5.1任意角 课件(共45张PPT) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(共45张PPT)
现在是数学时间
5.1.1任意角
1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.
2.掌握象限角的概念，并能用集合表示象限角.
3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题
课标要求
初中角的定义：
有公共顶点的两条射线组成的图形.
问 题生活中有超出0°~360°角的例子吗 请你举例说明.
静态定义
局限于0°~360°
创设情境，引出问题
问 题生活中有超出0°~360°角的例子吗 请你举例说明.
“前空翻转体720度”
“后空翻转体720度”
问 题这些角跟初中定义的角有哪些不同
1.具有方向，动态形成
2.角度大小再无限制
静 态定 义
局 限 于 -O～350
初中角的定义：
有公共顶点的两条射线组成的图形.
静态定义
局限于0°~360°
静 态 定 义
局 限 于 - 0 0 ～ 3 6 0
初中角的定义：
有公共顶点的两条射线组成的图形.
高中角的定义：
一条射线绕其端点旋转形成的图形.
始边： 射线的起始位置.
终边： 射线的终止位置.
静态定义
局限于0°~360°
特点：
动态定义
再无范围
角的表示
如图所示，角α可记为“a”或“∠a”或“∠AOB”,始 边 ：OA , 终边：
问题根据高中动态角的定义，角依据其旋转方向可以分为几类 我们该如何表示
OB , 顶点：0 .
类型 定义
图示
正角 一条射线绕其端点按 逆时针 方向旋 转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 顺时针 方向旋转 形成的角
零角 一条射线没有做 任何旋转 就称它形成 了一个零角
A
知识点1 任意角
1.角的概念： 一条 绕着它的端点
2.角的分类：按旋转方向可将角分为三类
旋转 所成的图形.
思考
1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化
提示角的概念推广后，角度的范围不限于0°~360°,而是任意的角，包括正角、
负角与零角.将角的概念推广到任意角!
2.始边与终边重合的角一定是零角吗
零角 一条射线没有做_任何旋转_,就称它形成 了一个零角
0
提示不一定.只有始边没做任何旋转，终边与始边重合的角才是零角.
如果图中∠AOB=30°,∠AOB =150°,∠AOB =60° 能读出下图中的各个角度吗
四、初步应用，理解定义
(1D (2)
你
(1)
(2)
它们同样也可能有相等、相反关系.
1.很自然的，正角>零角>负角，如果两个角都是正角，旋转量大的角 大，如果两个角都是负角，则旋转量大的反而小 (类比实数比大小) 2.如果一个角的旋转量和旋转方向与另一个角的旋转量和旋转方向都 一样，我们就称这两个角相等.如果一个角的旋转量与另一个角的旋 转量都一样，但旋转方向不同，我们就称这两个角互为相反角.
问题两个实数之间可能有相等、相反关系，类比实数两个角之间会有 什么关系呢
给角添上符号，用符号来表示方向，
使角也获得了类似于实数一样的数量特征.
五、通过类比，获得概念
(1)相等角：设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O旋转
而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
(2)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角
叫做互为相反角.角α的相反角记为-a.
问题角能像实数一样进行运算吗
(1) (2)
知识点1 任意角
3.相等角与相反角
角的减法： 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的 相反数”一样，我们有α-β=α+(-β) . 这样，角的减 法可以转化为角的加法.
角的加法： 设α,β是任意两个角.我们规定，把角α的终 边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β .
五、通过类比，获得概念
= β
C
β
十
a
知识点1 任意角
4.角的加减
设a,β 是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角
是α+β.
β>0时，旋转量为β,按逆时针方向旋转；
β<0时，旋转量为Iβl, 按顺时针方向旋转
过关自诊
1.判断正误.(正确的画 √,错误的画X)
(1)经过1小时，时针转过的角为30°.(× )
(2)如果两个角的旋转量相等，那么这两个角是相等角.( × )
(3)任意角α的终边按逆时针方向旋转，越旋转α越大.( √ )
(4)把30°角的终边按顺时针方向旋转10°后终边所对应的角为20°.(√ )
名师点睛
角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，
对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几 何双重意义.
探究
将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，
就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意
一条射线OB (图5.1-6),以它为终边的角是否唯一 如果
不唯一，那么终边相同的角有什么关系
B
图5.1-6
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
那么,角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
知识点2 象限角与终边相同的角
1.象限角
【表示成角α与
数倍
o -32
328%
-3928
名师点睛
对于集合S={βIβ=a+k·360°,k∈Z }的理解应注意三点
(1)a 是任意角. (一般是在0°~360°之间)
(2)“k∈Z ”有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值就对应一个具体的角.
②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).
③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数时，
逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转.
(3)集合中“k·360°”与“a”之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),
表示与-30°的角终边相同的角.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画 √,错误的画X)
(1)钝角是第二象限角.( √ )
(2)第二象限角是钝角.( × )
(3)第二象限角大于第一象限角. ( )
2. 相等的角终边相同吗 反过来，终边相同的角相等吗
提示相等的角终边一定相同.但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有
无数个，它们相差360°的整数倍.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 任意角的概念
【例1】(多选题)下列说法不正确的是( )
A. 三角形的内角不一定是第一、二象限角
B.始边相同，终边相同的角不一定相等
C.钝角比第三象限角小
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
答案CD
解析A中90°角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A正确；B中始边相
同，终边相同的角不一定相等，如360°和720°,故B 正确；C 中钝角是正角，而第 三象限角可以是负角，故C不正确；D中零角或负角小于180°,但它既不是钝 角，也不是直角或锐角，故D 不正确.
规律方法理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边
与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结 论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
变式训练1
(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角分别是( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360°D.-60°,720°
(2)给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是
第二象限角；④-315°是第一象限角.其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案(1)B(2)D
解析(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而
12×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角分别是-60°,
720° .
(2)由题可得-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,
360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,所以这四个命题都是真命
题 .
角度1终边相同的角的求解
【例2】写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°~1080°范围内与
75°角终边相同的角.
解 与75°角终边相同的角的集合为
S={βIβ=k·360°+75°,k∈Z}.
因为360°≤β≤1080°,所以360°≤k·360°+75°≤1080°, 解得
又 k∈Z,所以k=1 或 k=2.
当k=1 时，β=435°;当k=2 时，β=795°.
综上所述，在360°~1080°范围内与75°角终边相同的角为435°角和795°角.
探究点二 坐标系中角的概念及其表示
规律方法 求与已知角α终边相同的角时，要先将这样的角表示成
k·360°+a(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定k的值，求出
满足条件的角.
角度2终边在某条直线上的角的集合
【例3】 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
(3)终边在直线y=x上的 角的集合为
{βIβ=45°+k·180°,k∈Z},
由(2)可知终边在直线
y=-x上的角的集合为
(1)
(1)在0°~360°范围内，终边在直线y=0上的 角有两个，即0°和180°.又所有与0°角终边 相同的角的集合为
S ={βIβ=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角 终边相同的角的集合为
S ={βIβ=180°+k·360°,k∈Z},于是，终边在 直线y=0 上的角的集合为
S=S US ={βIβ=n·180°,n∈Z}.
(2)在0°~360°范围内，终边在直线y=-x上的 角有两个，即135°和315°,因此，终边在直线 y=-x上的角的集合为
S={βIβ=135°+k·360°,k∈Z}U{βIβ=315°+k·
360°,k∈Z}
={βIβ=135°+n-180°,n∈Z}.
Z}U{βIβ=135°+k·180°, k∈Z}
={βIβ=45°+2k·90°,k∈Z
}U{βIβ=45°+(2k+1)·90° ,k∈Z}
={βIβ=45°+n·90°,n∈Z}.
y=-X {βIβ=135°+k-180°,k∈Z
},故所求角的集合为
S={βIβ=45°+k·180°,k∈
(3)
(2)
规律方法终边落在特定位置上的角的集合
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{βIβ=k·360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{βIβ=k·360°+180°,k∈Z};
终边落在x轴上的角的集合为{βIβ=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{βIβ=k·360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{βIβ=k·360°-90°,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合为{βIβ=k·180°+90°,k∈Z};
终边落在坐标轴上的角的集合为{βIβ=k·90°,k∈Z}.
角度3区域角的求解
【例4】如图所示，写出顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，终边落在阴影
部分内的角的集合(包括边界).
(1)
解(1)对于阴影部分，先取-60°~75°这一范围，再结 合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合 为{al-60°+k·360°≤a≤75°+k·360°,k∈Z}.
解在0°~360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范 围为150°≤a≤225°, 则所有满足条件的角α的集合 为{alk·360°+150°≤a≤k·360°+225°,k∈Z}.
解在0°~360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界) 的角为60°≤a<105°与240°≤a<285°, 所以所有满 足题意的角α的集合为
{alk·360°+60°≤a°+240°≤a<
k·360°+285°,k∈Z}={al2k·180°+60°≤a<2k·180°
+105°,k∈Z}U
{al(2k+1)-180°+60°≤a<(2k+1)·180°+105°,k∈Z} ={aln:180°+60°≤a(2)对于阴影部分，先取60°~90°这一范围，再结合 其规律性可知终边落在阴影部分内角的集合为 {a160°+k·180°≤a≤90°+k·180°,k∈Z}.
0 X
-120/
(2)
60°
规律方法 区域角的写法
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步：
(1)借助图形，在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终
止边界；
(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的0°~360°或
-180°~180°范围内的角α和β;
(3)分别将起始边界、终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍，即可求得区
域角.
当 k 为偶数时，令k=2n(n∈Z), 得 n:360°+45°<2当k 为奇数时，令k=2n+1(n∈Z), 得 °,则 是第三象限角.
故 的终边在第一或第三象限.
探究点三 确定nα及“的终边所在的象限
【例5】 ( 1)已知α是第二象限角：求角 的终边所在的象限；
解(1)(方法1)∵α是第二象限角，
∴k·360°+90°(方法2)如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方
向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为 的终边所
【例5】 ( 1)已知α是第二象限角：求角 的终边所在的象限；
确定nα及“的终边所在的象限
在的区域，故 的终边在第一或第三象限角.
象限角原理
探究点三
已知2为第x象限角,求吾为第几象限角(neN+
证明:以2为第一象限角为例 2:k.360°(ke8)
将每个像限等分,每个小区间解为器 当K二时(o,)即阴影部分区间
几等分教为第二象限角2: k-310+90<<180°+k:360°
始 也 差 : 5 0 k + 1 4 R : 0 : 出
终 边 差 : 出
k+的区域即K的区域逆时针数4个区域后得到
证毕(二、三、四同 )
应用eg: 2为第一家限角,弯为第口部限角
法一:不等式表示法二,等合豫限原坦
对于任意见和R+1始终有
始过
6 火 惩 比
60k)5+1)+
又因为 与 的终边关于x轴对称，
所以 是第二或第四象限角.
【例5】 ( 2)已知α是第二象限角：求角 的终边所在的象限；
确 定nα及“的终边所在的象限
的终边在第一或第三象限角.
探究点三
探究点三 确定nα及“的终边所在的象限
【例5】 ( 3)已知α是第二象限角：求角2α的终边所在的象限.
(3)∵k·360°+90°∴k·720°+180°<2a∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
例如：k·120° ,k∈Z.
由0°<β<30°,角β的终边每次逆时针旋转120°可得角 终边的位置.
表示角的范围时要注意实线边界与虚线边界的差异.
规律方法 na 可 的终边所在象限的判断方法
(1)用不等式表示出角na 或 的范围；
(2)用旋转的观点确定角na 或 的终边所在象限.
本节要点归纳
1.知识清单：
(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：(1)锐角与小于90°角的区别；(2)对零角始边与终边的理解；(3)终
边相同角的表示中漏掉k∈Z.
学以致用·随堂检测全达标
解析对于A,90°角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；
对于B,钝角在90°到180°之间，是第二象限角，故B 不正确；
对于C,终边相同的角之间相差360°的整数倍，故C不正确；
对于D,钟表的时针按顺时针方向旋转，故是负角，故D正确.
1.(多选题)下列说法不正确的是( )
A. 三角形的内角一定是第一或第二象限角
B. 钝角不一定是第二象限角
C.相差180°的整数倍的角为终边相同的角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
答案ABC
2.把-1485°化成k·360°+a(0°≤a<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180
答案 A
3.-495°角的终边与下列哪个角的终边相同( )
A.135°B.45°
C.225°D.-225°
答案 C
解析 因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.故选
C.
答案221°
解析因为与2021°终边相同的角为k·360°+2021°,k∈Z,所以当k=-5时，符
合题意，此时角为221°.
4.(2022四川成都高一期末)在0°~360°范围内与2021°终边相同的角
为
.
答案{ alk·360°+45°解析在0°~360°范围内，阴影部分表示的范围为45°合是{alk·360°+45°5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合
是 .
6.在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限
角：
(1)-120°;
(2)640°.
解 (1)与-120°角终边相同的角的集合为M={βIβ=-120°+k·360°,k∈Z} .
当k=1 时，β=-120°+1×360°=240°,
∴在0°~360°范围内，与-120°角终边相同的角是240°,它是第三象限角.
(2)与640°角终边相同的角的集合为M={βIβ=640°+k·360°,k∈Z}.
当k=-1 时，β=640°-360°=280°,
∴在0°~360°范围内，与640°角终边相同的角为280°,它是第四象限角.