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13.3.2 等边三角形 学案
（一）学习目标：
1.理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质和特点。
2.通过观察、讨论、探究等教学活动，培养的观察、分析、概括、推理等思维能力。
3.培养空间观念和观察能力，激发对数学的兴趣和热爱。
（二）学习重难点：
学习重点：理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质
学习难点：如何引导发现等边三角形的特点，培养的观察和分析能力
阅读课本，识记知识：
1.等边三角形：等边三角形是三边都相等的三角形，也叫正三角形。
2.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
(2)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。
(3)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。
(4)等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一。
3.等边三角形的判定
(1)定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，则 。
【例1】 如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形与坐标及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解
【详解】解：∵，，
∴，
∴点，
故选：C．
【例2】 已知，如图在等边中，是的一点，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，根据平角的定义和三角形内角和定理证明，，进而证明，得到根据现有条件无法证明，据此可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，则选项正确；
又∵，
∴，则选项正确；
∴，则选项正确；
∴四个选项中，只有D选项根据现有条件无法证明，
故选：D．
选择题
1．如图，在中，，是边上的高，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30度所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先根据是边上的高，得到，由直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据30度所对的直角边等于斜边的一半可得；即可解答．
【详解】解：是边上的高，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
故选：C．
2．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，掌握含角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵为直角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
3．阅读下面材料：
已知：，，，点是中点，给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④点是上的一个动点，当取最小值时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据题意可推出，，即可判断①、②；由，，即可判断③；作点关于的对称点，连接交于点，可得的最小值为，证得即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∵点是中点，
∴
∴
∴是等边三角形
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
故②正确；
∴是等边三角形，
∵，，
∴，故③正确；
作点关于的对称点，连接交于点，如图所示：
则有：
∴
∴的最小值为
∵，，
∴
∴
∴当取最小值时，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边关系、含的直角三角形的特征、全等三角形综合以及线段和的最值问题，熟记相关定理结论是解题关键．
4．如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理；
求出，，，可得，①正确；证明，根据三角形内角和定理求出，即可证明是正三角形，故②正确；延长到T，使得，证明，可得，再由线段之间的关系可得，③正确；根据可得，则是定值，再由的面积是变化的可知④错误．
【详解】解：如图，设交于点J．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，故②正确；
延长到T，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，是定值，
∵的面积是变化的，
∴，故④错误；
故选：C．
5．如图，在中，，，点D在上，，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度．
【详解】解：，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故选：C．
6．如图，已知，点P在边上，，点C、D在边上，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查的是含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识．过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．如图，，，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：，
，
，
又，
．
故选：C．
8．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，根据题意逐一判断即可，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，如图
∵是等边三角形，
∴， ，
∵，
∴，故①符合题意；
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴， 故②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 故③符合题意；
∵，是的中点，
故④符合题意；
，
∴，
又∵
∴，
∴，故⑤符合题意．
故选：．
9．如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，最短路径问题，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，根据角平分线的性质得到，，由此得到，利用直角三角形30度角的性质得到的长，即可得到答案．
【详解】解：过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
10．如图，在四边形中，，点在上，连接相交于点，，若，则的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可求得，根据求解即可．
【详解】解：连接，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
∵，
设，
∴，
解得
∴
故选：C．
填空题
11．如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质得到，再由直角三角形中角的直角边是斜边的一半求解即可．
【详解】解：过点作于点，
点在的平分线上，，，
，，
，
，
，
在中，，，
．
故答案为：．
12．如图，等边中，于点H，点D、E分别在边上，连接，点F在上，连接，若，则 ．
【答案】1
【分析】在上取点G，连接，使，证明，得到，，求出，则即可求出结果．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【详解】解：在上取点G，连接，使，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：1．
13．已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为 ．
【答案】/73度
【分析】根据等边三角形的性质，先证明，得到，得到．结合，得到，，，继而得到，根据三角形外角性质计算即可．
【详解】∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
，
∵，的角平分线，交于点N．
∴，
∴，
过点N分别作，垂足分别为F，P，Q，
∵，的角平分线，交于点N．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角是解题的关键．
14．如图，在中，，，交于点D，若，则 ．
【答案】9
【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，含直角三角形的性质，首先根据直角三角形两锐角互余得到，，然后利用含直角三角形的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，含直角三角形的性质．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：9．
15．如图所示，已知在等边三角形中，，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，为垂足，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定定理可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到，根据直角三角形的性质即可得到．
【详解】解：为等边三角形．
，，
在和中，
，
，
，
为外角，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
16．如图，在中，，，作的角平分线，交于点D．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的特征，解题的关键是掌握尺规作已知角的角平分线．
（1）根据作已知角的角平分线步骤作图即可；
（2）由，平分，可得，故，由，知，从而．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∴．
17．如图，在四边形中，．
(1)若为的中点，，求证：平分；
(2)若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）延长交的延长线于点，由“”可证，可证，，可证，可得，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，可求，即可求解．
【详解】（1）解：证明：延长交的延长线于点，
点是的中点，
，且，，
(),
，，
，，
，
，
，
平分；
（2）是等边三角形．
理由如下：点是中点，
，
，，
，，
，
，且，
(),
，
，且，
，
，且，
是等边三角形．
18．（1）如图①，是等边三角形，D是上一点，以为一边向上作等边，连接，求证：．
（2）在上题①中，当点在的延长线上时，其他条件不变，如图②所示，请你补画出题意的图形，（1）的结论还成立吗 若成立，请给予证明；若不成立，请简要说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）图见解析，（1）的结论不成立，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．
（1）先根据等边三角形的性质可得，，，再证出，然后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先补画出图形，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得出结论．
【详解】证明：（1）和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）由题意，补画出图形如下：
（1）的结论不成立，理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
又，
，
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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13.3.2 等边三角形 学案
（一）学习目标：
1.理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质和特点。
2.通过观察、讨论、探究等教学活动，培养的观察、分析、概括、推理等思维能力。
3.培养空间观念和观察能力，激发对数学的兴趣和热爱。
（二）学习重难点：
学习重点：理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质
学习难点：如何引导发现等边三角形的特点，培养的观察和分析能力
阅读课本，识记知识：
1.等边三角形：等边三角形是三边都相等的三角形，也叫正三角形。
2.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
(2)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。
(3)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。
(4)等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一。
3.等边三角形的判定
(1)定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，则 。
【例1】 如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形与坐标及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解
【详解】解：∵，，
∴，
∴点，
故选：C．
【例2】 已知，如图在等边中，是的一点，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，根据平角的定义和三角形内角和定理证明，，进而证明，得到根据现有条件无法证明，据此可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，则选项正确；
又∵，
∴，则选项正确；
∴，则选项正确；
∴四个选项中，只有D选项根据现有条件无法证明，
故选：D．
选择题
1．如图，在中，，是边上的高，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．阅读下面材料：
已知：，，，点是中点，给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④点是上的一个动点，当取最小值时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
4．如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在中，，，点D在上，，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图，已知，点P在边上，，点C、D在边上，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．3
7．如图，，，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在四边形中，，点在上，连接相交于点，，若，则的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
填空题
11．如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则 ．
12．如图，等边中，于点H，点D、E分别在边上，连接，点F在上，连接，若，则 ．
13．已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为 ．
14．如图，在中，，，交于点D，若，则 ．
15．如图所示，已知在等边三角形中，，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，为垂足，若，则的长为 ．
三、解答题
16．如图，在中，，，作的角平分线，交于点D．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证．
17．如图，在四边形中，．
(1)若为的中点，，求证：平分；
(2)若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由．
18．（1）如图①，是等边三角形，D是上一点，以为一边向上作等边，连接，求证：．
（2）在上题①中，当点在的延长线上时，其他条件不变，如图②所示，请你补画出题意的图形，（1）的结论还成立吗 若成立，请给予证明；若不成立，请简要说明理由．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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