双曲线的简单几何性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共77张PPT)

(共77张PPT)
第三章圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
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探 新 知
释 疑
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握双曲线的简单 几何性质.(重点) 2.理解双曲线的渐近 线及离心率的意 义.(难点)
1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的
直观想象、数学运算核心素养.
2.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲
线位置关系的应用，提升学生的直观想象及
数学运算、逻辑推理核心素养.
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情景导学、探新知
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情境引入·助学助教
(1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短
轴、离心率等性质.
(2)用多媒体展示几组焦点在x 轴、y 轴上开口大小各不相同的双
曲线，观察双曲线形状的美.
(3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢
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标准方程
图形
新知初探
1. 双曲线的几何性质
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标准方程
性 质 范围
对称性 对 称 轴 ：坐标轴，对称中心：原点
顶点
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标准方程
性 质 轴长 实 轴 长 =2a , 虚 轴 长
离心率
渐近线 X
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思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗
[提示] 渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长
的比值相同.
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2. 双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e=
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3. 直线与双曲线的位置关系
将 y=kx+m 联立消去y 得一元方程(b —a k )x
2a kmx—a (m +b )=0.
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△的取值 位置关系
交点个数
相交
只有一个交点
有两个交点
=0 相切
只有一个交点
0 相离
没有公共点
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初 试 身 手
1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)
(1)双曲 的焦点在y 轴上.
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.
(3)以y=±2x 为渐近线的双曲线有2条.
[提示] (1)×(2) √ (3)×
( )
( )
( )
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2.若等轴双曲线的一个焦点是F (一6,0),则它的标准方程是( )
A.
C. D.
B [由条件知，等轴双曲线焦点在x 轴上，可设方程
1,a +a =6 , 解 得a =18, 故方程
解析答案
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3.已知点(2,3)在双曲线C:
为4,则它的离心率为 .
2 [由题意知 ,c =a +b =4,
=2.]
得a=1,b=3,∴e
,b>0) 上 ，C 的焦距
解析答案
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5 [∵双曲线的标准方程
∴双曲线的渐近线方程为
又双曲线的一条渐近线方程为
4. 双 曲 的一条渐近线方程为
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, ∴a=5.]
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则 a=
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课
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【 例 1】 求双曲线9y -4x =—36 的顶点坐标、焦点坐标、实
轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
[解] 双曲线的方程化为标准形式
∴a =9,b =4,∴a=3,b=2,c=√ 13.
又双曲线的焦点在x 轴上，
∴顶点坐标为(一3,0),(3,0),
根据双曲线方程研究几何性质
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· 释 疑 难
类型1
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焦点坐标为(- √ 13,0),( √ 13,0),
实轴长2a=6, 虚轴长2b=4,
离心率 渐近线方程为
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1. 把本例双曲线方程“9y -4x =—36” 改为“9y —4x =36”,
它的性质如何
[解] 把 方 程 9y -4x =36 化为标准方程 这里a
=4,b =9,c =13. 焦点在y 轴上.所以顶点坐标为(0,2),(0,-2),
焦点坐标为(0,√ 13),(0,-√ 13) ,实轴长2a=4,
虚轴长2b=6, 离心率 渐近线方程为
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[母题探究]
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2. 把本例中方程“9y -4x =—36” 改为“4x —9y =—4”, 它
的性质又如何
[解] 方 程 4x -9y =-4 可化为标准方 焦点在 y
轴上，这里 ,b =1,
所以顶点坐标
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焦点坐标
实轴长
离心率
渐近线方程为
√ 13
3
虚轴长2b=2.
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规律方法
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a,b 的值；
(3)由c =a +b 求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.
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释 疑 理
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【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8,离心率为 ;
(2)两顶点间的距离是6,两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)与双曲 有共同的渐近线，且过点(-3,2 √3).
类型2 由几何性质求双曲线的标准方程
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· 释 疑 难
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[思路探究] 由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找
a,b,c,e 之间的关系，并通过构造方程获得问题的解(解出 a,b
或 a ,b 的值).
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[解] (1)设所求双曲线的标准方程
2b=8, 从而b=4, 代入c =a +b ,
,b>0),
得 a =9,
双曲线的标准方程
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则 故
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(2)由两顶点间的距离是6得2a=6, 即 a=3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12, 即
=6,于是有b =c —a =6 —3 =27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为
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c
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(3)法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程
由题意，
解得 ,b =4,
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· 提 景 养
· 释 疑 理
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所以双曲线的方程
当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程
综上所得，双曲线的方程
解得a =—4,
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由题意，得
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去)
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将点(-3,2 √3)代入得
所以双曲线方程
法二：设所求双曲线方程
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;
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规律方法
1. 由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程， 一般用待定系数
法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分 类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx —ny =1(mn>0).
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● 规律方法 …—
2. 常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为 的双曲线方程可设
n>0); 如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,
为A x —B y =m(m≠0,A>0,B>0).
(2)与双曲
那么双曲线的方程可设
b>0共新近线的双曲
线方程可设
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●
。
………
,b>0离心率相等的双曲线系方程可
,这是因为由离心率不能确定
共焦点的双曲线系方程可设为
设
焦点位置.
(4)与椭圆
● 规律方法
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(3)与双曲
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—
[跟进训练]
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12,离心率为 ;
(2)焦点在x 轴上，离心率为 √2,且过点(一5,3);
(3)顶点间距离为6,渐近线方程为
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[解] ( 1)设双曲线的标准方程
>0).
由题意知2b=12, 且c =a +b ,
∴b=6,c=10,a=8,
∴双曲线的标准方程
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(2)∵ , ∴c=√2a,b =c -a =a .
又∵焦点在x 轴上，
∴设双曲线的标准方程
把点(一5,3)代入方程，解得a =16.
∴双曲线的标准方程
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(3)设以 为渐近线的双曲线方程
当λ>0时，a =4λ,
当λ<0时，a =—9λ,∴2a=2√-9λ=6→λ=—1.
∴双曲线的标准方程
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。
[探究问题]
1. 双曲线的离心率的范围怎样 对双曲线的形状有什么影响
[提示] 在双曲线方程中，因为a一 ),它的大小决定了双曲线的开口大小，e 越大，开口就越大 .
类型3 求双曲线的离心率
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2. 双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系
[提示]
当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为k, 则 e=√ 1+k,
y 轴上时，渐近线斜率为k, 则
当焦点在
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【例3】 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x, 则其离心
率为 .
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲
的右焦点F(c,0) 到一条渐近线的距离 求其离心率的值.
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[思路探究] ( 1)利用离心率 的关系，注意要分类讨论焦点的
位置.
(2)利用条件建立齐次方程求解.
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(1)√5或 [当焦点在 x 轴上时， 这时离心率
1+2
当焦点在y 轴上时， ,即 这时离心率
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释
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(2)[解] 因为双曲线的右焦点F(c,0) 到渐近线
= 0 的 距 离 所以
所以离心率
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即 bx±ay
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● 规律方法
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a,c, 则直接利用 得解.
(2)若已知a,b, 可直接利用
(3)若得到的是关于 a,c 的齐次方程
为常数，且p≠0), 则转化为关于e 的方程
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r=0 求解.
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得解.
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十
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[跟进训练]
2. 过双曲线 C: ,b>0) 的右焦点作一条与其渐近
线平行的直线，交C 于点P. 若点P 的横坐标为2a, 则 C 的离心率为
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坐标2a 代 中，得y =3b ,
不妨令点P 的坐标为(2a, 一 3b),
得到c=(2+ √3)a,
即双曲线C 的离心率
2+3 [如图，F ,F 为双曲线C 的左、右焦点，将点P 的 横
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[探究问题]
1. 直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切
吗
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线
和双曲线相交且只有一个交点.
类型4 直线与双曲线的位置关系
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2.过点(0,2)和双曲 只有一个公共点的直线有几条
[提示] 四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线.
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【例4】 已知双曲线C:x -y =1 及直线l:y=kx—1.
(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l 与双曲线C 交于A,B 两点，O 是坐标原点，且△AOB
的面积为 √2,求实数k 的值.
[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组→判断“△”与
“O”的关系→直线与双曲线的位置关系.
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[解] (1)联立方程
消去y 并整理得(1—k )x +2kx—2=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则 解得一 √2∴ 若l与 C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为
(一 √ 2,—1)U(一1,1)U(1,√2).
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(2)设A(x ,y ),B(x ,y ),
对于(1)中的方程(1—k )x +2kx—2=0,
由根与系数的关系，得
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又∵点O(0,0)到直线y=kx—1 的距离
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即 2k —3k =0, 解得k=0 或
∴实数k的值为 或0.
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规律方法
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax +bx
十c=0 的形式，在a≠0 的情况下考察方程的判别式.
①4>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.
②4=0时，直线与双曲线只有一个公共点.
③4<0时，直线与双曲线没有公共点.
当 a=0 时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有
一个公共点.
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规律方法
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直
线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线
斜率的关系来确定其位置关系.
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是
通过消元化为一元二次方程.
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[跟进训练]
3. 已知双曲
MN 所在直线的方程.
求过点A(3,—1) 且被点A 平分的弦
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[解] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y+1
=k(x—3), 即y=kx—3k—1,
消去y,
整理得(1-4k )x +8k(3k+1)x—36k —24k—8=0.
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设M(x ,y ),N(x ,y ),
∵A(3,—1) 为MN 的中点，
即
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解得
时，
满足△>0,符合题意，
∴所求直线MN的方程为
即 3x+4y—5=0.
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法二：设 M(x ,y ),N(x ,y ),∵M,N 均在双曲线上，
两式相减，
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∵点A 平分弦MN,
∴x +x =6,y +y =—2.
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经验证，该直线MN 存在.
∴所求直线MN的方程为
即3x+4y—5=0.
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夕
课 小 结： 提
素 : 养
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一必备素养一
1. 渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的
标准方 ,b>0) 右边的常数1换为0,就是渐近线方
程.反之由渐近线方程ax±by=0 变为a x —b y =入(λ≠0),再结合其
他条件求得入，可得双曲线方程.
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2.与双曲线有关的其他几何性质
(1)通径：过双曲 ,b>0) 的焦点作
垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，
其长度
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(2)焦点三角形：双曲线上的点P 与两焦点构成的△PF F 叫做焦
点三角形.设∠F PF =θ, 则焦点三角形的面积
(3)距离：双曲 ,b>0) 右支上任意一点M 到左
焦点的最小距离为a+c, 到右焦点的最小距离为c—a.
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,b>0) 共焦点的双曲线系方程为
0,b>0) 的离心率相等的双曲线系方程
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(5)与双曲
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(4)与双曲
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一学以致用一
1. 已知定点F (一2,0),F (2,0), 在平面内满足下列条件的动点
P 的轨迹中为双曲线的是( )
A.|PF |-|PF |=±3 B.|PF |-|PF |=±4
C.|PF |-|PF |=±5 D.|PF -|PF I =±4
A [F F |=4,根据双曲线的定义知选A.]
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已知双曲
)
B.
2.
等于(
A.
C
的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率
[由题意知a +5=9,
解 得a=2, 故
解析答案
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D.
C.
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3. 已知双曲 ,b>0) 的一个焦点为F(2 √5,0),
且离心率为 则双曲线的标准方程为 .
[由焦点坐标，知 c=2√5, 由 可得a=4,
所 以b=ve -a =2, 则双曲线的标准方程为
解析答案
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4.过双曲线 的左焦点F , 作倾斜角为 的直线与双曲
线交于A,B 两点，则AB| =_ _.
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3 [双曲线的左焦点为(一2,0),设 A(x ,y ),B(x ,y ),AB 方
程为 即x-√3y+2=0,
得 8y -12 √3y+9=0,
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则
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5.直线1与双曲线x -4y =4 相交于A,B 两点，若点P(4,1)
为线段AB的中点，则直线l 的方程是 _.
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x-y-3=0 [设A(x ,y ),B(x ,y ), 直 线AB的斜率为k, 易
知k 存在且k≠0,
则x -4y =4,x -4y =4,
两式相减，得(x —x )(x +x )一4(y —y )(y +y )=0,
又∵点P(4,1)为线段AB的中点，
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∴x +x =8,y +y =2.
代入，得(x —x )一(y —y )=0,
因此直线l的方程是y-1=1×(x—4), 即 x—y-3=0.]
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