人教A版高中数学必修第一册 第5章 三角函数 课件(1)(共37张PPT)

(共37张PPT)
人教2019A版必修第一册
第五章 三角函数
小结与复习
任意角的三角函数{三角函数线
平方关系sin α+cos α=1 同角的三角函数关系
商数关系tanα=sosg
弧 度 制角度与弧度的换算：1°=80ad,1 正 弦
三角函数的定义 余弦
正切
正角、负角、零角
象限角、终边相同的角
1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角
任意角
任意角和弧度制
知识框图
三 角 函 数
公式一～四：a+2kπ(k∈Z), 一a,π± α的三角函数值等于α的同名函数值，
前面加上一个把a 看成锐角时原函数值的符号
公式五、六： 2±a 的正(余)弦函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
[A, W,φ 对函数图象的影响
函数y=Asin(ox+φ) 的图象{ 五点法
三角函数模型的简单应用
周期性
奇偶性
性质单调性
最大、最小值
正弦曲线、余弦曲线、正切曲线
图象特征
三角函数 三角函数的图象与性质
图象画法变换法
三角函数的诱导公式
图象{
专题训练
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题
正弦函数y=sinx, 余弦函数y=cosx, 在教材中已研究了
它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨.
函数y=sinx,x∈ R 的图象是中心对称图形，并且有无穷
多个对称中心，对称中心是图象与x 轴的任一交点，坐标为(kπ,
0)(k∈Z); 函 数y=cosx,x∈ R 的对称中心坐标为 0)(k
∈Z), 以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称轴分
别是x=kπ+z(k∈Z) 和x=kπ(k∈Z); 函 数y=tanx 的对称中心 坐标为 0)(k∈Z),,但它不是轴对称图形.
例题① 求 函 数 的对称中心和对称轴方程.
[分析] 利用三角函数的图象，把 看做一个变量，
用换元的方法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑 y=sinx
的关系，利用变换的思想求对称轴与对称中
心 .
设
0),
则函数y=sinA 的对称中心为(kπ,
0),对称轴为x
的对称中心为
对称轴方程为
所以
即
少
重
[点拨] 本例中给出求三角函数的对称轴与对称中心的
两种方法，这都是解决三角问题的基本方法，要切实理解好.
专题二 三角函数的值域与最值问题
求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1)是y=Asin(wx+
φ)+k 类型的，应利用其图象与性质、数形结合求解.(2)是可 化为以三角函数为元的二次函数类型，应确定三角函数的范 围，再用二次函数求解.(3)利用几何意义求解等.
为[一5,1],求a、b 的值.
[分析] 先 由x 的范围确定 的范围，再根据 a
的符号，讨论a 、b 的值 .
在 上的值域
例题 ②已知函数
解
解得
[ 解 析 ] ∵ ,∴
∴a 、b 的取值分别是4、 —3或一4 、—1 .
∴当a>0 时，
当 a<0 时，
,
[点拨] 本题是先由定义域确定正弦函数 的
值域，但对整个函数的最值的取得与a 有关系，故对a 进行分
类讨论.
例题③ 设a≥0, 若 y=cos x—asinx+b 的最大值为0,最
小值为一4,试求a 、b 的值 .
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解.
由以上两式①②,得a=2,b=—2, 舍 a=—6 (与0≤a≤2
矛盾).
当0≤a≤2 时，
[解析] 原函数变形为
由以上两式③④,得a=2, 不 适 合a>2,∴ 应舍去 .
综上知，只有一组解
当 a>2 时，
[点拨] 一元二次函数区间最值问题含有参数时，应按照
对称轴与区间的相对位置去讨论.
专题三 三角函数的性质及应用
例题④若θ为第二象限角，试判断 的符号.
[分析] 确定符号，关键是确定每个因式的符号，而每个
因式的符号关键是看角所在的象限.
—1∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,∴
∴—1(1)求函数fi(x) 的表达式；
(2)将函数y=fi(x) 的图象向右平移 个单位，得函数y=f (x
的图象，求y=f (x) 的最大值，并求出此时自变量x 的集合 .
专题四 三角函数图象的平移及变换
例 题 5 函 数fi(x)=Asin(ox+φ)(A>0,w>0,
图象过点(0,1),如图所示.
的一段
[分析] 首先由图可确定周期 可得y
=Asinwx, 利用平移知识可知，图象对应的函数为y=Asino(x
[解析] (1)由图知，T=π, 于是 .将 y=Asin2x
的图象向左平移 ,得y=Asin2(x+12)=Asin(2x+6),∴
将(0,1)代入
当
即 时 ，ymax=2.
∴此时x 的值集合为 ,k∈Z}.
专题五三角函数式的化简
1. 三角函数式化简的基本原则：
(1)“切”化“弦”.
(2)异名化同名
(3)异角化同角.
(4)高次降幂.
(5)分式通分.
(6)无理化有理.
(7)常数的处理(特别注意“1”的代换).
2.三角函数式化简的基本技巧.
(1)sina,cosa→ 凑倍角公式.
(2)1±cosa→升幂公式.
(3)1±sina化为 再升幂或化
(4)asina+bcosa→辅助角公式 asina+bcosa=√a +b ·sin(a+
φ),其中 或asina+bcosα=√a +b cos(a-φ), 其中 tang
[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角各个名
称 .
例 5 化简：
专题六 三角函数的求值
三角函数的求值有三种类型：
(1)给角求值： 一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，
利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于
“变角”,如：a=(a+β) 一β,2a=(a+β)+(a —β)等.把所求角用含已知角的式
子表示，求解时要注意角范围的讨论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求
值”,关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该
函数的单调性求得角.
[探究] 利用β=(a+β)—α进行角的代换，则cosβ=cos[(a+
β)一a],利用公式展开，结合已知条件求解.
[解析] ∵a 、 β 均为锐角，∴0例6已知tana=43,
cosβ的值.
,a 、β
均为锐角，求
故cosβ=cos[(a+β)一a]
=cos(a+β)cosa+sin(a+β)sina
又tana=4√3,
1. 三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒
等式证明和条件恒等式证明.
(1)不附加条件的恒等式证明.
就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变
换的重要思想之一.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较 繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.
专题七 三角恒等式的证明
(2)条件恒等式的证明.
这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所给
条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元 法 .
2. 证明三角恒等式常用的方法.
(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明过
程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”.
(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子.
(3)把要证的等式进行等价变形.
(4)作差法，证明其差为0.
例7求证：
[探究] 本题目中角有x 、4x, 函数名称有切、有弦.证明可
从左到右，或从右到左，统一角，统一函数名称.
原式得证.
[证明]
专题 八 三角恒等变换
三角恒等变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关系是
学习的关键.对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚角的 变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会逆向运
用；对于倍、半角公式，可从a 与 之间的关系出发思考，通过这
种关系的思考而建立函数式之间的联系.对于和积互化公式，应
抓住公式特点进行变形，辅助角公式则是应用较为广泛的公式， 讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时，常使用此公式变 换 .
[探究] 将 f(x) 化成一角一函数的形式，再用y=Asin(wx+φ)
的性质作出解答.
(1)求 f(x)的最大值及最小正周期；
(2)若锐角α满足f(a)=3-2√3, 求
例 8 设f(x)=6cos x-√3sin2x.
的值.
故f(x)的最大值为2 √3+3;
最小正周期
又由
故
(2)由f(a)=3-2√3, 得
从而
解得
故