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13.3.1 等腰三角形 学案
（一）学习目标：
1.经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形；理解解等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质并能运用它们进行相关的论证和计算。
2.培养对命题的抽象概括能力，观察猜想到理论证明的数学问题探究的方法，强化发散思相的训练。
3.进行规律的再发现，激发审美情感，培养合作探究意识。
（二）学习重难点：
学习重点：等腰三角形性质的探索、证明和应用
学习难点：探究等腰三角形的性质证明及应用
阅读课本，识记知识：
1.等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3.等腰三角形的判定
(1)定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”）。
【例1】 如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的判定和性质．过点A作于点N，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确．
【详解】解：过点A作于点N，如图所示：
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵在和中
，
∴，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
综上分析可知，正确的有4个，故B正确．
故选：B．
【例2】 如图，等腰中，，于点，，于点，于点S，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；故A、C选项正确；
在和中，
，
∴，
∴，故B选项正确；
由图可知不一定成立；
故选D．
选择题
1．等腰三角形周长为，其中一边长为，则该三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系由于长为的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【详解】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为时，则另一腰也为，
底边为15﹣2×3＝9cm，
边长分别为，，9cm，不能构成三角形；
（2）当底边长为时，腰的长，
∴边长为，，，能构成三角形．
故选：A．
2．如图，在中，垂直平分，分别交、于D、E，连接，平分，交于F，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着利用三角形外角性质计算出，所以，然后利用三角形外角性质计算的度数．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：．
3．如图，在等腰中，，为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；过作于，过作于，由“三线合一”得，再由“”可判定，从而由全等三角形的性质得，再，即可求解；掌握性质及判定方法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
故选：A．
4．下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有（ ）个
①全等三角形对应边相等； ②全等三角形对应角相等；
③等腰三角形两条腰上的高相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查真假命题、逆命题及等腰三角形的性质、实数的性质．本题考查了首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假即可．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，原命题是真命题；
逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，逆命题不是真命题；
②全等三角形对应角相等，原命题是真命题；
逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，逆命题不是真命题；
③等腰三角形两条腰上的高相等，原命题是真命题；
逆命题为：有两条高相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等，原命题是真命题；
逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等的平方相等，逆命题不是真命题；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，原命题是真命题；
逆命题为：两条直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，则这两条直线平行，逆命题是真命题．
原命题与其逆命题均为真命题的有③⑤，共2个．
故选：A．
5．如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键．延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断④错误；由，，得出，得出，可判断②正确；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断③正确；进而可以解决问题．
【详解】解：如图，延长交于，
，分别为，边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故④错误；
，，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周长
，故③正确．
正确的有①②③．
故选：A．
6．如图，在和中，与交于点E，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先根据得出，再结合，，得出，再利用全等三角形的性质判断即可．
【详解】解：，
，故D选项结论正确；
又，，
，
，，故A选项、C选项结论正确；
现有条件不能够得出，故B选项结论不正确；
故选B．
7．如图，，点在边上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，．由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
，
，
∴．
故选： B ．
8．如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠问题和三角形外角的性质，据此得到角之间的关系，即可得到结果，解题的关键是根据三角形外角的性质得到角度之间的关系．
【详解】解：连接，如图所示：
∵沿折叠后，点的对应点为，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
即，
故选：B．
9．以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，根据组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，以及等腰三角形的两边相等，逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、有两条边相等们可以组成等腰三角形，符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、三条边都不相等，不能组成等腰三角形，
故选：B．
10．如图，中，于点D，则的面积是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的面积．得出是解题的关键．
先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，则，然后根据的面积即可求解．
【详解】解：，
，
．
在中，
，
，
，
的面积．
故答案为：A．
填空题
11．已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是 ．
【答案】24
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，然后分别进行计算即可解答，分两种情况讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，
∴这个等腰三角形的周长；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，
∵，
∴不能组成三角形；
综上所述，这个等腰三角形的周长为24，
故答案为：24．
12．如图，，若，则 ．
【答案】/65度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据证明得，，，再求出，然后利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．如图，在中，，平分交于点D，点E在的延长线上，，若，则线段的长为 ．
【答案】4
【分析】如图，在上截取，使，连接，证明，则，，，由，可得，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，在上截取，使，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
14．如图，在中，，于点D，的平分线交于F，交于E，若，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查同角或等角的余角相等，等腰三角形的判定．
由得到，由得到，又平分，即，从而，根据“等角对等边”得到，从而可解决问题．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：5.
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个；
若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个；
线段的垂直平分线与x轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：（个），
故答案为：4．
三、解答题
16．如图，在中，，点D，F在边上，过点D作交于点E，G为上一点，连接，且．
(1)求证：；
(2)若点E为的中点，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；
（1）根据可得，进而证明，即可得到结论；
（2）根据条件证是的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
17．如图，已知在中，，是的中点．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，推出，再利用“三线合一”的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴．
18.44．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）在等腰直角三角形中，，.点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，点在直线上，且.过点作，点，在直线的同侧，且，连接.
(1)情况一：当点在线段上时，图形如图所示；
情况二：如图2，当点在的延长线上，且，请依题意补全图；
(2)请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)图形如下
(2)证明如下；
【分析】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意，补充图形，即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，则，根据，则，根据，即可；过点作交直线于点，根据等边直角三角形，，根据，
则，根据等量代换，得，；再根据全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可．
【详解】（1）图形如下：
（2）根据情况一，即图
证明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
过点作交直线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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13.3.1 等腰三角形 学案
（一）学习目标：
1.经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形；理解解等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质并能运用它们进行相关的论证和计算。
2.培养对命题的抽象概括能力，观察猜想到理论证明的数学问题探究的方法，强化发散思相的训练。
3.进行规律的再发现，激发审美情感，培养合作探究意识。
（二）学习重难点：
学习重点：等腰三角形性质的探索、证明和应用
学习难点：探究等腰三角形的性质证明及应用
阅读课本，识记知识：
1.等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3.等腰三角形的判定
(1)定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”）。
【例1】 如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的判定和性质．过点A作于点N，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确．
【详解】解：过点A作于点N，如图所示：
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵在和中
，
∴，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
综上分析可知，正确的有4个，故B正确．
故选：B．
【例2】 如图，等腰中，，于点，，于点，于点S，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；故A、C选项正确；
在和中，
，
∴，
∴，故B选项正确；
由图可知不一定成立；
故选D．
选择题
1．等腰三角形周长为，其中一边长为，则该三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．或
2．如图，在中，垂直平分，分别交、于D、E，连接，平分，交于F，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在等腰中，，为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．8
4．下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有（ ）个
①全等三角形对应边相等； ②全等三角形对应角相等；
③等腰三角形两条腰上的高相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．如图，在和中，与交于点E，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，点在边上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
9．以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5
10．如图，中，于点D，则的面积是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．12
填空题
11．已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是 ．
12．如图，，若，则 ．
13．如图，在中，，平分交于点D，点E在的延长线上，，若，则线段的长为 ．
14．如图，在中，，于点D，的平分线交于F，交于E，若，，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
三、解答题
16．如图，在中，，点D，F在边上，过点D作交于点E，G为上一点，连接，且．
(1)求证：；
(2)若点E为的中点，且，求的度数．
17．如图，已知在中，，是的中点．
求证：．
在等腰直角三角形中，，.点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，点在直线上，且.过点作，点，在直线的同侧，且，连接.
(1)情况一：当点在线段上时，图形如图所示；
情况二：如图2，当点在的延长线上，且，请依题意补全图；
(2)请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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