px,(p>0).
计算与抛物线有关弦长问题一般用联立方程法：
探究点9与抛物线有关的弦长问题
在涉及弦长、中点、对称、面积等问题时，常用此法，比如：
(1)相交弦AB 的弦长
|AB|=√ 1+k |x -x |=√ 1+k2.
或
(2)中点M(x ,y ),
尊
)
要点辨析
当直线经过抛物线y =2px(p>0)
的焦点时，弦长|AB|=x +x +p.
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
典例9已知直线2x+my-8=0 经过抛物线x =4y 的焦点，与抛物线相交于
A、B 两点，0为坐标原点，则△OAB 的 面 积 为 ( )
A.√ 17 B C.4 D.1
解析求出抛物线的焦点坐标可得直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出
,利用点到直线距离公式求得点0到直线的距离，再由三角形面积公式可
得结果.因为抛物线x =4y 的焦点为(0,1),所以代入直线方程得m-8=0, 即
m=8, 所以直线方程为 ,与抛物线方程联立得x +x-4=0,
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
典例9已知直线2x+my-8=0 经过抛物线x =4y 的焦点，与抛物线相交于
A、B 两点，0为坐标原点，则△OAB 的面积为( B )
A.√ 17 B C.4 D.1
解析 所以弦长 。 9
又点0到直 的距离
所以△OAB 的面积为
●
探究点10与抛物线有关的最值问题
1.具有定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题处理.
2.一般方法是由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来解最值.
3.常见问题类型及处理方法：
(1)题型： 一是求抛物线上一点到定直线的最小距离；二是求抛物线上一点到
定点的距离的最值问题.
(2)方法： 一是利用数形结合求解；二是利用两点间距离公式并结合求函数最
值的方法求解.
4.此类问题应注意抛物线的几何性质的应用，尤其是范围的应用.
要点辨析
与抛物线有关的最值问题， 一般情况下都与抛物线的定义有关. “看到准线想焦
点，看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径 .
注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离
lyl+2.
典型例题
简单问题解决能力
典例10 已知直线l:y=2x-4 交抛物线y =4x 于A、B 两点，试在抛物线AOB
这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
思路解决本题的关键是弦AB 的长为定值将点P到直线AB 的距离的最值问题转化为
二次函数最值问题求解.在应用配方法求最值时， 一定要注意自变量的取值范围
由 解
设P(xo,yo)为抛物线AOB
不妨设A(4,4),B(1,-2), 则|AB|=3√5.
这段曲线上一点，d为点P到直线AB 的距离，
解析
典型例题
简单问题解决能力
典例1 0 已 知 直 线l:y=2x-4 交抛物线y =4x 于A、B两点，试在抛物线AOB
这段曲线上求一点P, 使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积.
解析
∵-2从而当y =1 时
因此，当点P 的坐标为 时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为
●
叠