圆的标准方程【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册 课件(共52张PPT)
文档属性
| 名称 | 圆的标准方程【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册 课件(共52张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-02 20:16:01 | ||
图片预览
文档简介
(共52张PPT)
第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
景 导 学 ·
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 理
课 堂 小 结 ·
返首页
合 作 探 究
提 素 养
探 新 知
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标
准方程的特点.(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程.(重点、 难点)
通过对圆的标准方
程的学习，提升直观 想象、逻辑推理、数
3.能准确判断点与圆的位置关系.(易错点)
学运算的数学素养.
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究 。 释 疑 女
返首页
课 堂 小 结
探 新 知
景 导 学
提 景 养
·
·
情境引入·助学助教
“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它
位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南 昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米.
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗 若
以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点 (x,y) 的坐标满足什么关系
探 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
1. 圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定 点的距离等于定长的点的集合叫做圆，
定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)确定圆的基本要素是圆 心和半径，如图所示 .
新知初探
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
探 新 知
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
(3)圆的标准方程：圆心为A(a,b), 半径长为r的圆的标准方程
是(x - a) +(y - b) =r 2.
当a=b=0 时，方程为x +y =r, 表示以原点O_为圆心、半径
为r 的圆.
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
思考：平面内确定圆的要素是什么
[提示] 圆心坐标和半径.
挥 新 知
· 释 疑 难
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
景 导 学
提 景 养
·
·
位置关系 d与r的大小 图示
点P的坐标的特点
点在圆外 P C
0
2. 点与圆的位置关系
),其圆心为C(a,b), 半径为r, 点 P
设
探 新 月
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
提 景 养
景 导 学
·
·
·
位置关系 d与r的大小 图示
点P的坐标的特点
点在圆上 0
2
点在圆内
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
合 作 探 究
释 疑 理
景 导 学
探 新 知
·
·
初试身手一
1. 思考辨析(正确的打“√ ”,错误的打“×”)
(1)方程(x—a) +(y—b) =m 表示圆.
(2)若圆的标准方程是(x—a) +(y—b) =m (m≠0),
b), 半径为m.
(3)圆心是原点的圆的标准方程是x +y =r (r>0).
[提示] (1)×(2)×(3) √
( )
则圆心为(a,
( )
( )
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
2. 圆 (x—2) +(y+3) =2 的圆心和半径分别是( )
A. ( 一 2,3),1 B.(2,—3),3
C. (一2,3), √2 D.(2,-3),√2
D [由圆的标准方程可得圆心为(2,-3),半径为 √ 2.]
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究
解析答案
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
3. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()
A.x +y =2
B.x +y =4
C.(x—2) +(y-2) =8
D.x +y =√2
B [以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x +y =4.]
课 堂 小 结
合 作 探 究
探 新 知
课 时 分 展 作 业
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
4. 已 知 点P(1, 一 1)在圆(x+2) +y =m 的内部，则实数m 的 取
值 范 围 是 .
m>10 [由条件知(1+2) +(一1)10.]
课 堂 小 结
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
课 堂 小 结
释 疑 理
探 新 知
景 导 学
提 景 养
·
·
·
类型1 点与圆的位置关系
【例1】 已知圆的圆心M 是直线2x+y—1=0 与直线x—2y+
2=0的交点，且圆过点P(一5,6),求圆的标准方程，并判断点A(2,2), B(1,8),C(6,5) 是在圆上，在圆内，还是在圆外
[思路探究] 先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径
并写出方程；求出A,B,C 各点与圆心的距离，分别与半径比较， 判断出点与圆的位置关系.
景 导 学
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
返首页
探 新 知
释 疑 理
提 景 养
·
·
·
[解] 解方程
∴圆心M 的坐标为(0,1),
半径r=|MP|=√5 +(1-6) =5√2.
∴圆的标准方程为x +(y—1) =50.
∵AM|=√(2-0) +(2-1) =5∴点A 在圆内.
挥 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 时 分 展 作 业
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
. CM|=√6—0) +(5-1) =√52>r,
∴点C 在圆外.∴圆的标准方程为x +(y—1) =50, 且 点A 在
圆内，点B 在圆上，点C 在圆外.
∵|BM|=√(1-0) +(8-1) =√50=r,
∴点B 在圆上.
合 作 探 究
挥 新 知
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
规律方法
1.判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作
出判断.
2. 灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或
方程，求解参数范围.
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 堂 小 结
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
1. 已知圆心为点 C(—3,—4), 且经过原点，求该圆的标准方
程，并判断点P (一1,0),P (1,—1),P (3,—4) 和圆的位置关系.
[解] 因为圆心是C(-3,-4), 且经过原点，
所以圆的半径r= √ (-3-0) +(-4-0) =5,
所以圆的标准方程是(x+3) +(y+4) =25.
因为|P C|= √ (-1+3) +(0+4) = √ 4+16=2
[跟进训练]
景 导 学
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
课 堂 小 结
返首页
合 作 探 究
探 新 知
提 景 养
·
·
所以P (—1,0) 在圆内；
因为|P C|= √ (1+3) +(-1+4) =5,
所以P (1,—1) 在圆上；
因为|P C|= √ (3+3) +(-4+4) =6>5,
所以P (3,—4) 在圆外.
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
【例2】 求过点A(1,—1),B(—1,1), 且圆心在直线x+y—2
=0上的圆的标准方程.
[思路探究] 法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件
建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标， 根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借 助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程.
类型2 求圆的标准方程
景 导 学
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
探 新 知
释 疑 理
提 景 养
·
·
·
[解] 法 一：设所求圆的标准方程为
(x—a) +(y-b) =r ,
由已知条件知
挥 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
解此方程组，
故所求圆的标准方程为(x—1) +(y—1) =4.
课 时 分 展 作 业
挥 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
法二：设 点C 为圆心，∵点C 在直线x+y—2=0 上，
∴可设点C 的坐标为(a,2—a).
又∵该圆经过A,B 两点，
∴|CA|=|CB|.
∴√(a-1) +(2-a+1) =√(a+1) +(2-a-1) ,
解得a=1.
∴圆心坐标为C(1,1),半 径 长r=|CA|=2.
故所求圆的标准方程为(x—1) +(y—1) =4.
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
挥 新 知
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k=1,
所以AB 的垂直平分线的方程为y—0=1·(x—0),
即y=x. 则圆心是直线y=x 与 x+y—2=0 的交点，
法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0),
课 堂 小 结
挥 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
由
即圆心为(1,1),圆的半径为
r=√(1-1) +[1- (一1)] =2,
故所求圆的标准方程为(x—1) +(y—1) =4.
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
规律方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和
半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中
三个参数，从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法， 一般步骤是：
课 堂 小 结
合 作 探 究
探 新 知
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
规律方法 费
确定圆的标准方程的方法
①设—设所求圆的方程为(x—a) +(y—b) =r ;
②列—由已知条件，建立关于 a,b,r 的方程组；
③解—解方程组，求出a,b,r;
④代—将a,b,r 代入所设方程，得所求圆的方程.
课 时 分 展 作 业
挥 新 知
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
(x-2) +y =10 [由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线
上，结合题意知，AB 的垂直平分线为y=2x—4, 令 y=0, 得 x=2,
2. 已 知 圆C 经 过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的
标准方程为 .
故圆心坐标为(2,0),所以圆的半径 r=√(5-2) +(1-0) =√ 10,
的方程为(x—2) +y =10.]
30
[跟进训练]
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究 。 释 疑 理
解析答案
课 时 分 展 作 业
故圆
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
[探究问题]
1. 怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离
[提示] 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减
去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值.
类型3 与圆有关的最值问题
探 新 知
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
课 堂 小 结
返首页
合 作 探 究
景 导 学
提 景 养
·
·
2. 若 点M 是⊙C 内一点，那么过点M 的弦中，弦长最长和最
短的弦分别是哪一条
[提示] 弦长最长的弦是MC 所在的直径，弦长最短的弦是过M
且与MC 垂直的弦.
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
[思路探究] 首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几
何意义，求出其最值.
33
【例3】 已知x 和y 满足 试求x +y 的最值.
课 堂 小 结 。 提 素 非
挥 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
[解] 由题意知x +y 表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显
然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应 取得最大值和最小值.原点O(0,0)到圆心C(—1,0)的距离d=1, 故圆
上的点到坐标原点的最大距离为 最小距离为 因此
x +y 的最大值和最小值分别为 和
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
景 导 学
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
合 作 探 究
探 新 知
·
1.[变条件] 把本例中圆的方程变为(x+1) +y =4, 则过(0,0)的
弦中，最长弦长为 ,最短弦长为
42√3 [点(0,0)在圆内，最长的弦为过O 的直径，所以最大弦
长 为 2r=4. 最短弦是过0且与过O 的直径垂直的弦，因为 O(0,0)与 圆的距离为1,所以最短弦长为 21
[母题探究]
探 新 知
课 堂 小 结 。 提 素 非
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
0)连线的斜率，
由 可得y=kx, 此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离
d≤r,
[解] 设 变形为 此式表示圆上一点(x,y) 与点(0,
2.[变结论]本例条件不变，试求 的取值范围.
探 新 知
合 作 探 究
课 堂 小 结 。 提 素 非
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
即
解 得
即 的取值范围；
探 新 知
· 释 疑 难
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
提 景 养
景 导 学
·
·
●规律方法
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如 式的最值问题，可转化为过点(x,y)
动直线斜率的最值问题.
(2)形如 l=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线
距的最值问题.
探 新 知
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
景 导 学
提 景 养
X
·
·
(3)形如(x— -b) 形式的最值问题，可转化为动点(x,y) 到
定点(a,b) 的距离的平方的最值问题。
规律方法
挥 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
●
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
课 堂 小 结
释 疑 理
探 新 知
景 导 学
提 景 养
·
·
·
一 必备素养一
1. 确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a,b,r
的方程组求a,b,r 或直接求出圆心(a,b) 和半径 r. 另依据题意适时
运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆
的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用 几何特征较为直观、简捷.
景 导 学
· 释 疑 难
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
探 新 知
提 景 养
·
·
3.与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数
形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养.
4. 几种特殊的对称
(1)圆C 关于点M 对称 点M 就是圆心.
(2)圆C 关于直线I对称台直线l经过圆心.
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
景 导 学
· 释 疑 难
返首页
合 作 探 究
探 新 知
提 景 养
·
·
M 是C C 的中点，
(3)圆C 、C 关于点M 对称台 圆C 、C 的半径相等.
(4)圆C 、C 关于直线l 对称台
圆心C 、C 关于直线l对称，
圆C 、C 的半径相等.
探 新 知
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
课 堂 小 结
返首页
合 作 探 究
景 导 学
提 景 养
·
·
学以致用一
1. 圆心为(1,1),且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x—1) +(y—1) =1 B.(x+1) +(y+1) =1
C.(x+1) +(y+1) =2 D.(x—1) +(y—1) =2
D [由圆过原点知r=√(1-0) +(1-0) =√2, 故所求圆的方程
为(x—1) +(y—1) =2, 选 D.]
挥 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 堂 小 结
解析答案
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
2 . 两个点 M(2,—4),N (一2,1)与圆 C:x +y —2x+4y—4=0
的位置关系是( )
A. 点 M 在 圆C 外，点N 在 圆C 外
B. 点 M 在 圆C 内，点N 在 圆C 内
C. 点 M 在 圆C 外，点N 在 圆C 内 D. 点 M 在 圆C 内，点N 在 圆C 外
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
D [将点的坐标代入方程左边得2 +(一4) -2 ×2+4×(一4)一
4=-4<0,∴M 点在圆内，(一2) +1 -2×(一2)+4×1-4=9>0,
∴N 点在圆外.故选D.]
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
(x-2) +(y-4) =20 [由
心为(2,4),从而 r=√(2-0) +(4-0) =2√5,
2) +(y-4) =20.]
47
与直线2x+y—8=0 的交点，且过原
.
3. 圆心为直线x—y+2=0
点的圆的标准方程是
故圆的标准方程为(x—
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
解析答案
课 堂 小 结
, 即 圆
可得
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
4. 点(5 √a+1,√a) 在圆(x—1) +y =26 的内部，则a 的取值范
围是 _.
[0,1] [由于点在圆的内部，所以(5 √a+1-1) +(√a) <26, 即
26a<26, 又 a≥0, 解得0≤a<1.]
48
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
5.已知某圆圆心在x 轴上，半径为5,且截y 轴所得线段长为8,
求该圆的标准方程.
[解] 如图，由题设 AC|=r=5,|AB|=8,∴AO|=4.
在Rt△AOC中，
oC|=√AC -AO| =√5 -4 =3.
设点C 坐标为(a,0),
则|OC|=|a|=3,∴a=±3.
∴所求圆的标准方程为(x+3) +y =25
或(x—3) +y =25.
课 时 分 展 作 业
景 导 学
课 堂 小 结
合 作 探 究
返首页
探 新 知
释 疑 理
提 景 养
·
·
·
点击右图进入…
课 时 分 展 作 业
返首页
课 堂 小 结 ·
合 作 探 究
释 疑 理
景 导 学
探 新 知
提 景 养
·
·
Thankyou for watching !
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
演讲完毕，谢谢观看!
第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
景 导 学 ·
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 理
课 堂 小 结 ·
返首页
合 作 探 究
提 素 养
探 新 知
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标
准方程的特点.(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程.(重点、 难点)
通过对圆的标准方
程的学习，提升直观 想象、逻辑推理、数
3.能准确判断点与圆的位置关系.(易错点)
学运算的数学素养.
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究 。 释 疑 女
返首页
课 堂 小 结
探 新 知
景 导 学
提 景 养
·
·
情境引入·助学助教
“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它
位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南 昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米.
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗 若
以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点 (x,y) 的坐标满足什么关系
探 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
1. 圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定 点的距离等于定长的点的集合叫做圆，
定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)确定圆的基本要素是圆 心和半径，如图所示 .
新知初探
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
探 新 知
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
(3)圆的标准方程：圆心为A(a,b), 半径长为r的圆的标准方程
是(x - a) +(y - b) =r 2.
当a=b=0 时，方程为x +y =r, 表示以原点O_为圆心、半径
为r 的圆.
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
思考：平面内确定圆的要素是什么
[提示] 圆心坐标和半径.
挥 新 知
· 释 疑 难
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
景 导 学
提 景 养
·
·
位置关系 d与r的大小 图示
点P的坐标的特点
点在圆外 P C
0
2. 点与圆的位置关系
),其圆心为C(a,b), 半径为r, 点 P
设
探 新 月
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
提 景 养
景 导 学
·
·
·
位置关系 d与r的大小 图示
点P的坐标的特点
点在圆上 0
2
点在圆内
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
合 作 探 究
释 疑 理
景 导 学
探 新 知
·
·
初试身手一
1. 思考辨析(正确的打“√ ”,错误的打“×”)
(1)方程(x—a) +(y—b) =m 表示圆.
(2)若圆的标准方程是(x—a) +(y—b) =m (m≠0),
b), 半径为m.
(3)圆心是原点的圆的标准方程是x +y =r (r>0).
[提示] (1)×(2)×(3) √
( )
则圆心为(a,
( )
( )
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
2. 圆 (x—2) +(y+3) =2 的圆心和半径分别是( )
A. ( 一 2,3),1 B.(2,—3),3
C. (一2,3), √2 D.(2,-3),√2
D [由圆的标准方程可得圆心为(2,-3),半径为 √ 2.]
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究
解析答案
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
3. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()
A.x +y =2
B.x +y =4
C.(x—2) +(y-2) =8
D.x +y =√2
B [以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x +y =4.]
课 堂 小 结
合 作 探 究
探 新 知
课 时 分 展 作 业
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
4. 已 知 点P(1, 一 1)在圆(x+2) +y =m 的内部，则实数m 的 取
值 范 围 是 .
m>10 [由条件知(1+2) +(一1)
课 堂 小 结
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
课 堂 小 结
释 疑 理
探 新 知
景 导 学
提 景 养
·
·
·
类型1 点与圆的位置关系
【例1】 已知圆的圆心M 是直线2x+y—1=0 与直线x—2y+
2=0的交点，且圆过点P(一5,6),求圆的标准方程，并判断点A(2,2), B(1,8),C(6,5) 是在圆上，在圆内，还是在圆外
[思路探究] 先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径
并写出方程；求出A,B,C 各点与圆心的距离，分别与半径比较， 判断出点与圆的位置关系.
景 导 学
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
返首页
探 新 知
释 疑 理
提 景 养
·
·
·
[解] 解方程
∴圆心M 的坐标为(0,1),
半径r=|MP|=√5 +(1-6) =5√2.
∴圆的标准方程为x +(y—1) =50.
∵AM|=√(2-0) +(2-1) =5
挥 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 时 分 展 作 业
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
. CM|=√6—0) +(5-1) =√52>r,
∴点C 在圆外.∴圆的标准方程为x +(y—1) =50, 且 点A 在
圆内，点B 在圆上，点C 在圆外.
∵|BM|=√(1-0) +(8-1) =√50=r,
∴点B 在圆上.
合 作 探 究
挥 新 知
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
规律方法
1.判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作
出判断.
2. 灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或
方程，求解参数范围.
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 堂 小 结
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
1. 已知圆心为点 C(—3,—4), 且经过原点，求该圆的标准方
程，并判断点P (一1,0),P (1,—1),P (3,—4) 和圆的位置关系.
[解] 因为圆心是C(-3,-4), 且经过原点，
所以圆的半径r= √ (-3-0) +(-4-0) =5,
所以圆的标准方程是(x+3) +(y+4) =25.
因为|P C|= √ (-1+3) +(0+4) = √ 4+16=2
[跟进训练]
景 导 学
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
课 堂 小 结
返首页
合 作 探 究
探 新 知
提 景 养
·
·
所以P (—1,0) 在圆内；
因为|P C|= √ (1+3) +(-1+4) =5,
所以P (1,—1) 在圆上；
因为|P C|= √ (3+3) +(-4+4) =6>5,
所以P (3,—4) 在圆外.
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
【例2】 求过点A(1,—1),B(—1,1), 且圆心在直线x+y—2
=0上的圆的标准方程.
[思路探究] 法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件
建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标， 根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借 助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程.
类型2 求圆的标准方程
景 导 学
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
探 新 知
释 疑 理
提 景 养
·
·
·
[解] 法 一：设所求圆的标准方程为
(x—a) +(y-b) =r ,
由已知条件知
挥 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
解此方程组，
故所求圆的标准方程为(x—1) +(y—1) =4.
课 时 分 展 作 业
挥 新 知
课 堂 小 结
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
法二：设 点C 为圆心，∵点C 在直线x+y—2=0 上，
∴可设点C 的坐标为(a,2—a).
又∵该圆经过A,B 两点，
∴|CA|=|CB|.
∴√(a-1) +(2-a+1) =√(a+1) +(2-a-1) ,
解得a=1.
∴圆心坐标为C(1,1),半 径 长r=|CA|=2.
故所求圆的标准方程为(x—1) +(y—1) =4.
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
挥 新 知
合 作 探 究
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k=1,
所以AB 的垂直平分线的方程为y—0=1·(x—0),
即y=x. 则圆心是直线y=x 与 x+y—2=0 的交点，
法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0),
课 堂 小 结
挥 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
由
即圆心为(1,1),圆的半径为
r=√(1-1) +[1- (一1)] =2,
故所求圆的标准方程为(x—1) +(y—1) =4.
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
规律方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和
半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中
三个参数，从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法， 一般步骤是：
课 堂 小 结
合 作 探 究
探 新 知
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
规律方法 费
确定圆的标准方程的方法
①设—设所求圆的方程为(x—a) +(y—b) =r ;
②列—由已知条件，建立关于 a,b,r 的方程组；
③解—解方程组，求出a,b,r;
④代—将a,b,r 代入所设方程，得所求圆的方程.
课 时 分 展 作 业
挥 新 知
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
(x-2) +y =10 [由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线
上，结合题意知，AB 的垂直平分线为y=2x—4, 令 y=0, 得 x=2,
2. 已 知 圆C 经 过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的
标准方程为 .
故圆心坐标为(2,0),所以圆的半径 r=√(5-2) +(1-0) =√ 10,
的方程为(x—2) +y =10.]
30
[跟进训练]
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究 。 释 疑 理
解析答案
课 时 分 展 作 业
故圆
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
[探究问题]
1. 怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离
[提示] 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减
去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值.
类型3 与圆有关的最值问题
探 新 知
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
课 堂 小 结
返首页
合 作 探 究
景 导 学
提 景 养
·
·
2. 若 点M 是⊙C 内一点，那么过点M 的弦中，弦长最长和最
短的弦分别是哪一条
[提示] 弦长最长的弦是MC 所在的直径，弦长最短的弦是过M
且与MC 垂直的弦.
课 时 分 展 作 业
探 新 知
合 作 探 究
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
[思路探究] 首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几
何意义，求出其最值.
33
【例3】 已知x 和y 满足 试求x +y 的最值.
课 堂 小 结 。 提 素 非
挥 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
[解] 由题意知x +y 表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显
然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应 取得最大值和最小值.原点O(0,0)到圆心C(—1,0)的距离d=1, 故圆
上的点到坐标原点的最大距离为 最小距离为 因此
x +y 的最大值和最小值分别为 和
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
景 导 学
课 堂 小 结 。 提 素 非
返首页
合 作 探 究
探 新 知
·
1.[变条件] 把本例中圆的方程变为(x+1) +y =4, 则过(0,0)的
弦中，最长弦长为 ,最短弦长为
42√3 [点(0,0)在圆内，最长的弦为过O 的直径，所以最大弦
长 为 2r=4. 最短弦是过0且与过O 的直径垂直的弦，因为 O(0,0)与 圆的距离为1,所以最短弦长为 21
[母题探究]
探 新 知
课 堂 小 结 。 提 素 非
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
0)连线的斜率，
由 可得y=kx, 此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离
d≤r,
[解] 设 变形为 此式表示圆上一点(x,y) 与点(0,
2.[变结论]本例条件不变，试求 的取值范围.
探 新 知
合 作 探 究
课 堂 小 结 。 提 素 非
课 时 分 展 作 业
返首页
释 疑 理
景 导 学
·
·
即
解 得
即 的取值范围；
探 新 知
· 释 疑 难
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
提 景 养
景 导 学
·
·
●规律方法
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如 式的最值问题，可转化为过点(x,y)
动直线斜率的最值问题.
(2)形如 l=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线
距的最值问题.
探 新 知
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
景 导 学
提 景 养
X
·
·
(3)形如(x— -b) 形式的最值问题，可转化为动点(x,y) 到
定点(a,b) 的距离的平方的最值问题。
规律方法
挥 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
●
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
课 堂 小 结
释 疑 理
探 新 知
景 导 学
提 景 养
·
·
·
一 必备素养一
1. 确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a,b,r
的方程组求a,b,r 或直接求出圆心(a,b) 和半径 r. 另依据题意适时
运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆
的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用 几何特征较为直观、简捷.
景 导 学
· 释 疑 难
课 堂 小 结
课 时 分 展 作 业
返首页
合 作 探 究
探 新 知
提 景 养
·
·
3.与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数
形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养.
4. 几种特殊的对称
(1)圆C 关于点M 对称 点M 就是圆心.
(2)圆C 关于直线I对称台直线l经过圆心.
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
景 导 学
· 释 疑 难
返首页
合 作 探 究
探 新 知
提 景 养
·
·
M 是C C 的中点，
(3)圆C 、C 关于点M 对称台 圆C 、C 的半径相等.
(4)圆C 、C 关于直线l 对称台
圆心C 、C 关于直线l对称，
圆C 、C 的半径相等.
探 新 知
课 时 分 展 作 业
· 释 疑 难
课 堂 小 结
返首页
合 作 探 究
景 导 学
提 景 养
·
·
学以致用一
1. 圆心为(1,1),且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x—1) +(y—1) =1 B.(x+1) +(y+1) =1
C.(x+1) +(y+1) =2 D.(x—1) +(y—1) =2
D [由圆过原点知r=√(1-0) +(1-0) =√2, 故所求圆的方程
为(x—1) +(y—1) =2, 选 D.]
挥 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究 。 释 疑 女
课 堂 小 结
解析答案
返首页
景 导 学
提 景 养
·
·
2 . 两个点 M(2,—4),N (一2,1)与圆 C:x +y —2x+4y—4=0
的位置关系是( )
A. 点 M 在 圆C 外，点N 在 圆C 外
B. 点 M 在 圆C 内，点N 在 圆C 内
C. 点 M 在 圆C 外，点N 在 圆C 内 D. 点 M 在 圆C 内，点N 在 圆C 外
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
D [将点的坐标代入方程左边得2 +(一4) -2 ×2+4×(一4)一
4=-4<0,∴M 点在圆内，(一2) +1 -2×(一2)+4×1-4=9>0,
∴N 点在圆外.故选D.]
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
(x-2) +(y-4) =20 [由
心为(2,4),从而 r=√(2-0) +(4-0) =2√5,
2) +(y-4) =20.]
47
与直线2x+y—8=0 的交点，且过原
.
3. 圆心为直线x—y+2=0
点的圆的标准方程是
故圆的标准方程为(x—
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
解析答案
课 堂 小 结
, 即 圆
可得
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
4. 点(5 √a+1,√a) 在圆(x—1) +y =26 的内部，则a 的取值范
围是 _.
[0,1] [由于点在圆的内部，所以(5 √a+1-1) +(√a) <26, 即
26a<26, 又 a≥0, 解得0≤a<1.]
48
课 堂 小 结
探 新 知
合 作 探 究
课 时 分 展 作 业
解析答案
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
5.已知某圆圆心在x 轴上，半径为5,且截y 轴所得线段长为8,
求该圆的标准方程.
[解] 如图，由题设 AC|=r=5,|AB|=8,∴AO|=4.
在Rt△AOC中，
oC|=√AC -AO| =√5 -4 =3.
设点C 坐标为(a,0),
则|OC|=|a|=3,∴a=±3.
∴所求圆的标准方程为(x+3) +y =25
或(x—3) +y =25.
课 时 分 展 作 业
景 导 学
课 堂 小 结
合 作 探 究
返首页
探 新 知
释 疑 理
提 景 养
·
·
·
点击右图进入…
课 时 分 展 作 业
返首页
课 堂 小 结 ·
合 作 探 究
释 疑 理
景 导 学
探 新 知
提 景 养
·
·
Thankyou for watching !
探 新 知
课 时 分 展 作 业
合 作 探 究
课 堂 小 结
返首页
释 疑 理
景 导 学
提 景 养
·
·
·
演讲完毕，谢谢观看!