人教A版新教材高中数学选择性必修第一册课件-空间直角坐标系(共48张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版新教材高中数学选择性必修第一册课件-空间直角坐标系(共48张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-02 18:27:06 | ||
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文档简介
(共48张PPT)
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学 习 目 标
核心素养
1.了解空间直角坐标系的建立 过程 .
1.通过建立空间直角坐标系，确
定点的坐标，提升学生直观想象
2.掌握空间直角坐标系中点的 坐标的确定.(重点)
的核心素养.
2.通过空间向量的坐标表示，培
3.掌握空间向量的坐标表示 重点、难点)
养学生直观想象和数学建模的核
心素养.
情境引入·助学助教
(1)数轴Ox上的点M, 用代数的方法怎样表示呢
数轴Ox上的点M, 可用与它对应的实数x表示；
(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间
的点呢
(2)直角坐标平面上的点M, 怎样表示呢
直角坐标平面上的点M, 可用一对有序实数(x,y) 表示.
空间直角 坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,
k},以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方
向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
一新知初探一
1.空间直角坐标系
坐标轴
x _ 轴 、 y 轴 、 z 轴
坐标原点
点 0
坐标向量
i ,
坐标平面
Oxy平 面 、Oyz平面和Oxz平面
右手直角 坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正
方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴
正方向，则称坐标系为右手直角坐标系
空间直 角坐标 系中A 点坐标
在空间直角坐标系中，i,j,k为坐标向量，对空间任一点
A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定，
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使OA=xi+yj+zk_,则_ 叫做点A在空间直角坐 标系中的坐标.记作A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标，
y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
2 空间向量的坐标表示
空间直 角坐标 系中A 点坐标
在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，
存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk,则
x,y,z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作
a=(x,y,z)
初试身手一
1.思考辨析(正确的打“√ ”,错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x=0, 竖坐标z=0.( )
(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z=0. ( )
(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐
标相反 . ( )
[提示](1)×(2)×(3) √
2. 已 知i,j,k 是空间直角坐标系O-xyz的坐标向量，并且AB=
i+j-k, 则B 点的坐标为( )
A.(—1,1,—1) B.(—i,j,—k)
C.(Y,—1,—1) D. 不 确 定
D [向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题
中起点没固定，所以终点的坐标也不确定.]
3. 已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为1,若以{AB,AD,AA
为基底，则AC =_ ,AC1 的坐标是 .
AA +AB+AD (1,1,1) [若以{AB,AD,AA } 为基底，∵AC
A B +B C =AA +AB+AD
∴AC 的坐标为(1,1,1).]
.合、作探究、释、疑、难
求空间点的坐标
【例1】 如图，在长方体ABCD-A B C D 中，|AB|=4,|AD|=
3,AA |=5,N 为棱CC 的中点，分别以DA,DC,DD 所在的直线
为x轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.
(1)求点A,B,C,D,A ,B ,C ,D 的坐标；
2)求点N的坐标.
[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各
点的坐标.
[解](1)显然D(0,0,0),
因为点A在x轴的正半轴上，且AD|=3,
所以A(3,0,0).同理，可得C(0,4,0),D (0,0,5).
因为点B在坐标平面xOy内 ，BC⊥CD,BA⊥AD, 所 以
B(3,4,0).同理，可得A (3,0,5),Ci(0,4,5),与 B 的坐标相比，点B 的
坐标中只有竖坐标不同，BB |=|AA | =5, 则 B (3,4,5).
(2)由(1)知C(0,4,0),C (0,4,5),
则C C 的中点N
即N
x轴上 (x,0,0) xOy平面上
y轴上 (0,y,0) yOz平面上
z轴上 (0,0,z) xOz平面上
(x,0,z)
坐标原点 (0,0,0)
o ●规 律 方 法
坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点
[跟进训练]
1.在正方体ABCD-A B C D 中，E,F 分别是BB ,D B 的中
点，棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，则E,F 的坐标分
别为L
答案] E1, 1,
求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(一2,1,4).
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P 关于点M(2,-1,-4) 的对称点的坐标.
[思路探究] 求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称
轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即
可写出对称点坐标.
解 ](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y
轴 、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P (一2, — 1,一
4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y 轴的分量不变，在
z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P (-2,1,-4).
(3)设对称点为P (x,y,z), 则 点M为线段PP 的中点.由中点坐
标公式，可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2× (一
4) - 4= - 12,所以P (6,-3,-12).
规律方法·
1.求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，
其余的符号均相反. ”
在空间直角坐标系中，任一点P(a,b,c) 的几种特殊的对称点
的坐标如下：
对称轴或对称中心
对称点坐标
x轴
y轴
z轴
平面
平面
平面
坐标原点
规律方法
2.在空间直角坐标系中，若A(x ,y ,z ),B(x ,y ,Z ),
段AB的中点坐标
●规 律 方 法
则线
[跟进训练]
2 . 点P(一3,2,—1)关于平面xOz的对称点是 ,关于z轴
的对称点是 , 关 于M(1,2,1)的对称点是 .
( - 3, - 2, 一 1)(3, - 2, — 1)(5,2,3)[ 点P(一3,2,一1)关
于平面xOz的对称点是( - 3, - 2, - 1),关于z轴的对称点是(3,一 2 - 1 ) . 设 点P(-3,2,-1) 关于M(1,2,1)的对称点为(x,y,z).
故点P(一3,2,—1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3).]
解
[探究问题]
1.在正三棱柱ABC-A B C 中，已知△ABC的边长为1,三棱柱
的高为2,如何建立适当的空间直角坐标系
空间向量的坐标表示
[提示] 分别取BC,B C 的中点D,D , 以 D为原点，分别以
pc,DA,DD 的方向为x轴 、y 轴 、z 轴的正方向建立空间直角坐标
系，如图所示.
则BA的坐标是多少
一c).
2 . 若AB=(a,b,c),
[提示]BA=(-a,-b,
【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A B C 的底面△ABC 中 ，CA
=CB=1, ∠BCA=90°, 棱AA =2,M,N 分别为A B ,A A 的中
点，试建立恰当的坐标系求向量BN,BA,A B 的坐标.
[思路探究] 以 点C为原点，分别以CA,CB,CC 的方向为x
轴 ，y 轴 ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN,
B 分别用CA,CB,c c 表示出来，再写出它们的坐标.
解 ] 法 一：由题意知CC ⊥AC,CC ⊥BC,AC⊥BC, 以点C
为原点，分别以CA,CB,CC 的方向为x轴 ，y轴 ，z 轴的正方向建立 空间直角坐标系C-xyz, 如图所示.
标为(1,-1,1),
而BA =CA -CB=CA-CB+CC,
.BA 的坐标为(1,-1,2).
又∵A B=—BA ,∴A B 的坐标为(-1,1,一2).
法二：建系同法一，则B(0,1,0),A(1,0,0),A (1,0,2),N(1,0,1),
∴BN=(1,-1,1),BA =(1,-1,2),A B=(-1,1, 一2).
[母题探究]
[变条件] 本例中，若把条件“AA =2” 改 为“AA =1”, 结 果
怎样
[解] 建系方式与例题相同，建系， 因
为{CA,CB,cc}为单位正交基底，
又BA =CA-CB+CC,∴BA =(1,—1,1).
所以A B=—BA =(-1,1,—1).
观图形 建系
观察图形特征， 根据图形特 寻找两两垂直 征建立空间 的三条直线 直角坐标系
定结果
确定向量 的坐标
用坐标表示空间向量的步骤
计算
用基底表 示向量
规律方法
[跟进训练]
3.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F
DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量EF,B F,A E 的坐标.
分别为棱BB ,
[解] (1)由题图知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),
A (2,0,2),B (2,2,2),C (0,2,2),D (0,0,2),
(2)因为E,F 分别为棱BB ,DC 的中点，
由中点坐标公式，得E(2,2,1),F(0,1,0).
所以EF=(-2,-1,-1),B F=(-2,-1,-2),A E=
(Q,2,-1).
。 课
必备素养一
1.在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要
记住规律：“在谁的轴上，谁属于R, 其它为零；在谁的平面上，
谁属于R, 其它为零.”“关于谁对称谁不变，其余变成相反
数.”
2.空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标
系， 一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基
向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所
求向量的坐标.
学以致用一
1 . 设 点P(1,1,1) 关于xOy平面的对称点为P , 则 点P 关于z轴的
对称点P 的坐标是( )
A.(1,1,—1) B.(—1,—1,—1)
C./(-1,—1,1) D.(1,—1,1)
B [由条件知，P (1,1, 一 1 ) ,P 关于z轴的对称点为(一1,一
1-1).]
2. 在长方体ABCD-A B C D 中，若AB=3i,AD=2j, AA =
5k, 则向量AC 在基底{i,j,k} 下 的 坐 标 是 ( )
A.(1,1,1) B.
C.(3,2,5) D.(3,2,—5)
C [AC =AB+BC+CC =AB+AD+AA =3i+2j+5k,∴ 向 量
Ad 在基底i,j,k} 下的坐标是(3,2,5).]
2√3[AB=OB-OA=(-3i+4j+k)-(-i+2j+3k)=-2i+2j 一
2k.
∴AB|= √ (-2) +2 + (一2) =2 √3.]
3.在空间直角坐标系中，A(-1,2,3),B(-3,4,1), 则 AB |=
4 . 已知点A(1,2,2),B(1,—3,1), 则AB 的中点M 的坐标为
[AB的中点坐标为
1,
1
2
, 即
1,
3
5. 已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M,N 分别是AB,PC 的中
点，并且AB=AP=1, 分别以DA,AB,AP 为单位正交基底建立如 图所示的空间直角坐标系，求MN,DC 的坐标.
解] 设DA=e ,AB=e ,AP=e , 则Dc=AB=e ,
,DC=(0,1,0).
··
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学 习 目 标
核心素养
1.了解空间直角坐标系的建立 过程 .
1.通过建立空间直角坐标系，确
定点的坐标，提升学生直观想象
2.掌握空间直角坐标系中点的 坐标的确定.(重点)
的核心素养.
2.通过空间向量的坐标表示，培
3.掌握空间向量的坐标表示 重点、难点)
养学生直观想象和数学建模的核
心素养.
情境引入·助学助教
(1)数轴Ox上的点M, 用代数的方法怎样表示呢
数轴Ox上的点M, 可用与它对应的实数x表示；
(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间
的点呢
(2)直角坐标平面上的点M, 怎样表示呢
直角坐标平面上的点M, 可用一对有序实数(x,y) 表示.
空间直角 坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,
k},以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方
向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
一新知初探一
1.空间直角坐标系
坐标轴
x _ 轴 、 y 轴 、 z 轴
坐标原点
点 0
坐标向量
i ,
坐标平面
Oxy平 面 、Oyz平面和Oxz平面
右手直角 坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正
方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴
正方向，则称坐标系为右手直角坐标系
空间直 角坐标 系中A 点坐标
在空间直角坐标系中，i,j,k为坐标向量，对空间任一点
A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定，
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使OA=xi+yj+zk_,则_ 叫做点A在空间直角坐 标系中的坐标.记作A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标，
y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
2 空间向量的坐标表示
空间直 角坐标 系中A 点坐标
在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，
存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk,则
x,y,z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作
a=(x,y,z)
初试身手一
1.思考辨析(正确的打“√ ”,错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x=0, 竖坐标z=0.( )
(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z=0. ( )
(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐
标相反 . ( )
[提示](1)×(2)×(3) √
2. 已 知i,j,k 是空间直角坐标系O-xyz的坐标向量，并且AB=
i+j-k, 则B 点的坐标为( )
A.(—1,1,—1) B.(—i,j,—k)
C.(Y,—1,—1) D. 不 确 定
D [向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题
中起点没固定，所以终点的坐标也不确定.]
3. 已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为1,若以{AB,AD,AA
为基底，则AC =_ ,AC1 的坐标是 .
AA +AB+AD (1,1,1) [若以{AB,AD,AA } 为基底，∵AC
A B +B C =AA +AB+AD
∴AC 的坐标为(1,1,1).]
.合、作探究、释、疑、难
求空间点的坐标
【例1】 如图，在长方体ABCD-A B C D 中，|AB|=4,|AD|=
3,AA |=5,N 为棱CC 的中点，分别以DA,DC,DD 所在的直线
为x轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.
(1)求点A,B,C,D,A ,B ,C ,D 的坐标；
2)求点N的坐标.
[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各
点的坐标.
[解](1)显然D(0,0,0),
因为点A在x轴的正半轴上，且AD|=3,
所以A(3,0,0).同理，可得C(0,4,0),D (0,0,5).
因为点B在坐标平面xOy内 ，BC⊥CD,BA⊥AD, 所 以
B(3,4,0).同理，可得A (3,0,5),Ci(0,4,5),与 B 的坐标相比，点B 的
坐标中只有竖坐标不同，BB |=|AA | =5, 则 B (3,4,5).
(2)由(1)知C(0,4,0),C (0,4,5),
则C C 的中点N
即N
x轴上 (x,0,0) xOy平面上
y轴上 (0,y,0) yOz平面上
z轴上 (0,0,z) xOz平面上
(x,0,z)
坐标原点 (0,0,0)
o ●规 律 方 法
坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点
[跟进训练]
1.在正方体ABCD-A B C D 中，E,F 分别是BB ,D B 的中
点，棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，则E,F 的坐标分
别为L
答案] E1, 1,
求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(一2,1,4).
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P 关于点M(2,-1,-4) 的对称点的坐标.
[思路探究] 求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称
轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即
可写出对称点坐标.
解 ](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y
轴 、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P (一2, — 1,一
4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y 轴的分量不变，在
z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P (-2,1,-4).
(3)设对称点为P (x,y,z), 则 点M为线段PP 的中点.由中点坐
标公式，可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2× (一
4) - 4= - 12,所以P (6,-3,-12).
规律方法·
1.求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，
其余的符号均相反. ”
在空间直角坐标系中，任一点P(a,b,c) 的几种特殊的对称点
的坐标如下：
对称轴或对称中心
对称点坐标
x轴
y轴
z轴
平面
平面
平面
坐标原点
规律方法
2.在空间直角坐标系中，若A(x ,y ,z ),B(x ,y ,Z ),
段AB的中点坐标
●规 律 方 法
则线
[跟进训练]
2 . 点P(一3,2,—1)关于平面xOz的对称点是 ,关于z轴
的对称点是 , 关 于M(1,2,1)的对称点是 .
( - 3, - 2, 一 1)(3, - 2, — 1)(5,2,3)[ 点P(一3,2,一1)关
于平面xOz的对称点是( - 3, - 2, - 1),关于z轴的对称点是(3,一 2 - 1 ) . 设 点P(-3,2,-1) 关于M(1,2,1)的对称点为(x,y,z).
故点P(一3,2,—1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3).]
解
[探究问题]
1.在正三棱柱ABC-A B C 中，已知△ABC的边长为1,三棱柱
的高为2,如何建立适当的空间直角坐标系
空间向量的坐标表示
[提示] 分别取BC,B C 的中点D,D , 以 D为原点，分别以
pc,DA,DD 的方向为x轴 、y 轴 、z 轴的正方向建立空间直角坐标
系，如图所示.
则BA的坐标是多少
一c).
2 . 若AB=(a,b,c),
[提示]BA=(-a,-b,
【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A B C 的底面△ABC 中 ，CA
=CB=1, ∠BCA=90°, 棱AA =2,M,N 分别为A B ,A A 的中
点，试建立恰当的坐标系求向量BN,BA,A B 的坐标.
[思路探究] 以 点C为原点，分别以CA,CB,CC 的方向为x
轴 ，y 轴 ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN,
B 分别用CA,CB,c c 表示出来，再写出它们的坐标.
解 ] 法 一：由题意知CC ⊥AC,CC ⊥BC,AC⊥BC, 以点C
为原点，分别以CA,CB,CC 的方向为x轴 ，y轴 ，z 轴的正方向建立 空间直角坐标系C-xyz, 如图所示.
标为(1,-1,1),
而BA =CA -CB=CA-CB+CC,
.BA 的坐标为(1,-1,2).
又∵A B=—BA ,∴A B 的坐标为(-1,1,一2).
法二：建系同法一，则B(0,1,0),A(1,0,0),A (1,0,2),N(1,0,1),
∴BN=(1,-1,1),BA =(1,-1,2),A B=(-1,1, 一2).
[母题探究]
[变条件] 本例中，若把条件“AA =2” 改 为“AA =1”, 结 果
怎样
[解] 建系方式与例题相同，建系， 因
为{CA,CB,cc}为单位正交基底，
又BA =CA-CB+CC,∴BA =(1,—1,1).
所以A B=—BA =(-1,1,—1).
观图形 建系
观察图形特征， 根据图形特 寻找两两垂直 征建立空间 的三条直线 直角坐标系
定结果
确定向量 的坐标
用坐标表示空间向量的步骤
计算
用基底表 示向量
规律方法
[跟进训练]
3.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F
DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量EF,B F,A E 的坐标.
分别为棱BB ,
[解] (1)由题图知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),
A (2,0,2),B (2,2,2),C (0,2,2),D (0,0,2),
(2)因为E,F 分别为棱BB ,DC 的中点，
由中点坐标公式，得E(2,2,1),F(0,1,0).
所以EF=(-2,-1,-1),B F=(-2,-1,-2),A E=
(Q,2,-1).
。 课
必备素养一
1.在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要
记住规律：“在谁的轴上，谁属于R, 其它为零；在谁的平面上，
谁属于R, 其它为零.”“关于谁对称谁不变，其余变成相反
数.”
2.空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标
系， 一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基
向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所
求向量的坐标.
学以致用一
1 . 设 点P(1,1,1) 关于xOy平面的对称点为P , 则 点P 关于z轴的
对称点P 的坐标是( )
A.(1,1,—1) B.(—1,—1,—1)
C./(-1,—1,1) D.(1,—1,1)
B [由条件知，P (1,1, 一 1 ) ,P 关于z轴的对称点为(一1,一
1-1).]
2. 在长方体ABCD-A B C D 中，若AB=3i,AD=2j, AA =
5k, 则向量AC 在基底{i,j,k} 下 的 坐 标 是 ( )
A.(1,1,1) B.
C.(3,2,5) D.(3,2,—5)
C [AC =AB+BC+CC =AB+AD+AA =3i+2j+5k,∴ 向 量
Ad 在基底i,j,k} 下的坐标是(3,2,5).]
2√3[AB=OB-OA=(-3i+4j+k)-(-i+2j+3k)=-2i+2j 一
2k.
∴AB|= √ (-2) +2 + (一2) =2 √3.]
3.在空间直角坐标系中，A(-1,2,3),B(-3,4,1), 则 AB |=
4 . 已知点A(1,2,2),B(1,—3,1), 则AB 的中点M 的坐标为
[AB的中点坐标为
1,
1
2
, 即
1,
3
5. 已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M,N 分别是AB,PC 的中
点，并且AB=AP=1, 分别以DA,AB,AP 为单位正交基底建立如 图所示的空间直角坐标系，求MN,DC 的坐标.
解] 设DA=e ,AB=e ,AP=e , 则Dc=AB=e ,
,DC=(0,1,0).
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