2.4.2 圆的一般方程 课件(共18张PPT) 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆的一般方程 课件(共18张PPT) 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 964.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-02 20:16:32 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
第二章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程
第二章直线和圆的方程
课时内容 2.4圆的方程
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
所在位置 教材第82页
教材第91页
新教材内容 分析 圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶 段学习过圆的一些性质，现在在平面直角 坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素 建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标 法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方 程的知识是平面解析几何的基础知识，圆 的方程具有广泛的应用。
运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位
置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应
引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比
用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研
究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的
位置关系。
核心素养培 养 通过圆的标准方程、 一般方程的求解，培 养数学运算的核心素养；通过圆的一般方 程的理解，培养数学抽象的核心素养。
通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养
逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题
,提升数学运算的核心素养。
教学主线 圆的方程的应用
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版(2019)第二章《直线和圆的方程》的第四
节《圆的方程》。以下是本单元的课时安排：
教材分析
新教材新 高
1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养.
学习目标
新 教 材
重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题
新教材
重点、难点
(一)新知导入
《古朗月行》
唐·李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，
古代人们在生活中崇拜、敬畏月 亮，在文学作品中也大量描写、如 果把天空看作一个平面，月亮当做 一个圆，建立一个平面直角坐标 系，那么圆的坐标方程如何表示
新教材
【思考1】 圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r (r>0)展开可得到一个什么式子
【提示】x +y -2ax-2by+a +b -r =0.
【思考2】把x +y +Dx+Ey+F=0 配方后，将得到怎样的方程 这个方程是不是就一定表示圆
时，方程表示以为 圆心，以 半径的圆；
时，方程只有实数 1 ,它表示一个点
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.
(二)圆的一般方程
【提示】得到的方程为
当D +E -4F>0
当D +E -4F=0
当D +E -4F<0
新教材新高考
◆圆的一般方程：当D +E -4F>0 时，方程x +y +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，其中圆心
为 半径为
圆的标准方程与一般方程的转化关系：
将圆的标准方程展开，得到圆的一般方程；
将圆的一般方程配方，得到圆的标准方程。
【做一做1】(教材P88 练习2改编)若方程x +y -4x
+2y+5k=0 表示圆，则k的取值范围是(B)
A .k>1 B.k<1
C.k≥1 D.k≤1
【做—做2】(教材P88练习1改编)已知圆x +
y -4x+2y-4=0, 则圆心坐标、半径的长分
别是(A)
A.(2,-1),3
B.(-2,1),3
(二)圆的一般方程
C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9
新教材 新
1.圆的一般方程的识别
例1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出
圆心和半径.
(1)3x +y +2x+1=0;
(2)x +y +Xy+1=0;
(3)x +y +x+2y+1=0;
(4)x +y -4mx+2my+20m-20=0.
【解析】(1)由于x ,y 的系数不相等，
∴该二元二次方程表示的不是圆.
(2)由于该二次方程中含有xy项，
∴该二元二次方程表示的不是圆.
∴它表示 为圆心，以 为半径的圆.
(4)法一：∵D=-4m,E=2m,F=20m -20,D
+E -4F=16m +4m -80m+80=20(m -2) , 当m=2 时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示 圆，此时圆心为(2m,-m), 半径为r=√5|m -2|. 法二：原方程可化为(x-2m) +(y+m) =5(m-2) ,
当m=2 时，它表示一个点；
当m≠2 时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m,
-m), 半径为r=√5|m-2|.
(三)典型例题
(3)由于D +E -4F=1+4-4>0,
∴该二元二次方程表示的是圆.
新 教 材 新
高考
【类题通法】二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x +y +Dx+Ey+F=0的形式，但形如x +y +Dx+Ey+F=0的方程不一
定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
(1)计算D +E -4F,若其值为正，则表示圆；若其值为0,则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形
(2)将该方程配方 根据圆的标准方程来判断.
【巩固练习1】已知方程x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0 表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径的取值范围.
【解析】(1)方程化为[x-(m+3)] +[y+(1-4m )] =-7m +6m+1,
∴-7m +6m+1>0, ,∴方程表示圆时m 的取值范围为
,∴圆的半径r的取值范围 重
(三)典型例题
新教材新高考
·
(三)典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),
【解析】设所求的圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0,
∴△ABC外接圆的方程为x +y -8x-2y+12=0.
求△ABC外接圆的方程.
新教材 新
由题意
,
【变式探究】 若本例改为：已知圆过A(2,2),C(3,-1),
【类题通法】用待定系数法求圆的方
且圆关于直线y=x 对称，求圆的一般方程. 程时一般方程和标准方程的选择
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、
半径或需利用圆心的坐标或半径列方
【解析】设所求的圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=
程的问题， 一般采用圆的标准方程，
0,
再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
由题意
接关系， 一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D,E,F.
∴所求的圆的方程为x +y +X+y-12=0.
(三)典型例题
新 教 材 新 高
【巩固练习2】已知圆C:x +y +Dx+Ey+3=0, 圆心在直线x+y-1=0 上，且圆心在第二象限，半径
为 √2,求圆的一般方程.
【解析】圆 ,因为圆心在直线x+y-1=0 上，
所以 ,即D+E=-2,①
又r= √D +E -4F= √2, 所以D +E =20,②
由①②可得
又圆心在第二象限，所以 , 即D>0, 所以圆心(-1,2)
所以圆的一般方程为x +y +2x-4y+3=0.
(三)典型例题
新 教 材 新 高考
法二：同法一得x≠3且x≠-1.
由勾股定理得|AC| +|BC| =|AB| ,
即(x+1) +y +(x-3) +y =16,
化简得x +y -2x-3=0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x +y -2x-3= 0(x≠3且x≠-1).
法三：设AB 中点为D, 由中点坐标公式得
D(1,0), 由直角三角形的性质知， |CD|=|AB|
=2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0) 为圆心，以2为半径长的圆(由于A,B,C 三点 不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1) +y = 4(x≠3且x≠-1).
3.求轨迹方程
例3.已知直角△ABC的斜边为AB, 且 A(-1,0),B(3,0),
求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.
【解析】(1)法一：设顶点C(x,y), 因为AC⊥BC, 且A,
B,C 三点不共线，所以x≠3且x≠-1.
又 ,且kAc·kBc=-1,
。
所 ,化简得x +y -2x-3=0.
(三)典型例题
因此，直角顶点C的轨迹方程为(x-1) +y =4(x≠3 且
X≠-1).
新教材新高
例3.已知直角△ABC的斜边为AB, 且A(-1,0),B(3,0), 求 ：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
【解析】(2)设点M(x,y), 点C(x ,y ), 因为B(3,0),M 是线段BC的中点，
由中点坐标公式 (x≠3且x≠-1), ,于是有x =2x-3,yo=2y.
由(1)知，点C在圆(x-1) +y =4(x≠3 且x≠-1)上运动，
将x ,y 代入该方程得(2x-4) +(2y) =4, 即(x-2) +y =1. 因此动点M的轨迹方程为(x-2) +y =1(x≠3 且x≠1).
(三)典型例题
新教材新高
(1)求动点M 的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，求点N的轨迹.
【解析】(1)设动点M 的坐标为(x,y),
∵A(2,0),B(8,0), 手
. .化简得x +y =16,
即动点M的轨迹方程为x +y =16.
【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程；
2.代入法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.
【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(2)设点N的坐标为(x,y),
∵A(2,0),N 为线段AM的中点，
∴点M 的坐标为(2x-2,2y).
又点M在圆x +y =16 上，
∴(2x-2) +4y =16, 即(x-1) +y =4.
∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆.
(三)典型例题
新教材新高
2.若直线3x+y+a=0 过圆x +y +2x-4y=0 的圆心，则a的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
3.当点P在圆x +y =1 上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3) +y =4 B.(x-3) +y =1
C.(2x-3) +4y =1 D.(2x+3) +4y =1
4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A . π B.4π C.8π D.9π
答案：1.A 2.B 3.C 4.B
(四)操作演练素养提升
表示圆，则实数m 的取值范围是(
C.
1.若方程x +y -x+y+m=0
A. B.m<0
新 教 材 新
)
D.
高 (考
(五)课堂小结
知识总结
圆的一般方程
(1)通过这节课，你学到了什么知识
学生反思
一般方程
一般方程的特点
轨迹方程的求法
(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想
新教材
不积跬步，无以至千里；
不积小流，无以成江海。
完成教材——第88页练习第1,2,3题
第88页习题2.4第1,2,3,4,6,7,8,9题
新教材
作业布置
第二章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程
第二章直线和圆的方程
课时内容 2.4圆的方程
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
所在位置 教材第82页
教材第91页
新教材内容 分析 圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶 段学习过圆的一些性质，现在在平面直角 坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素 建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标 法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方 程的知识是平面解析几何的基础知识，圆 的方程具有广泛的应用。
运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位
置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应
引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比
用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研
究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的
位置关系。
核心素养培 养 通过圆的标准方程、 一般方程的求解，培 养数学运算的核心素养；通过圆的一般方 程的理解，培养数学抽象的核心素养。
通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养
逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题
,提升数学运算的核心素养。
教学主线 圆的方程的应用
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版(2019)第二章《直线和圆的方程》的第四
节《圆的方程》。以下是本单元的课时安排：
教材分析
新教材新 高
1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养.
学习目标
新 教 材
重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题
新教材
重点、难点
(一)新知导入
《古朗月行》
唐·李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，
古代人们在生活中崇拜、敬畏月 亮，在文学作品中也大量描写、如 果把天空看作一个平面，月亮当做 一个圆，建立一个平面直角坐标 系，那么圆的坐标方程如何表示
新教材
【思考1】 圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r (r>0)展开可得到一个什么式子
【提示】x +y -2ax-2by+a +b -r =0.
【思考2】把x +y +Dx+Ey+F=0 配方后，将得到怎样的方程 这个方程是不是就一定表示圆
时，方程表示以为 圆心，以 半径的圆；
时，方程只有实数 1 ,它表示一个点
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.
(二)圆的一般方程
【提示】得到的方程为
当D +E -4F>0
当D +E -4F=0
当D +E -4F<0
新教材新高考
◆圆的一般方程：当D +E -4F>0 时，方程x +y +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，其中圆心
为 半径为
圆的标准方程与一般方程的转化关系：
将圆的标准方程展开，得到圆的一般方程；
将圆的一般方程配方，得到圆的标准方程。
【做一做1】(教材P88 练习2改编)若方程x +y -4x
+2y+5k=0 表示圆，则k的取值范围是(B)
A .k>1 B.k<1
C.k≥1 D.k≤1
【做—做2】(教材P88练习1改编)已知圆x +
y -4x+2y-4=0, 则圆心坐标、半径的长分
别是(A)
A.(2,-1),3
B.(-2,1),3
(二)圆的一般方程
C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9
新教材 新
1.圆的一般方程的识别
例1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出
圆心和半径.
(1)3x +y +2x+1=0;
(2)x +y +Xy+1=0;
(3)x +y +x+2y+1=0;
(4)x +y -4mx+2my+20m-20=0.
【解析】(1)由于x ,y 的系数不相等，
∴该二元二次方程表示的不是圆.
(2)由于该二次方程中含有xy项，
∴该二元二次方程表示的不是圆.
∴它表示 为圆心，以 为半径的圆.
(4)法一：∵D=-4m,E=2m,F=20m -20,D
+E -4F=16m +4m -80m+80=20(m -2) , 当m=2 时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示 圆，此时圆心为(2m,-m), 半径为r=√5|m -2|. 法二：原方程可化为(x-2m) +(y+m) =5(m-2) ,
当m=2 时，它表示一个点；
当m≠2 时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m,
-m), 半径为r=√5|m-2|.
(三)典型例题
(3)由于D +E -4F=1+4-4>0,
∴该二元二次方程表示的是圆.
新 教 材 新
高考
【类题通法】二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x +y +Dx+Ey+F=0的形式，但形如x +y +Dx+Ey+F=0的方程不一
定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
(1)计算D +E -4F,若其值为正，则表示圆；若其值为0,则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形
(2)将该方程配方 根据圆的标准方程来判断.
【巩固练习1】已知方程x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0 表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径的取值范围.
【解析】(1)方程化为[x-(m+3)] +[y+(1-4m )] =-7m +6m+1,
∴-7m +6m+1>0, ,∴方程表示圆时m 的取值范围为
,∴圆的半径r的取值范围 重
(三)典型例题
新教材新高考
·
(三)典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),
【解析】设所求的圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0,
∴△ABC外接圆的方程为x +y -8x-2y+12=0.
求△ABC外接圆的方程.
新教材 新
由题意
,
【变式探究】 若本例改为：已知圆过A(2,2),C(3,-1),
【类题通法】用待定系数法求圆的方
且圆关于直线y=x 对称，求圆的一般方程. 程时一般方程和标准方程的选择
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、
半径或需利用圆心的坐标或半径列方
【解析】设所求的圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=
程的问题， 一般采用圆的标准方程，
0,
再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
由题意
接关系， 一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D,E,F.
∴所求的圆的方程为x +y +X+y-12=0.
(三)典型例题
新 教 材 新 高
【巩固练习2】已知圆C:x +y +Dx+Ey+3=0, 圆心在直线x+y-1=0 上，且圆心在第二象限，半径
为 √2,求圆的一般方程.
【解析】圆 ,因为圆心在直线x+y-1=0 上，
所以 ,即D+E=-2,①
又r= √D +E -4F= √2, 所以D +E =20,②
由①②可得
又圆心在第二象限，所以 , 即D>0, 所以圆心(-1,2)
所以圆的一般方程为x +y +2x-4y+3=0.
(三)典型例题
新 教 材 新 高考
法二：同法一得x≠3且x≠-1.
由勾股定理得|AC| +|BC| =|AB| ,
即(x+1) +y +(x-3) +y =16,
化简得x +y -2x-3=0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x +y -2x-3= 0(x≠3且x≠-1).
法三：设AB 中点为D, 由中点坐标公式得
D(1,0), 由直角三角形的性质知， |CD|=|AB|
=2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0) 为圆心，以2为半径长的圆(由于A,B,C 三点 不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1) +y = 4(x≠3且x≠-1).
3.求轨迹方程
例3.已知直角△ABC的斜边为AB, 且 A(-1,0),B(3,0),
求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.
【解析】(1)法一：设顶点C(x,y), 因为AC⊥BC, 且A,
B,C 三点不共线，所以x≠3且x≠-1.
又 ,且kAc·kBc=-1,
。
所 ,化简得x +y -2x-3=0.
(三)典型例题
因此，直角顶点C的轨迹方程为(x-1) +y =4(x≠3 且
X≠-1).
新教材新高
例3.已知直角△ABC的斜边为AB, 且A(-1,0),B(3,0), 求 ：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
【解析】(2)设点M(x,y), 点C(x ,y ), 因为B(3,0),M 是线段BC的中点，
由中点坐标公式 (x≠3且x≠-1), ,于是有x =2x-3,yo=2y.
由(1)知，点C在圆(x-1) +y =4(x≠3 且x≠-1)上运动，
将x ,y 代入该方程得(2x-4) +(2y) =4, 即(x-2) +y =1. 因此动点M的轨迹方程为(x-2) +y =1(x≠3 且x≠1).
(三)典型例题
新教材新高
(1)求动点M 的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，求点N的轨迹.
【解析】(1)设动点M 的坐标为(x,y),
∵A(2,0),B(8,0), 手
. .化简得x +y =16,
即动点M的轨迹方程为x +y =16.
【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程；
2.代入法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.
【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(2)设点N的坐标为(x,y),
∵A(2,0),N 为线段AM的中点，
∴点M 的坐标为(2x-2,2y).
又点M在圆x +y =16 上，
∴(2x-2) +4y =16, 即(x-1) +y =4.
∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆.
(三)典型例题
新教材新高
2.若直线3x+y+a=0 过圆x +y +2x-4y=0 的圆心，则a的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
3.当点P在圆x +y =1 上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3) +y =4 B.(x-3) +y =1
C.(2x-3) +4y =1 D.(2x+3) +4y =1
4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A . π B.4π C.8π D.9π
答案：1.A 2.B 3.C 4.B
(四)操作演练素养提升
表示圆，则实数m 的取值范围是(
C.
1.若方程x +y -x+y+m=0
A. B.m<0
新 教 材 新
)
D.
高 (考
(五)课堂小结
知识总结
圆的一般方程
(1)通过这节课，你学到了什么知识
学生反思
一般方程
一般方程的特点
轨迹方程的求法
(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想
新教材
不积跬步，无以至千里；
不积小流，无以成江海。
完成教材——第88页练习第1,2,3题
第88页习题2.4第1,2,3,4,6,7,8,9题
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作业布置