数学人教A版高中必修一(2019新编)1-4-2 充要条件 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
第1章集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
人教A 版2019必修第一册
01充要条件的判断
02充要条件的证明 03充要条件的应用
目 录
学 习 目 标
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件
的 意 义 .(重点、难点)
2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充
要 条 件 .(重点)
3. 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条
件的证明. (难点)
充要条件
(1)一般地，如果既有 p→q, 又 有 q→p, 就记作 p q.此时，我们说，p
是q 的_ 充分必要 条件，简称 充要_ 条 件 .
概括地说，如果p q, 那 么p 与 q_ 互为充要_条件 .
(2)若p→q, 但 q≠p, 则称p 是 q 的充分不必要条件.
(3)若q→p, 但p≠q, 则称p 是 q 的必要不充分条件.
(4)若p≠q, 且 q≠p, 则称p 是 q 的既不充分也不必要条件.
概念
[探究问题]
1. 记集合A ={x|p(x)},B={x|q(x)}, 若 p 是 q 的充分不必要条件，
则集合A,B 的关系是什么 若p 是 q 的必要不充分条件呢
提示：若p 是 q 的充分不必要条件，则A≠B, 若p 是 q 的必要不充分
条件，则B年A.
2. 记集合M={xp(x)},N={x|q(x)}, 若MEN, 则 p 是q 的什么条
件 若NCM,M=N 呢
提示：若 MSN, 则p 是q的充分条件，若NSM, 则 p 是q 的必要
条件，若M=N, 则 p 是 q 的充要条件.
从集合角度看充分、必要条件
(1)依据
设集合A={x|p(x)},B={x|q( x)}. 若x 具有性质p, 则x ∈A;若 x 具有性质q, 则x∈B.
若ASB, 就是说x具有性质p,则 x必具有性质q,即 p→q.类似地，BEA 与q→p等价，A=B
与p q等价 .
记法 A={ x)},B={ q(x)}
关系 A≥B B -A A=B
ACB且BCA
图示
结论 p是q的充分不必 要条件 p是q的必要不充 分条件 p,q互为充要条件
p是q的既不充分也
不必要条件
(2)结论
如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.
当所要研究的p,q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有
关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn图 或数轴解题 .
1.充要条件的判断
典例1
下列各组命题中，哪些p是充要条件
(1)p: 四边形是正方形，q: 四边形的对角线互相垂直且平分；
(2)p: 两个三角形相似，q: 两个三角形三边成比例； (3)p:xy>0,q:x>0,y>0;
(4)p:x=1 是一元二次方程ax +bx+c=0的 一 个根，q:a+b+c=0(a≠0).
解(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以p , 所
以p不是q的充要条件。
(2)因为“若p, 则 q” 是三角形的性质定理，“若q, 则p” 是相似三角形的判
定 定 理 ， 匕 1J 均 为 具 叩 题 ， 既 p q = 所 以p 定 Q 的 元 安 余 什 。
(3)因为x>0时 ，x>0,y>0 不 一 定成立(为什么),所以p a 所以p不是q的充 要条件。
(4)因为“若p, 则 q” 与“若q, 则p” 均为真命题，p g , 所以p是q的充要 条件。
总 结 ：判断充分条件、必要条件及充要
条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p, 则q”以及
“若q, 则p” 的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传
递性，即由p →p → …→p, 可得p →pn; 充要条件也有传递性.
练一练
1.“x>1”是“x+2>3”的 充要_ 条件 .
解析 当x>1时 ，x+2>3;
当x+2>3 时 ，x>1,所 以 “x>1”是“x+2>3” 的充要
条件.
练一练
2. 指出下列各组命题中，p 是q的什么条件(“充分不必要条件”
“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p:x >0,q:x>0;
解 p:x >0, 则x>0或x<0,q:x>0,
故p是q的必要不充分条件.
(2)p:a 能被6整除，q:a 能被3整除；
解 p:a 能被6整除，故也能被3和2整除，q:a 能被3整除，
故p是q的充分不必要条件.
练一练
(3)p: 两个角不都是直角，q: 两个角不相等；
解 p: 两个角不都是直角，这两个角可以相等，
q: 两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
故p是q的必要不充分条件.
(4)p:A∩B=A,q:CyBECuA.
解 ∵A∩B=A ASB CuBSCuA,
∴p是q的充要条件.
2.充要条件的证明
已 知 ： ⊙ 0 的 半 径 为r, 圆 心O 到是直线l的距离为d, 求 证 ：d=r 是直线l与
O0 相切的充要条件.
证明：设p:d=r,q: 直线l与O 0相切.
(1)充分性(p →q):如图，作OP⊥l于点P, 则 OP=d.
若d=r, 则点P在O O上.在直线l上任取一点Q(异于点P),
连接0Q.在Rt△OPQ中，0Q>0P=r. 所以，除点P外直线
l上的点都在O0 的外部，即直线l与⊙0仅有一个公共
点P.所以直线l与00相切 .
(2)必要性(q _p): 若直线l与O 0相切，不妨设切点为P, 则 OP⊥1.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r 是直线l与00相切的充要条件.
典例2
总结：充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p
是 条 件 ，q 是结论；其次推证p=q 是证明充分性， 推证q→p是证明必要性.
(2)集合思想：记p:A={xp(x)},
q:B={x|q(x)}, 若 A=B, 则p与q互为充要条件.
练一练
3.求证： 一元二次方程ax +bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 必要性：由于方程ax +bx+c=0 有一正根和一负根，
所以△=b —4ac>0, ,x 为方程的两根),所以ac<0.
充分性：由ac<0, 可 推 得b —4ac>0,及 2为方程的两根).
所以方程ax +bx+c=0 有两个相异实根，且两根异号，即方程ax +bx+c
=0有一正根和一负根.
综上可知， 一元二次方程ax +bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是
ac<0.
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p 是否是q 的充要条件，需要从充分性和必要性两
个方向进行，即证明两个命题“若p, 则 q”为真且“若q, 则 p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p 与 q 的 解
集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推
证到哪些结论.
提醒： 证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向
3.充要条件的应用
典例3
设p:x>1,q:x>a, 若p是q的充分不必要条件，
求实数a 的取值范围.
解 设A={x|x>1},B={x|x>a}.
因为p是q的充分不必要条件，
所以A EB,∴a<1.
练一练
4.设命题p: 命题q:a≤x≤a+1, 若 p 是 q 的充分不必
要条件，求实数a 的取值范围.
解 设 ,B=≤<≤a+},
由p是q的充分不必要条件，可知A S ,
或
解得 故所求实数a 的取值范围是
··
已知p:—2≤x≤10,q:1—m≤x≤1+m(m>0), 若p 是 q 的充分
不必要条件，则实数m 的取值范围为 .
即{x|-2≤x≤10} 是{x|1-m≤x≤1+m,m>0} 的真子集，所以
[因为p 是 q 的充分不必要条件，所以 p→q且 q≠p.
p 代表的集合是q 代
表的集合的真子集
[思路点拨]
{m|m≥9}
所以实数m 的取值范围为{mlm≥9}.]
p是q的充分
不必要条件
典例4
列不等式
组求解
解得m≥9.
或
练一练
5.本例中 “p 是q的充分不必要条件”改为 “p 是q的 必
要不充分条件”,其他条件不变，试求m的取值范围 .
[解] 因为p 是 q的必要不充分条件，所以q→p, 且 p≠q.
则 {x|1-m≤x≤1+m,m>0} 年{x|-2≤x≤10},
所 ,解得0即m 的取值范围是{m|06.若本例题改为：已知P={x|a-4“x∈P”是“x∈Q” 的必要条件，求实数a的取值范围.
[解] 因 为“x∈P” 是 “x ∈Q” 的必要条件，所以QSP.
所以解得-1≤a≤5,
即a的取值范围是{a|-1≤a≤5}.
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课堂基础练习
1.“1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析 设A={x|1故“12.“x=1” 是“x —2x+1=0” 的 ( A )
A.充要条件 B. 充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
解析 若x=1, 则x —2x+1=0;
若x —2x+1=0, 即(x—1) =0, 则x=1. 故为充要条件.
3.设x ∈R, 则“2—x≥0”是“x—1≤1” 的 ( B )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 由2—x≥0, 得x≤2,由 |x—1|≤1,得O≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2,
而当0≤x≤ 2时一定有x≤2,
∴“2—x≥0” 是“|x—1|≤1”的必要不充分条件.
4 . 设 a,b 是 实 数 , 则 “a +b>0” 是 “ab>0” 的
既不充分又不必要条件.
解析 若a+b>0, 取a=3,b=—2, 则ab>0不成立；
反之，若ab>0, 取a=—2,b=—3, 则a+b>0 也不成立，
因此“a+b> 0” 是“ab>0”的既不充分又不必要条件.
5.求证： 一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象过原点的充要
条件是b=0.
证明 ①充分性：如果b=0, 那 么y=kx,
当x=0 时 ，y=0, 函数图象过原点.
②必要性：因为y=kx+b(k≠0) 的图象过原点，
所以当x=0 时 ，y=0, 得 0 =k·0+b, 所以b=0.
综上， 一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象过原点的充要
条件是b=0.
课堂提升练习
1.“x -4x<0” 的一个充分不必要条件为( B )
A.0C.x>0 D.x<4
由x -4x<0 得0故选B.
2.已知x,y 都是非零实数，且x>y, 求证：<的充要
条件是xy>0.
法 一：充分性：由xy>0 及 x>y, , 重
必要性：由
因为x>y,所 以y—x<0,所 以xy>0.
所以 的充要条件是xy>0.
法二：
由条件x>y y—x<0,故 xy>0.
所 )
的充要条件是xy>0.
3. 求证：关于x 的方程ax +bx+c=0
充要条件是a+b+c=0.
[证明] 假 设p: 方 程ax +bx+c=0
q:a+b+c=0.
①证明p→q, 即证明必要性.
∵x=1 是方程ax +bx+c=0
.a-1 +b·1+c=0,
即 a+b+c=0.
有一个根是1的
有一个根是1,
的根，
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课堂小结
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)等价法： “p q”表示p 等价于q, 等价命题可以进行转换，当我
们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合
分别为A 和B, 那么若ASB, 则p 是 q 的充分条件；若A2B, 则 p 是 q
的必要条件；若A=B, 则p 是 q 的充分必要条件.
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THANKS
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