柱、锥、台、球的体积的效果分析
新课程背景下， 要求课堂教学的评价， 要遵循以质性评价为主， 以量化评价为辅， 坚持评教评学相结合， 侧重评学的原则。基于新课程标准的理念，本节课的评价从两点出发。一是对教师的教学过程的评价，二是对学生学习过程的评价
对教师课堂教学的评价：
本节课教师对教学内容的把握，非常精准的，内容的选择和拓展都非常的到位。比如：增添了球的体积的公式的推导，台体体积公式的推导以及对课本例题1的变式，都反映了教师的知识的水平以及业务能力。
教师对教材理解的广度和深度也非常的到位，对教材的内容，做了必要的补充，使得整个内容更加全面，深入，辅助学生更好的理解和运用祖暅原理解决问题。
教师驾驭课堂的能力很强、选择合理的教学方法。教师合理地运用启发式教学法，熟练的运用flash动画辅助教学，有效地突破难点，多次有效的调动学生的积极性，（比如：在讲解三棱锥的体积公式时，学生自己演示并证明。）参与到课堂教学中，课堂教学轻松自如，学生学习的主动性得到很好的展现。教师创造教学情景的能力也很强，比如：合理的利用“一摞书”的多次变形，自然引入祖暅原理。对于例题1的处理和展开的讨论。有效的调动学生与教师的良性互动。
对学生学习的评价
1、学生在教学过程的参与程度：
在本次教学中，前期准备中，学生已经对教具能熟练的拆装，兴趣盎然，对本节课的学习充满了期望。
在教学过程中，有三个环节设计了学生活动
第一部分导入：设计了四个问题，尤其是第四个问题：
问题四：为什么上述几何体的体积相等？你有何发现？
这个问题，开放性较强，中间可以通过对上述三个问题的比较，发现祖暅原理的两 个 条件，学生参与度很高，回答问题非常踊跃，通过问题回答，得到祖暅原理的内容。
在讨论三棱锥的体积环节设计学生活动：为了推导锥体的体积，首先由祖暅原理，底面积相等，高相等的棱锥和圆锥体积相等。
问题一：为了推导锥体的体积公式，从圆锥入手，还是棱锥入手呢？
问题二：从圆锥入手如何解决？ 从棱锥入手有如何解决呢？
问题三：从棱锥入手，又是从几棱锥入手呢？
学生回答问题积极，想象力丰富。课堂气氛热烈。
例题1的讲解环节的讨论中
对例题设计了以下活动：
（1）当C点在BC上滑动时，两个几何体的体积之比。
（2）当D点在AD上滑动时，且C在BC上滑动时，两个几何体的体积之比。
（3）当C在平面上滑动时，两个几何体的体积之比。
以上问题都是学生通过发言得出结论。
2、学生注意力的集中程度
全体学生54人，注意力都非常集中，几乎没有分散精力的现象。
3、学生探究问题的主动性及深 度：
在探究球的体积的过程中，还是能够根据引导，主动思考，积极寻求与半球截面积相等的几何体，这里需要学生在思维上有一定的深度
柱、锥、台和球的体积的教材分析
教学内容：
1、祖暅原理的内容
2、利用祖暅原理推导柱、锥、台和球的体积公式
3、熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积
3、渗透空间与平面的相互转化的数学思想，渗透三棱锥体积的换底思想、割补思想，以及数学问题由繁及简的思想方法。
二、教材地位与作用
教材前一节主要从量的角度研究研究了柱锥台球的表面积公式，从而达到求空间几何体的表面积的目的，研究的方法是转化为平面图形的面积，（是二维的）而本节课的目的是解决空间几何体的体积问题，（是三维的），所以本节课是前一节内容的继续和发展，从研究方法上看，利用祖暅原理将立体空间的问题转化为平面问题，也体现了数学转化的思想。本节内容也是会考及高考的必考内容。在必修二中占有较为重要的位置。
三、教学的三维目标
1、知识与技能：
?祖暅原理的内容
?利用祖暅原理推导柱锥台球的体积公式
?通过公式的学习，利用“割”与“补”的思想解决空间几何体的体积的计算，达到解决实际问题的目的。
2、过程与方法：
通过祖暅原理及柱锥台球的体积公式的学习，提高学生归纳与总结，计算与推理的能力，渗透空间与平面的相互转化的数学思想，渗透三棱锥体积的换底思想，以及数学问题由繁及简的思想方法。鼓励学生积极探索体积公式的推导，逐步提高学生数学探究的能力与合作的能力。
3、情感态度与价值观：通过学习，使学生了解我国古代数学家探索体积计算公式的艰辛历程，了解祖冲之父子数学及天文学上做出的巨大贡献，和突出成就，激发学生热爱科学，提高学习数学的兴趣
四、教学重点与难点
教学重点：棱柱棱锥棱台的体积公式的推导方法，
教学难点：对祖暅原理的理解和棱柱棱锥棱台的体积公式的应用
五、学情分析
学生前期已有的知识储备和技能：
本节课是必修二第一章的最后一节，学生在前期的学习中对空间几何体的棱柱、棱锥、棱台，和圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及性质有较全面的认知，并且学会运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式解决问题，从学习的动机上，对柱锥台球的体积公式有较强的学习兴趣。
学生已有的生活经验
学生在小学曾经学习过长方体体积公式，用实验的方式验证过，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，对体积的后续学习提供了必要的条件。
估计学生认知过程
学生的来源是重点高中，学生有较好的学习习惯和学习能力，学生男女比例23：29，女生多于男生，从认知规律上，男生的空间定向和视觉空间化的能力优于女生，在教学中要充分协助女生的学习，提高女生的空间想象能力。
六、教学方法分析
运用多种教学方式：探究式教学 启发式教学 多媒体辅助教学
本节课难点在祖暅原理的理解上，采用flash动画等多媒体手段，突破难点，在例题1动态
三棱锥的体积的求法上，例题3球的内接问题的讲解上也使用动画效果。便于突破难点。在
球的体积的推导上，采用探究和启发式教学。鼓励学生寻求与半球体积相等的几何体。
七、学习方法分析：
指导学生参与到学习的过程中，归纳与分析的学习方法 自学与探究的方法
在学习的过程中，自我学习，查阅资料，锻炼独立学习的能力。
同时善于提出问题，寻求帮助，学习合作交流，共同解决问题。
柱、锥、台和球的体积的观评记录
本次观摩课主题是必修二1.1.7柱、锥、台和球的体积
观察角度：
一、教师的表现：
观察视角
观察记录
教学目标确立是否合理
教学目标明确合理： 知识与技能的讲解清晰，过程与方法中渗透了转化的数学思想，三棱锥体积的换底思想，以及数学问题由繁及简的思想方法，通过祖氏父子的贡献，激发学生的爱国情愫，提高学习数学的兴趣
教学重点难点是否得当
重点突出是柱、锥、台和球体积公式的推导
难点利用flash动画突破难点，帮助学生理解祖暅原理
教学方法的运用是否体现因材施教
运用多种教学方法，启发式，探究法，flash动画辅助教学，多功能投影仪辅助教学。提高课堂的效率
组织教学能力是否强
教学组织能力强，轻松驾驭课堂，连贯性好
教学资源的运用是否合理
合理使用教材和网上资源的整合，并且运用网络增补数学史料，增补球的体积的推导
是否突出学科特点
充分体现数学学科的特点
是否注重建立知识之间的联系
注重本学科的内在联系，包括公式之间的联系和记忆方式
教态
自然 得体 亲和力强
板书
板书整齐，布局合理
运用多媒体的娴熟程度
非常熟练的运用flash动画，实物投影仪
存在问题
字迹稍微小点
二、学生的表现：
观察视角
观察记录
学生学习态度是否积极
学习态度积极乐观，情绪饱满
是否有效的调动学生的积极性
能有效地调动学生的积极性，引入的设计，提高学生的学习兴趣
是否对学生的学法给以指导
教学环节的每个部分设置学生活动，探究法。
课堂提问是否积极有效
21个独立提问，还有集体回答，问题设置合理有层次
变式练习设置是否分层次
变式练习分为三个层次，逐渐难度递增，
当堂练习效果是否好，反馈是否及时
课堂练习，反馈及时
合作学习是否有效
推导三棱锥的体积时，两个学生配合，一个学生证明
课堂检测是否合理，是否分层次
课堂检测设计合理，有层次
存在问题
时间仓促，课堂练习不够充分
柱、锥、台、球的体积的课后反思
（一）教学设计的反思：
1、课件的介绍：
本课件是应用flash动画制作的，设计了七个部分，有首页、原理、柱体的体积、锥体的体积、台体的体积，球体的体积、例题，各部分有着较好的交互性。
（1）原理部分主要由一个动画组成，主要的功能是演示：对于一般的几何体而言，体积要相等，具备的条件是：截面积相等，几何体的高度相等。动画设置了暂停按钮，本页链接了一个“拓展”
（2）柱体的体积部分主要由一个动画组成，功能是：对于柱体体积可以转化成长方体的体积，动画设置了例题按钮
（3）锥体的体积部分主要由两个动画组成，功能是：把三棱柱分解成三个三棱锥，并且演示三个三棱锥，等底面积等高，体积相等。
（4）台体的体积部分主要一个动画组成，功能是：演示棱台的定义。引导用计算的方法求台体的体积。本页链接了“总结”。
（5）球体的体积部分主要由一个动画组成，功能是：通过动画演示，将半球的体积转化到几何体一个底面半径R的圆柱挖去一个等底面积的圆锥的体积。
（6）例题部分主要两个动画组成，功能是：帮助学生理解三棱锥变形之后，体积不变的原因，（祖暅原理，等底同高，体积不变。）第二个动画的功能是：三棱锥内接于球时，球心的位置及半径的大小。帮助学生建立空间概念，辅助学生空间想象力的培养。
2、教学思路设计与反思：按照上面课件的设计，并没有采用课件的顺序授课，我采用了先讲原理----再推导柱体的体积------锥体的体积------台体的体积-----例题------球体的体积----练习。按照这个思路展开的教学，在教学中球体的体积的推导，关键是寻求圆柱挖掉一个圆锥这样一个几何体，但这个几何体并不是一下子能够找到，需要教师的引导，如果台体体积推导完了之后接着推导球的体积，课堂讲解的时间比较长，而把例题提上来讲，既能巩固练习柱锥的体积公式，又可以加强祖暅原理的使用，并在使用过程中，对例题作了三个变式，通过这三个变式的讨论，学生对于体积计算中的换底，换高，有了新的认识，为之后求棱锥体积的换底打下了基础。事实上，整个教学过程学生活动与老师讲解，穿插进行，相得益彰。
（二）教学过程的反思
在第二部分锥体体积的推导，教具的使用，可以更科学一些，可以让两个学生到讲台前，合作完成，后面的同学能够更清楚地看到实物。另外，因为实物较小，可以让学生利用实物展
在第二部分锥体体积的推导，演示三棱柱分解为三个三棱锥，最好能能在图上添加辅助线。体会如何添加辅助线将三棱柱分解，动画分解，速度较快，学生没有多少感性的体验。
在第四部分球的体积的推导，应该找到实物的圆柱挖圆锥的教具,在课堂上展示一下,对推导球体的体积更加直观一些.
（三）存在问题的反思
1、课堂教学学生的活动，还应该更加放开，胆子再大一些，充分体现学生的积极性。比如：引入的时候，可以让学生动手对“一摞书”变形，这样课堂更自由些。
2、学生活动的时间，也应该控制好，不能太长时间，也不能太短，这样要求老师观察课堂学生学习情况的进展。
3、本次课课堂练习时间比较短，有点仓促。
（四）改进措施的反思
1、加强个人专业技术的理论学习，不断创新课堂教学的模式。
2、课堂专业语言的运用，更加精准。
3、学生活动的时间上计划的更加的准确，克服盲目性。
柱、锥、台和球的体积的课标分析
一、 新课标在第二模块立体几何初步部分要求：
学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
二、新课标的内容与要求对1.1.7棱柱棱锥棱台球的体积的界定
⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）
根据上述新课标的两项要求：
本节课设计的出发点：
立足总课标要求提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
教学中提供丰富的实物模型或flash动画呈现的空间几何体的变化，帮助学生认识和理解祖暅原理，恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力。
3、利用教材中的古代科学家的成就感染和提高学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
4、通过拓展半球的体积的推导，开阔学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
柱、锥、台、球的体积的学情分析
一、 与教学设计有关的学情分析
1、 学生前期已有的知识储备和技能：
本节课是必修二第一章的最后一节，学生在前期的学习中对空间几何体的棱柱、棱锥、棱台，和圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及性质有较全面的认知，并且学会运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式解决问题，从学习的动机上，对柱锥台球的体积公式有较强的学习兴趣。
2、 学生已有的生活经验
学生在小学曾经学习过长方体体积公式，用实验的方式验证过，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，对体积的后续学习提供了必要的条件。
3、 估计学生认知过程
学生的来源是重点高中，学生有较好的学习习惯和学习能力，学生男女比例23：29，女生多于男生，从认知规律上，男生的空间定向和视觉空间化的能力优于女生，在教学中要充分协助女生的学习，提高女生的空间想象能力。
二、 与课堂教学组织有关的学情
选择最适合的教学方法：主动探究学习
根据以下的调查：
以视觉学习和听觉学习为主，在课堂上运用多媒体技术，动态展示祖暅原理，帮助学生理解原理的内容，在例题的设计上，采用动画设计，辅助学生理解抽象的空间图形。
三、与教学反馈有关的学情分析
通过本节课的学习，了解祖暅原理，并利用祖暅原理推导柱锥台球的体积公式，学会体积的换底，通过提问，回答，了解学生掌握的情况，把握课堂的进程。
四、与教学成果评价有关的学情分析
通过课后检测，对学生的学习的成果给有效的评价。下面给出一个评价量规。
《柱锥台球的体积》学习成果评价量规表
评价等级分值 得分
权重 A(5) B(3) C(2) 自 评 互 评 教师评 小 计
课堂活动态度 10% 积极参与活动 主动参与活动 被动参加活动
并提出优秀方案或方法 提出建议 不发言
课堂动手能力 10% 积极参与并 主动参与并 被动参与
能够完成任务 能够完成任务 并能够完成任务
合作交流 20% 有组织能力， 能主动表达 被动参加，
善于表达，积极配合 并能配合完成任务 不交流，不沟通
检测结果 10% 85%以上正确 70%以上正确 60%以上正确
柱、锥、台和球的体积的教学设计
课题名称：柱、锥、台和球的体积
设计思路：本课题的难点是对祖暅原理的理解，并由祖暅原理推导柱锥台球的体积公式。
对于祖暅原理的理解，它是一个公理，不能证明，或者定义得到。我通过两个手段，（1）通过实物，一摞摆放整齐的书本，可以看成长方体，对上述长方体进行两次变形，第一次变形为平行六面体，第二次变成非规范的几何体，通过研究它们的体积公式，然后得出结论：祖暅原理的内容。从而引出课题。（2）通过flash动画演示，进一步突破祖暅原理内容中，截面积相等，高度相等的两个几何体体积相等。
教学目标设计：
知识与技能：祖暅原理的内容，利用祖暅原理推导柱锥台球的体积公式，通过公式的学习，利用“割”与“补”的思想解决空间几何体的体积的计算，达到解决实际问题的目的。
过程与方法：通过祖暅原理及柱锥台球的体积公式的学习，提高学生归纳与总结，计算与推理的能力，渗透空间与平面的相互转化的数学思想，渗透三棱锥体积的换底思想，以及数学问题由繁及简的思想方法。鼓励学生积极探索体积公式的推导，逐步提高学生数学探究的能力与合作的能力。
情感态度与价值观：通过学习，使学生了解我国古代数学家探索体积计算公式的艰辛历程，了解祖冲之父子数学及天文学上做出的巨大贡献，和突出成就，激发学生热爱科学，提高学习数学的兴趣
四、教学重点：棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导
五、教学难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用
六、教学方法与教学手段：
教学方法：课程引入时，采用问题探究式，通过实物---------一摞书作为长方体，进行了两次变形，提出了三个问题，引出了本节课的重要内容祖暅原理。提高学生的兴趣。
讲解祖暅原理，棱柱、棱锥、球的公式时，采用flash动画多媒体辅助教学，帮助学生理解祖暅原理，推导柱锥台球的体积公式。尤其是三棱锥体积的推导，和球的体积的推导起了画龙点睛的作用，帮助学生更好的理解。使课堂生动有趣。
教学手段：启发探究，flash动画辅助教学，多功能投影仪辅助教学。提高课堂的效率。
七、教学过程：
（一）课题引入：
我们知道：一个几何体占据空间的大小，叫做体积。
观察实物：这里摆放一摞书，下面有三个问题请同学们回答：
问题一：给你一把直尺，怎样计算上面着一摞书（摆放成长方体）的体积？
学生回答：V=abc
问题二：将上述几何体变形为（平行六面体），那么新几何体的体积有什么变化？
学生回答：几何体的体积不变化
问题三：将几何体再次变形后，所得几何体的体积又有什么变化？
学生回答：几何体的体积不变化
那么我们得到这三个几何体的体积都相等。
问题四：为什么上述几何体的体积相等？你有何发现？
学生回答：截面积相等，高度相等，所以体积相等。
引出今天我们研究的祖暅原理的内容。
（二）新课讲解：
请看课件：祖暅原理：幂势既同，则既不容异。
请同学解释：幂-----？势-----？（回答：幂指截面积，势指高度）也就是说：夹在两个平行平面间几何体被平行于两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
演示动画：展现截面积 高度相等,地面积相等.
问题一:由祖暅原理,两个棱柱体积相等需要具备什么条件?如果是两个柱体呢?
学生回答:底面积相等,高相等.
问题二:两个棱锥体积相等需要具备什么条件?如果是两个锥体呢?
学生回答: 学生回答:底面积相等,高相等.
得到结论:等底面积等高的两个柱体或锥体的体积相等.
拓展:链接到祖冲之与祖暅父子的杰出贡献的文献.提高学生的学习热情。
棱柱和圆柱的体积：
演示动画：
问题一：想求柱体的体积公式，如何转化呢？（由祖暅原理，课件中三个几何体等底面积，等高体积相等，故转化成长方体的体积。）
得到结论：
棱锥和圆锥的体积：
在这个环节设计学生活动一：为了推导锥体的体积，首先由祖暅原理，底面积相等，高相等的棱锥和圆锥体积相等。
问题一：为了推导锥体的体积公式，从圆锥入手，还是棱锥入手呢？
问题二：从圆锥入手如何解决？ 从棱锥入手有如何解决呢？
问题三：从棱锥入手，又是从几棱锥入手呢？
讨论结果：学生回答：从圆锥入手，从圆柱挖去一个等底同高的圆锥，在小学时通过实验的方式得到圆锥装沙子的体积是圆柱体积的。可以猜想锥体体积是柱体体积的。
讨论结果：从棱锥入手推导体积公式，主要三棱锥的体积，因为任何一个棱锥都可以分解成三棱锥。
设计学生活动二：分成四个小组，学生通过手中的三棱柱，将三棱柱拆分成三个三棱锥，研究三个三棱锥的体积的关系。
讨论结果：两个学生分别一边演示教具，一边回答：得到三个几何体体积相等
演示flash动画：展现三棱柱分解为三个三棱锥的辅助线添加过程，以及分解后的体积相等的证明过程。
得到结论：
棱台和圆台的体积：
由棱台的定义：用平行于底面的平面截去棱锥，则余下的部分，称作棱台。
学生活动：在黑板上推导台体的体积公式
V===
==
总结归纳：三个公式的记忆方式：链接课件
链接动画到例题：
例题1、对例题设计了以下活动：
（1）当C点在BC上滑动时，两个几何体的体积之比。
（2）当D点在AD上滑动时，且C在BC上滑动时，两个几何体的体积之比。
（3）当C在平面上滑动时，两个几何体的体积之比。
进一步巩固等底面积，等高，则体积相等。
球的体积：
链接课件到球的体积。通过研究半球的体积从而研究球的体积，如何找到一个几何体截面积与半球的截面积相等呢？这里是本节课的难点，采用启发式教学。
分析半球的截面的面积，是两个圆的面积之差，引导学生找两个同心圆，从而探索到这个几何体为”圆柱中挖去一个等底面积等高的圆锥”,从而利用祖暅原理得到：半球的体积=底面半径和高为R圆柱 的体积—等底同高的圆锥的体积。
推导结果：
（三）课堂巩固：
学生练习：圆柱的侧面展开图是长宽的矩形，求圆柱的体积。
将学生的练习，在投影机上展示，纠正学生的不规范的表达。
（四）小结：本节课重点知识：
祖暅原理的内容，以及利用祖暅原理推导柱锥台和球的体积公式，渗透了等价转化的数学思想方法。
